Variedad plana
En matemáticas, se dice que una variedad riemanniana es plana si su curvatura es cero en todo punto. Intuitivamente, una variedad plana es aquella que «se parece localmente» a un espacio euclídeo en términos de distancias y ángulos, por ejemplo, en que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.
El recubridor universal de una variedad plana completa es un espacio euclídeo. Esto puede usarse para probar el teorema de Plantilla:Harvtxt que dice que todas las variedades planas compactas están finitamente recubiertas por toros. El caso de dimensión 3 fue probado antes por Plantilla:Harvtxt.
Ejemplos
Las siguientes variedades pueden equiparse con una métrica plana. Nótese que esta puede no ser su métrica estándar (por ejemplo, la métrica plana del toro de dimensión 2 no es la métrica inducida por su embebimiento usual en ).
Dimensión 1
- La recta.
- La circunferencia.
Dimensión 2
- El plano.
- El cilindro.
- La banda de Möbius.
- La botella de Klein.
- El toro de dimensión 2. Un toro plano puede embeberse isométricamente en el espacio euclídeo de dimensión 3 con una aplicación C1 a través del teorema de inmersión de Nash, pero no con una aplicación C2, y el toro de Clifford provee un embebimiento isométrico analítico del toro plano en cuatro dimensiones.
Existen 17 orbifolds compactos de dimensión 2 con métricas planas (incluyendo el toro y la botella de Klein), que se corresponden con los 17 grupos de papeles pintados o grupos cristalográficos planos.
Dimensión 3
Existen 6 ejemplos compactos orientables y 4 no orientables de variedades planas, todas ellas variedades de Seifert.
Dimensión mayor
- Espacios euclídeos.
- Toros.
- Productos de variedades planas.
- Cocientes de variedades planas por grupos que actúan libremente.