Tensor antisimétrico

En matemáticas, un tensor antisimétrico o antisimétrico con respecto a un subconjunto de índices es un tensor que alterna signo (+/-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto.^[1]^[2] Cuando un tensor es antisimétrico respecto a todos sus índices se llama tensor completamente antisimétrico o simplemente tensor anstisimétrico. Por ejemplo:

T_{i j k \dots} = - T_{j i k \dots} = T_{j k i \dots} = - T_{k j i \dots} = T_{k i j \dots} = - T_{i k j \dots}

Son condiciones que satisface un tensor antisimétrico con respecto a sus primeros tres índices.

Es importante destacar que la condición de antisimetría requiere que en el subconjunto de índices respecto a los que existe antisimetría, todos los índices sean covariantes o contravariantes, ya que los tensores subconjuntos mixtos están excluidos de la condición de antisimetría. Un campo tensorial covariante completamente antisimétrico de orden $k$ puede denominarse forma diferencial $k$ , y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse $k$ -vector.

Tensores antisimétricos y simétricos

Un tensor $𝐀 = A_{i j}$ que es antisimétrico en los índices $i$ y $j$ tiene la propiedad de que la contracción con un tensor $𝐁 = B^{i j}$ que es simétrico en los índices $i$ y $j$ es idénticamente 0:

cont (𝐀 𝐁) = A_{i j} B^{i j} = 0

Para un tensor general U con componentes $U_{i j k \dots}$ y un par de índices $i$ y $j,$ U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:

U_{(i j) k \dots} = \frac{1}{2} (U_{i j k \dots} + U_{j i k \dots})

| || (parte simétrica)

U_{[i j] k \dots} = \frac{1}{2} (U_{i j k \dots} - U_{j i k \dots})

|| ||(parte antisimétrica).

Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en $U_{i j k \dots} = U_{(i j) k \dots} + U_{[i j] k \dots} .$

Notación

Una notación abreviada para la antisimetrización se denota con un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M, $M_{[a b]} = \frac{1}{2!} (M_{a b} - M_{b a}),$ y para un tensor covariante de orden 3 T $T_{[a b c]} = \frac{1}{3!} (T_{a b c} - T_{a c b} + T_{b c a} - T_{b a c} + T_{c a b} - T_{c b a}) .$

En 2 y 3 dimensiones cualesquiera, se pueden escribir como $\begin{matrix} M_{[a b]} & = \frac{1}{2!} δ_{a b}^{c d} M_{c d}, \\ T_{[a b c]} & = \frac{1}{3!} δ_{a b c}^{d e f} T_{d e f} . \end{matrix}$ donde $δ_{a b \dots}^{c d \dots}$ es el delta de Kronecker generalizado, y utilizamos la notación de Einstein para sumar sobre índices similares. De forma más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre índices $p$ puede expresarse como $T_{[a_{1} \dots a_{p}]} = \frac{1}{p!} δ_{a_{1} \dots a_{p}}^{b_{1} \dots b_{p}} T_{b_{1} \dots b_{p}} .$

En general, todo tensor de rango 2 puede descomponerse en un par simétrico y antisimétrico como: $T_{i j} = \frac{1}{2} (T_{i j} + T_{j i}) + \frac{1}{2} (T_{i j} - T_{j i}) .$

Esta descomposición no es en general cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.

Ejemplos

Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:

Trivialmente, todos los escalares y vectores (tensores de orden 0 y 1) son totalmente antisimétricos (además de ser totalmente simétricos).
El tensor campo electromagnético, $F_{μ ν}$ en electromagnetismo.
La forma volumétrica riemanniana en una métrica pseudo-riemanniana.