Homomorfismo de grupos

En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que preserva la operación binaria.

Dados dos grupos $(G, \circ)$ y $(H, *)$ la aplicación $φ : G ⟶ H$ es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos $a, b \in G$

φ (a \circ b) = φ (a) * φ (b)

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación ( $\circ$ ) es la ley de composición interna en $G$ , y la operación del lado derecho de la ecuación ( $*$ ) es la ley de composición interna en $H$ .^[1]

Si la aplicación $φ$ es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

Definiciones

Dados dos grupos $(G, \circ)$ y $(H, *)$ , en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento g de $G$ un elemento h de $H$ :

φ : G ⟶ H

Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos $a, b \in G$

φ (a \circ b) = φ (a) * φ (b)

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación ( $\circ$ ) es la ley de composición interna en $G$ , y la operación del lado derecho de la ecuación ( $*$ ) es la ley de composición interna en $H$ .^[1]

Imagen de $φ$

El conjunto de todos los elementos de $H$ que son la imagen de algún elemento de $G$ se llama la imagen de la aplicación, y se denota $I m (φ)$ o $φ (G)$ .^[2] Formalmente:

I m (φ) : {h \in H : h = φ (g), p a r a a l g \overset{´}{u} n g \in G}

La imagen de $φ$ es un subgrupo de $H$ .

El núcleo o kernel

El conjunto de todos los elementos de $G$ cuya imagen es el elemento identidad de $H$ se llama núcleo (kernel) de $φ$ :

\ker (φ) : {g \in G : φ (g) = 1_{H}}

El núcleo de $φ$ es un subgrupo normal de G. El núcleo es importante porque no sólo determina qué elementos tienen por imagen la identidad, sino también qué elementos tienen la misma imagen:^[3]

Dado

a \in G \to φ (a \circ k) = φ (a) \forall k \in \ker (φ)

ya que

φ (a \circ k) = φ (a) * φ (k) = φ (a) * 1_{H} = φ (a)

Los conjuntos de todos los elementos que comparten una misma imagen son las clases laterales del núcleo.

Ejemplos

La función exponencial es un homomorfismo de grupos entre los números reales bajo la adición y el grupo multiplicativo de los reales no nulos (excluido el 0):

f : (ℝ, +) ⟶ (ℝ^{*}, \cdot) t a l q u e f (x) = e^{x}

dado que $f (x + y) = e^{x + y} = e^{x} e^{y} = f (x) \cdot f (y)$

La imagen de la función exponencial es el subgrupo de los números reales positivos, y el núcleo es solo el elemento identidad (el 0), ya que la aplicación es inyectiva.

La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles (grupo general lineal) en los números reales no nulos, es un homomorfismo de grupos:

f : {𝔾 𝕃}_{n} (ℝ) ⟶ (ℝ^{*}, \cdot) t a l q u e f (A) = d e t (A)

dado que $\det (A \times B) = \det (A) \cdot \det (B)$ .

Tipos de homomorfismos

un monomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos inyectivo, aquel en el que no hay dos elementos de $G$ con la misma imagen:

\forall g_{1}, g_{2} \in G : φ (g_{1}) = φ (g_{2}) ⟺ g_{1} = g_{2}

El núcleo de un monomorfismo sólo contiene al elemento identidad, y a la inversa, cuando el núcleo sólo contiene al elemento identidad entonces la función es un monomorfismo.

un epimorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos sobreyectivo, aquel en el que todo elemento de $H$ es imagen de algún elemento de $G$ . Bajo estas condiciones, la imagen de $φ$ es todo $H$ :

\forall h \in H : h = φ (g), p a r a a l g \overset{´}{u} n g \in G

un isomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos que es simultáneamente inyectivo y sobreyectivo, o lo que es lo mismo, biyectivo. cuando esto ocurre, ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar al conjunto, los elementos y la operación.
un endomorfismo es un homomorfismo de un grupo en sí mismo:

φ : G ⟶ G

.

un automorfismo es un endomorfismo biyectivo. Nótese que, en un grupo finito, cuando un endomorfismo es inyectivo entonces es sobreyectivo, y viceversa. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G, con la composición de funciones como operación, es en sí mismo un grupo llamado grupo de automorfismos de G (Aut(G)). Como ejemplo, el grupo de automorfismos de $(ℤ, +)$ sólo contiene dos elementos: la transformación identidad [f(n)=n] y la multiplicación por -1 [f(n)=-n], por lo que es isomorfo a $ℤ / 2 ℤ$ .