Topología del orden (análisis funcional)

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y análisis funcional, la topología del orden de un espacio vectorial ordenado $(X,\le )$ es la topología más fina en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo en $X$ para el que cada intervalo de orden está acotado, donde un intervalo de orden en $X$ es un conjunto de la forma $[a,b]:=\{z\in X:a\le z\text{and }z\le b\}$ en el que $a$ y $b$ pertenecen a $X.$Plantilla:Sfn

La topología del orden es una topología importante que se usa con frecuencia en la teoría de espacios vectoriales topológicos ordenados porque la topología surge directamente de las propiedades algebraicas y teóricas del orden de $(X,\le ),$ en lugar de alguna topología que $X$ comience a tener. Esto permite establecer conexiones íntimas entre esta topología y las propiedades algebraicas y teóricas del orden de $(X,\le ).$ Para muchos espacios vectoriales topológicos ordenados que surgen en el análisis matemático, sus topologías son idénticas a la topología del orden.Plantilla:Sfn

Definiciones

La familia de todas las topologías localmente convexas en $X$ para las que cada intervalo de orden está acotado no está vacía (ya que contiene la topología más gruesa posible en $X$) y la topología del orden es el límite superior de esta familia.Plantilla:Sfn

Un subconjunto de $X$ es un entorno del origen en la topología del orden si y solo si es convexo y absorbe todos los intervalos del orden en $X.$Plantilla:Sfn Una vecindad del origen en la topología del orden es necesariamente un conjunto absorbente porque $[x,x]:=\{x\}$ para todos los $x\in X.$Plantilla:Sfn

Para cada $a\ge 0,$, considérese que $X_a=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n[-a,a]$ y asignese a $X_a$ su topología del orden (lo que lo convierte en un espacio normal). El conjunto de todos los $X_a$ se dirige bajo inclusión y si $X_a\subseteq X_b$ entonces la inclusión natural de $X_a$ en $X_b$ es continua. Si $X$ es un espacio vectorial ordenado regularmente sobre los números reales y si $H$ es cualquier subconjunto del cono positivo $C$ de $X$ que es cofinal en $C$ (por ejemplo, $H$ podría ser $C$), entonces $X$ con su topología del orden es el límite inductivo de $\{X_a:a\ge 0\}$ (donde las aplicaciones de enlace son las inclusiones naturales).Plantilla:Sfn

La estructura reticular puede compensar en parte cualquier falta de unidad de orden:

En particular, si $(X,\tau )$ es un retículo de Fréchet ordenado sobre números reales, entonces $\tau$ es la topología ordenada en $X$ si y solo si el cono positivo de $X$ es un cono normal en $(X,\tau ).$Plantilla:Sfn

Si $X$ es un espacio de Riesz ordenado regularmente, entonces la topología ordenada es la topología del EVT localmente convexa más fina en $X$, lo que convierte a $X$ en un retículo vectorial localmente convexo. Si además $X$ tiene un orden completo, entonces $X$ con la topología del orden es un espacio barrilado y cada descomposición de banda de $X$ es una suma topológica directa para esta topología.Plantilla:Sfn En particular, si el orden de un retículo vectorial $X$ es regular, entonces la topología del orden la genera la familia de todas las seminormas reticulares en $X.$Plantilla:Sfn.

Propiedades

En todo momento, $(X,\le )$ será un espacio vectorial ordenado y ${\tau }_{\le }$ denota la topología del orden en $X.$

• El dual de $(X,{\tau }_{\le })$ es el orden enlazado dual $X_b$ de $X.$Plantilla:Sfn
• Si $X_b$ separa puntos en $X$ (por ejemplo, si $(X,\le )$ es regular), entonces $(X,{\tau }_{\le })$ es un EVT localmente convexo bornológico.Plantilla:Sfn
• Cada operador lineal positivo entre dos espacios vectoriales ordenados es continuo para las topologías del orden respectivas.Plantilla:Sfn
• Cada unidad de orden de un EVT ordenado está dentro del cono positivo de la topología del orden.Plantilla:Sfn
• Si el orden de un espacio vectorial ordenado $X$ es un orden regular y si cada secuencia positiva de tipo ${\ell }^1$ en $X$ es de orden sumable, entonces $X$ dotado de su topología del orden es un espacio barrilado.Plantilla:Sfn
• Si el orden de un espacio vectorial ordenado $X$ es un orden regular y si para todo $x\ge 0$ e $y\ge 0$ se cumple que $[0,x]+[0,y]=[0,x+y]$, entonces el cono positivo de $X$ es un cono normal en $X$ cuando $X$ está dotado de la topología del orden.Plantilla:Sfn En particular, el espacio dual continuo de $X$ con la topología del orden será el orden dual $X$⁺.
• Si $(X,\le )$ es un espacio vectorial ordenado arquimedianamente sobre los números reales que tiene una unidad de orden, y haciendo que ${\tau }_{\le }$ denote la topología del orden en $X.$ Entonces, $(X,{\tau }_{\le })$ es un espacio vectorial topológico ordenado que es normable, ${\tau }_{\le }$ es la topología del EVT localmente convexa más fina en $X$ tal que el cono positivo es normal , y las siguientes proposiciones son equivalentes:Plantilla:Sfn

1. $(X,{\tau }_{\le })$ está completo.
2. Cada secuencia positiva de tipo ${\ell }^1$ en $X$ es de orden sumable.

• En particular, si $(X,\le )$ es un espacio vectorial ordenado arquimedianamente que tiene una unidad de orden, entonces el orden $\le$ es un orden regular y $X_b=X^{+}.$Plantilla:Sfn
• Si $X$ es un espacio de Banach y un espacio vectorial ordenado con una unidad de orden, entonces la topología de $X$ es idéntica a la topología del orden si y solo si el cono positivo de $X$ es un cono normal en $X.$Plantilla:Sfn
• Un homomorfismo de un retículo vectorial $X$ sobre $Y$ es un homomorfismo topológico cuando a $X$ e $Y$ se les dan sus respectivas topologías de orden.Plantilla:Sfn

Relación con subespacios, cocientes y productos

Si $M$ es un subespacio vectorial sólido de un retículo vectorial $X,$, entonces la topología del orden de $X/M$ es el cociente de la topología del orden en $X.$Plantilla:Sfn

Ejemplos

La topología del orden de un producto finito de espacios vectoriales ordenados (este producto tiene su orden canónico) es idéntica a la topología producto de los espacios vectoriales ordenados constituyentes (cuando a cada uno se le da su topología del orden).Plantilla:Sfn

Véase también

• Métrica generalizada
• Topología del orden
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado
• Retículo vectorial

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
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