Grupo modular

En matemáticas, el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo Plantilla:Math de matrices de orden Plantilla:Nowrap con coeficientes enteros y determinante 1. Las matrices Plantilla:Math y Plantilla:Math se identifican entre sí. El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias. El nombre "grupo modular" proviene de su relación con los espacios modulares y no guarda relación con la aritmética modular.

Definición

El grupo modular Plantilla:Math es el grupo de transformaciones fraccionales lineales de la mitad superior del plano complejo, que tienen la forma

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d},$

donde Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math son números enteros y Plantilla:Math. La operación de grupo es una función compuesta.

Este grupo de transformaciones es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo Plantilla:Math, que es el cociente del grupo lineal especial bidimensional Plantilla:Math sobre los enteros por su centro Plantilla:Math. En otras palabras, Plantilla:Math consta de todas las matrices

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

donde Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math son números enteros, Plantilla:Math y los pares de matrices Plantilla:Math y Plantilla:Math se consideran idénticos. La operación del grupo es la multiplicación de matrices habitual.

Algunos autores definen el grupo modular como Plantilla:Math, y otros lo definen como el grupo más grande de Plantilla:Math.

Algunas relaciones matemáticas requieren la consideración del grupo Plantilla:Math de matrices con determinante más o menos uno (Plantilla:Math es un subgrupo de este grupo). De manera similar, Plantilla:Math es el grupo de cocientes Plantilla:Math. Una matriz Plantilla:Nowrap con determinante unitario es una matriz simpléctica y, por tanto, Plantilla:Math, el grupo simpléctico de las matrices de orden Plantilla:Nowrap.

Determinación de sus elementos

Para encontrar explícitamente una matriz

$\left(\begin{array}{cc}a& x\\ b& y\end{array}\right)$

en Plantilla:Math, se comienza con dos enteros coprimos

$a,b$

y se resuelve la ecuación del determinante

$ay-bx=1.$

(obsérvese que la ecuación del determinante obliga a

$a,b$

a ser coprimos, ya que de lo contrario habría un factor

$c$

tal que

$c{a}^{\prime }=a$

,

$c{b}^{\prime }=b$

, y por lo tanto,

$c(a^{\prime }y-b^{\prime }x)=1$

no tendría soluciones enteras). Por ejemplo, si

$a=7,b=6$

entonces la ecuación del determinante implica que

$7y-6x=1$

y tomando

$y=-5$

y

$x=-6$

da

$-35-(-36)=1$

, por lo tanto,

$\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ 6& -5\end{array}\right)$

es una matriz buscada. Entonces, usando la proyección, estas matrices definen elementos en Plantilla:Math.

Propiedades teóricas de los términos

El determinante unidad de

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

implica que las fracciones _{Plantilla:Math}, _{Plantilla:Math}, _{Plantilla:Math}, _{Plantilla:Math} son todas irreducibles, es decir, no tienen factores comunes (siempre que los denominadores sean distintos de cero, por supuesto). De manera más general, si Plantilla:Math es una fracción irreducible, entonces

$\frac{ap+bq}{cp+dq}$

también es irreducible (de nuevo, siempre que el denominador sea distinto de cero). Cualquier par de fracciones irreducibles se puede conectar de esta manera; es decir, para cualquier par Plantilla:Math y Plantilla:Math de fracciones irreducibles, existen elementos

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2,𝐙)$

tal que

$r=ap+bq\text{ y }s=cp+dq.$

Los elementos del grupo modular proporcionan una simetría en la retícula bidimensional. Sean Plantilla:Math y Plantilla:Math dos números complejos cuya razón no es real. Entonces el conjunto de puntos

$\mathrm{\Lambda }({\omega }_1,{\omega }_2)=\{m{\omega }_1+n{\omega }_2:m,n\in 𝐙\}$

es una red de paralelogramos en el plano. Un par diferente de vectores Plantilla:Math y Plantilla:Math generarán exactamente el mismo entramado si y solo si

$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)$

para alguna matriz en Plantilla:Math. Es por esta razón que una función doblemente periódica, como la función elíptica, poseen una simetría de grupo modular.

La acción del grupo modular sobre los números racionales se puede entender más fácilmente imaginando una retícula cuadrada, con el punto Plantilla:Math correspondiente a la fracción Plantilla:Math (véase huerto de Euclides). Una fracción irreducible es aquella que es "visible" desde el origen; la acción del grupo modular sobre una fracción nunca lleva de un valor "visible" (irreducible) a uno "oculto" (reducible), y viceversa.

Téngase en cuenta que cualquier miembro del grupo modular aplica la recta real proyectada extendida uno a uno sobre sí misma, y además aplica biyectivamente la recta racional proyectada extendida (los racionales con el infinito) sobre sí misma, los irracionales sobre los irracionales, los trascendentes sobre los trascendentes, los números no reales sobre los números no reales, el semiplano superior sobre semiplano superior, etcétera.

Si Plantilla:Math y Plantilla:Math son dos términos convergentes sucesivos de una fracción continua, entonces la matriz

$\left(\begin{array}{cc}{p}_{n-1}& p_n\\ q_{n-1}& q_n\end{array}\right)$

pertenece a Plantilla:Math. En particular, si Plantilla:Math para enteros positivos Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math con Plantilla:Math y Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math y Plantilla:Math serán elementos vecinos en la sucesión de Farey de orden Plantilla:Math. Los casos especiales importantes de términos convergentes de fracciones continuas incluyen la sucesión de Fibonacci y las soluciones de la ecuación de Pell. En ambos casos, los números se pueden organizar para formar un subconjunto que forma un semigrupo del grupo modular.

Propiedades teóricas de grupo

Presentación

Se puede demostrar que el grupo modular es generado mediante las dos transformaciones

$\begin{array}{cc}S& :z\mapsto -\frac{1}{z}\\ T& :z\mapsto z+1\end{array}$

de modo que cada elemento del grupo modular pueda ser representado (de manera no única) por la composición de potencias de Plantilla:Math y Plantilla:Math. Geométricamente, Plantilla:Math representa la inversión en el círculo unitario seguida de una reflexión con respecto al eje imaginario, mientras que Plantilla:Math representa una traslación unitaria hacia la derecha.

Los generadores Plantilla:Math y Plantilla:Math obedecen a las relaciones Plantilla:Math y Plantilla:Math. Se puede demostrar que se trata de un conjunto completo de relaciones, por lo que el grupo modular tiene la presentación:

$\mathrm{\Gamma }\cong ⟨S,T\mid S^2=I,{\left(ST\right)}^3=I⟩$

Esta presentación describe el grupo modular como el grupo triangular Plantilla:Math rotacional (infinito, ya que no hay relación en Plantilla:Math) y, por lo tanto, se asigna a todos los grupos de triángulos Plantilla:Math agregando la relación Plantilla:Math, que ocurre, por ejemplo, en un subgrupo de congruencia Plantilla:Math.

Usando los generadores Plantilla:Math y Plantilla:Math en lugar de Plantilla:Math y Plantilla:Math, se demuestra cómo el grupo modular es isomorfo al producto libre de grupos de los grupos cíclicos Plantilla:Math y Plantilla:Math:

$\mathrm{\Gamma }\cong C_2*C_3$

• 
  Acción de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math
• 
  Acción de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math

Grupo de trenzas

El grupo de trenzas Plantilla:Math es la extensión central universal del grupo modular

El grupo de trenzas Plantilla:Math es la extensión central universal del grupo modular, asentadas como retículas dentro del grupo de cobertura universal (topológico) Plantilla:Math. Además, el grupo modular tiene un centro trivial y, por lo tanto, el grupo modular es isomorfo al grupo cociente de Plantilla:Math módulo su centro; de manera equivalente, al grupo de automorfismos internos de Plantilla:Math.

El grupo de trenzas Plantilla:Math a su vez es isomorfo al nudo de trébol del grupo de nudos.

Cocientes

Los cocientes por subgrupos de congruencia son de gran interés.

Otros cocientes importantes son los grupos de triángulos Plantilla:Math, que corresponden geométricamente a descender a un cilindro, realizando el cociente de la coordenada Plantilla:Math módulo Plantilla:Math, como Plantilla:Math. Plantilla:Math es el grupo de simetría icosaedral, y el [[grupo triangular (2,3,7)|grupo triangular Plantilla:Math]] (y el teselado asociado) es un recubrimiento para todas las superficies de Hurwitz.

Presentando como un grupo matricial

El grupo ${\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$ puede ser generado por las dos matrices

$S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

ya que

$S^2=-I_2,(ST{)}^3={\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right)}^3=-I_2$

La proyección ${\text{SL}}_2(\mathbb{Z})\to {\text{PSL}}_2(\mathbb{Z})$ convierte estas matrices en generadores de ${\text{PSL}}_2(\mathbb{Z})$, con relaciones similares a la presentación de grupo.

Relación con la geometría hiperbólica

El grupo modular es importante porque forma un subgrupo del grupo de isometrías del plano hiperbólico. Si se considera el modelo del semiplano superior Plantilla:Math de la geometría del plano hiperbólico, entonces el grupo de todas las isometrías con preservación de la orientación de Plantilla:Math constan de todas las transformaciones de Möbius de la forma

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

donde Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math son números reales. En términos de coordenadas homogéneas, el grupo Plantilla:Math actúa en el semiplano superior Plantilla:Math por proyectividad:

$[z,1]\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)=[az+b,cz+d]\sim [\frac{az+b}{cz+d},1].$

Esta acción es fiel. Dado que Plantilla:Math es un subgrupo de Plantilla:Math, el grupo modular es un subgrupo del grupo de isometrías que preservan la orientación de Plantilla:Math.

Teselación del plano hiperbólico

Un dominio fundamental típico para la acción de Plantilla:Math en el semiplano superior

El grupo modular Plantilla:Math actúa sobre Plantilla:Math como un subgrupo discreto de Plantilla:Math, es decir, para cada Plantilla:Math en Plantilla:Math se puede encontrar un entorno de Plantilla:Math que no contiene ningún otro elemento de la órbita de Plantilla:Math. Esto también significa que se puede construir el dominio fundamental, que (aproximadamente) contienen exactamente un representante de la órbita de cada Plantilla:Math en Plantilla:Math (los límites del dominio se deben elegir cuidadosamente).

Hay muchas formas de construir un dominio fundamental, pero una opción común es la región

$R=\{z\in 𝐇:\left|z\right|>1,|\text{Re}(z)|<\frac{1}{2}\}$

delimitada por las rectas verticales Plantilla:Math y Plantilla:Math, y el círculo Plantilla:Math. Esta región es un triángulo hiperbólico. Tiene vértices en Plantilla:Math y Plantilla:Math, donde el ángulo entre sus lados es Plantilla:Math, y un tercer vértice en el infinito, donde el ángulo entre sus lados es 0.

Al transformar esta región a su vez por cada uno de los elementos del grupo modular, se crea un teselado regular del plano hiperbólico mediante triángulos hiperbólicos congruentes conocido como teselado triangular de orden infinito V6.6.∞. Debe tenerse en cuenta que cada uno de estos triángulos tiene un vértice en el infinito o en el eje real Plantilla:Math. Este teselado se puede extender al disco de Poincaré, donde cada triángulo hiperbólico tiene un vértice en el límite del disco. El teselado del disco de Poincaré viene dado de forma natural por el [[J-invariante|Plantilla:Math-invariante]], que es invariante bajo el grupo modular, y alcanza cada número complejo una vez en cada triángulo de estas regiones.

Esta teselación se puede refinar ligeramente, dividiendo cada región en dos mitades (convencionalmente coloreadas en blanco y negro), agregando una aplicación de inversión de orientación; los colores corresponden entonces a la orientación del dominio. Al agregar Plantilla:Math y tomar la mitad derecha de la región Plantilla:Math (donde Plantilla:Math) se obtiene la teselación habitual. Esta teselación apareció descrita por primera vez en Plantilla:Harv, donde se acredita a Richard Dedekind, en referencia a Plantilla:Harv.

Visualización de la aplicación Plantilla:Math transformando los teselados asociados

La aplicación de los grupos Plantilla:Math (del grupo modular al grupo triangular) se puede visualizar en términos de este mosaico (produciendo un mosaico en la curva modular), como se muestra en la animación de la derecha.

Subgrupos de congruencia

Los subgrupo importantes del grupo modular Plantilla:Math, llamados subgrupos de congruencia, se dan imponiendo una relación de congruencia en las matrices asociadas.

Existe un homomorfismo Plantilla:Math natural que se obtiene al reducir las entradas mediante la operación módulo Plantilla:Math. Esto induce un homomorfismo en el grupo modular Plantilla:Math. El núcleo de este homomorfismo se denomina subgrupo de congruencia principal del nivel Plantilla:Math, denotado Plantilla:Math. Se tiene la siguiente sucesión exacta:

$1\to \mathrm{\Gamma }(N)\to \mathrm{\Gamma }\to \text{PSL}(2,𝐙/N𝐙)\to 1$.

El núcleo del homomorfismo Plantilla:Math es un subgrupo normal del grupo modular Plantilla:Math. El grupo Plantilla:Math se da como el conjunto de todas las transformaciones modulares

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

para las que Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Es fácil demostrar que la traza de una matriz que representa un elemento de Plantilla:Math no puede ser -1, 0 o 1, por lo que estos subgrupos son torsiones (existen otros subgrupos sin torsión).

El principal subgrupo de congruencia del nivel 2, Plantilla:Math, también se denomina grupo modular Plantilla:Math. Dado que Plantilla:Math es isomorfo al Plantilla:Math, Plantilla:Math es un subgrupo de índice 6. El grupo Plantilla:Math consta de todas las transformaciones modulares para las que Plantilla:Math y Plantilla:Math son impares y Plantilla:Math y Plantilla:Math son pares.

Otra familia importante de subgrupos de congruencia son los [[grupo modular Gamma0|grupos modulares Plantilla:Math]] definidos como el conjunto de todas las transformaciones modulares para las que Plantilla:Math, o de manera equivalente, como el subgrupo cuyas matrices se convierten a la forma triangular superior según el módulo de reducción Plantilla:Math. Se debe tener en cuenta que Plantilla:Math es un subgrupo de Plantilla:Math. Las curvas modulares asociadas con estos grupos son un aspecto de monstrous moonshine -para un número primo Plantilla:Math, la curva modular del normalizador es de genus cero si y solo si Plantilla:Math divide el orden del grupo monstruo, o de manera equivalente, si Plantilla:Math es un primo supersingular.

Monoide diádico

Un subconjunto importante del grupo modular es el monoide diádico, que es el monoide de todas las cadenas de la forma Plantilla:Math para enteros positivos Plantilla:Math. Este monoide aparece naturalmente en el estudio de curvas fractales y describe las simetrías de la autosimilitud de la función de Cantor, de la función del signo de interrogación de Minkowski y del copo de nieve de Koch, siendo cada una un caso especial de la curva de De Rham general. El monoide también tiene representaciones lineales de dimensiones superiores. Por ejemplo, se puede entender que la representación Plantilla:Math describe la auto-simetría de la curva del manjar blanco.

Aplicaciones en el toro

El grupo Plantilla:Math coincide con las transformaciones lineales que conservan la retícula estándar Plantilla:Math, y Plantilla:Math son las transformaciones que conservan la orientación y preservan esta retícula; así descienden a auto homeomorfismos del toro (tranformación SL a sistemas que preservan la orientación), y de hecho aplican isomórficamente al grupo de clases de aplicación (extendido) del toro, lo que significa que cada auto-homeomorfismo del toro es isotópico a una aplicación de esta forma. Las propiedades algebraicas de una matriz como elemento de Plantilla:Math corresponden a la dinámica de las transformaciones inducidas en el toro.

Grupos de Hecke

El grupo modular se puede generalizar a los grupos de Hecke, denominados así en memoria de Erich Hecke, y definidos de la siguiente manera.

El grupo de Hecke Plantilla:Math con Plantilla:Math, es el grupo discreto generado por

$\begin{array}{cc}z& \mapsto -\frac{1}{z}\\ z& \mapsto z+{\lambda }_q,\end{array}$

donde Plantilla:Math. Para valores pequeños de Plantilla:Math, se tiene que:

$\begin{array}{cc}{\lambda }_3& =1,\\ {\lambda }_4& =\sqrt{2},\\ {\lambda }_5& =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\\ {\lambda }_6& =\sqrt{3},\\ {\lambda }_8& =\sqrt{2+\sqrt{2}}.\end{array}$

El grupo modular Plantilla:Math es isomorfo a Plantilla:Math y comparten propiedades y aplicaciones, por ejemplo, posee el producto libre de los grupos cíclicos.

$\mathrm{\Gamma }\cong C_2*C_3,$

más generalmente se tiene que

$H_q\cong C_2*C_q,$

que corresponde al grupo triangular Plantilla:Math. De manera similar, existe una noción de subgrupos de congruencia principal asociada a los ideales principales en Plantilla:Math.

Historia

El grupo modular y sus subgrupos fueron estudiados en detalle por primera vez por Richard Dedekind y por Felix Klein como parte de su Programa de Erlangen en la década de 1870. Sin embargo, las funciones elípticas estrechamente relacionadas fueron estudiados por Joseph-Louis Lagrange en 1785, y Carl Gustav Jakob Jacobi y Niels Henrik Abel publicaron más resultados sobre funciones elípticas en 1827.

Véase también

• [[J-invariante|Plantilla:Math-invariante]]
• Grupo kleiniano
• Transformación de Möbius
• Curva modular
• Forma modular

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation.