Teorema de Morera

En análisis complejo, una rama de matemáticas, el Teorema de Morera, que recibe el nombre del matemático italiano Giacinto Morera (1856-1909), proporciona un criterio importante para demostrar que una función es holomorfa.

Sea

$f$

una función continua de variable compleja definida en un conjunto abierto conexo

$D$

en el plano complejo que satisface

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0$

para cada curva cerrada

$\gamma$

que sea

$C^1$

a trozos en

$D$

, entonces

$f$

debe ser holomorfa en

$D$

.

La suposición del Teorema de Morera es equivalente a que $f$ tiene una primitiva en $D$.

El inverso del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no necesita poseer una primitiva en su dominio, a no ser que se impongan hipótesis adicionales. El inverso se cumple, por ejemplo, si el dominio $D$ es simplemente conexo; esto es el teorema integral de Cauchy, el cual establece que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero.

El contraejemplo estándar es la función f(z) = $1/z$, la cual es holomorfa en $ℂ-\{0\}$. En cualquier entorno simplemente conexo U en $ℂ-\{0\}$, $1/z$ tiene una primitiva definida por L(z) = ln(r) + iθ, donde z = re^iθ. Debido a la ambigüedad de θ bajo la adición de cualquier múltiplo entero de 2π, cualquier elección continua de θ en U bastará para definir una primitiva de $1/z$ en U. Dado que la derivada de una constante aditiva es 0, se le puede sumar cualquier constante a la primitiva, y el resultado continúa siendo una primitiva de $1/z$.

En cierto sentido, la función $1/z$ es un contraejemplo universal: para cada función analítica que no tiene primitiva en su dominio, la razón para esto es que $1/z$ no tiene primitiva en $ℂ-\{0\}$.