Número poligonal

Números poligonales

Los cuatro primeros tipos de números poligonales: números triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales

En matemáticas, un número poligonal es un número natural que puede recomponerse en un polígono regular. Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían disponerse con ciertas formas cuando los representaban mediante piedras o semillas.

Números poligonales

El número 10 puede recomponerse como un triángulo (véase número triangular):

Sin embargo, el 10 no puede formar un cuadrado, pero el 9 sí (véase número cuadrado):

Algunos números, como el 36, pueden recomponerse tanto en un cuadrado como en un triángulo (véase número cuadrado triangular):

El método empleado para agrandar el polígono hasta el siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes por un punto y luego añadir los lados extra requeridos entre los puntos.

Fórmulas

Un número s-gonal se puede descomponer en s−2 números triangulares y en un número natural

Si Plantilla:Mvar es el número de lados de un polígono, la fórmula para el Plantilla:Mvar-ésimo número Plantilla:Mvar-gonal Plantilla:Math es

$P(s,n)=\frac{(s-2)n^2-(s-4)n}{2}$

o

$P(s,n)=(s-2)\frac{n(n-1)}{2}+n$

El Plantilla:Mvar-ésimo número Plantilla:Mvar-gonal también está relacionado con los números triangulares Plantilla:Math de la siguiente manera:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_n.$

Por lo tanto:

$\begin{array}{cc}P(s,n+1)-P(s,n)& =(s-2)n+1,\\ P(s+1,n)-P(s,n)& =T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}.\end{array}$

Para un número Plantilla:Mvar-gonal dado Plantilla:Math, se puede encontrar Plantilla:Mvar mediante la fórmula

$n=\frac{\sqrt{8(s-2)x+{(s-4)}^2}+(s-4)}{2(s-2)}$

y a su vez se puede encontrar Plantilla:Mvar calculando

$s=2+\frac{2}{n}\cdot \frac{x-n}{n-1}$.

Cada número hexagonal es también un número triangular

Aplicando la fórmula anterior:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n$

al caso de 6 lados, se obtiene:

$P(6,n)=4T_{n-1}+n$

pero sabiendo que:

$T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}$

resulta:

$P(6,n)=\frac{4n(n-1)}{2}+n=\frac{2n(2n-1)}{2}=T_{2n-1}$

Esto demuestra que el Plantilla:Mvar-'esimo número hexagonal Plantilla:Math es también el Plantilla:Math-ésimo número triangular Plantilla:Math. Se puede determinar la secuencia de los números hexagonales simplemente tomando los números triangulares impares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

n-ésimo número poligonal

Si $l$ es el número de lados de un polígono, entonces la fórmula para el $n$-ésimo número poligonal de $l$ lados es $\frac{n((l-2)n-(l-4))}{2}$.

Propiedades

La siguiente tabla incluye algunas propiedades de las series definidas por los números poligonales. Son especialmente relevantes los resultados de la suma de los inversos de los números poligonales $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n_i}$. Los primeros 6 valores en la columna "suma de inversos", para números triangulares a octagonales, provienen de una solución publicada al problema general, que también da una fórmula general para cualquier número de lados, en términos de la función digamma.

El OEIS evita los términos que usan prefijos griegos (por ejemplo, "octagonal") en favor de términos que usan números (es decir, "8-gonal").

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (consúltese Plantilla:OEIS2C):

$2P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),$

con

$k=0,1,2,3,...,s-3.$

s	Nombre	Fórmula	Suma de los inversos	n													número OEIS
				1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
3	Triangular	Plantilla:Math	2[]	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91	Plantilla:OEIS2C
4	Cuadrado	Plantilla:Math	Plantilla:Sfrac[]	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	Plantilla:OEIS2C
5	Pentagonal	Plantilla:Math	Plantilla:Math[]	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247	Plantilla:OEIS2C
6	Hexagonal	Plantilla:Math	Plantilla:Math[]	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325	Plantilla:OEIS2C
7	Heptagonal	Plantilla:Math	$\begin{array}{c}\frac{2}{3}\ln 5\\ +\frac{1+\sqrt{5}}{3}\ln \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}\\ +\frac{1-\sqrt{5}}{3}\ln \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}\\ +\frac{\pi \sqrt{25-10\sqrt{5}}}{15}\end{array}$[]	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403	Plantilla:OEIS2C
8	Octagonal	Plantilla:Math	Plantilla:Math[]	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481	Plantilla:OEIS2C
9	Nonagonal	Plantilla:Math		1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559	Plantilla:OEIS2C
10	Decagonal	Plantilla:Math	Plantilla:Math	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637	Plantilla:OEIS2C
11	Hendecagonal	Plantilla:Math		1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715	Plantilla:OEIS2C
12	Dodecagonal	Plantilla:Math		1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793	Plantilla:OEIS2C
13	Tridecagonal	Plantilla:Math		1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871	Plantilla:OEIS2C
14	Tetradecagonal	Plantilla:Math	Plantilla:Math	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949	Plantilla:OEIS2C
15	Pentadecagonal	Plantilla:Math		1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027	Plantilla:OEIS2C
16	Hexadecagonal	Plantilla:Math		1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105	Plantilla:OEIS2C
17	Heptadecagonal	Plantilla:Math		1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183	Plantilla:OEIS2C
18	Octadecagonal	Plantilla:Math	Plantilla:Math Plantilla:Math	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261	Plantilla:OEIS2C
19	Eneadecagonal	Plantilla:Math		1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339	Plantilla:OEIS2C
20	Icosagonal	Plantilla:Math		1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417	Plantilla:OEIS2C
21	Icosihenagonal	Plantilla:Math		1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495	Plantilla:OEIS2C
22	Icosidigonal	Plantilla:Math		1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573	Plantilla:OEIS2C
23	Icositrigonal	Plantilla:Math		1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651	Plantilla:OEIS2C
24	Icositetragonal	Plantilla:Math		1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729	Plantilla:OEIS2C
25	Icosipentagonal	Plantilla:Math		1	25	72	142	235	351	491	652	837	1045	1276	1530	1807	Plantilla:OEIS2C
26	Icosihexagonal	Plantilla:Math		1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885	Plantilla:OEIS2C
27	Icosiheptagonal	Plantilla:Math		1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963	Plantilla:OEIS2C
28	Icosioctagonal	Plantilla:Math		1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041	Plantilla:OEIS2C
29	Icosienagonal	Plantilla:Math		1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119	Plantilla:OEIS2C
30	Triacontagonal	Plantilla:Math		1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197	Plantilla:OEIS2C
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	Miriagonal	Plantilla:Math															Plantilla:OEIS2C

Números multipoligonales

Algunos números, como el 36, que es tanto cuadrado como triangular, pertenece a dos conjuntos de números poligonales. El problema de determinar, dados dos conjuntos de este tipo, todos los números que pertenecen a ambos se puede resolver reduciendo el problema a una ecuación de Pell. El ejemplo más simple es la secuencia de números cuadrados triangulares.

La siguiente tabla resume el conjunto de números Plantilla:Mvar-gonales Plantilla:Mvar-gonales para valores pequeños de Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar.

Plantilla:Mvar	Plantilla:Mvar	Secuencia	Número OEIS
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...	Plantilla:OEIS2C
5	3	1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, …	Plantilla:OEIS2C
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	Plantilla:OEIS2C
6	3	Todos los números hexagonales también son triangulares.	Plantilla:OEIS2C
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ...	Plantilla:OEIS2C
6	5	1, 40755, 1533776805, …	Plantilla:OEIS2C
7	3	1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, …	Plantilla:OEIS2C
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, …	Plantilla:OEIS2C
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	Plantilla:OEIS2C
7	6	1, 121771, 12625478965, …	Plantilla:OEIS2C
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	Plantilla:OEIS2C
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	Plantilla:OEIS2C
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	Plantilla:OEIS2C
8	6	1, 11781, 113123361, …	Plantilla:OEIS2C
8	7	1, 297045, 69010153345, …	Plantilla:OEIS2C
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	Plantilla:OEIS2C
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ...	Plantilla:OEIS2C
9	5	1, 651, 180868051, …	Plantilla:OEIS2C
9	6	1, 325, 5330229625, …	Plantilla:OEIS2C
9	7	1, 26884, 542041975, …	Plantilla:OEIS2C
9	8	1, 631125, 286703855361, …	Plantilla:OEIS2C

En algunos casos, como Plantilla:Math y Plantilla:Math, no hay números en ambos conjuntos distintos del 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil. Una búsqueda por computadora de números triangulares cuadrados pentagonales ha arrojado solo el valor trivial de 1, aunque aún no se ha encontrado una prueba de que no exista algún número que pueda pertenecer a las tres clases.

El número 1225 es hecatonicositetragonal (Plantilla:Math), hexacontagonal (Plantilla:Math), icosienneagonal (Plantilla:Math), hexagonal, cuadrado y triangular.

El único conjunto poligonal que está contenido completamente en otro conjunto poligonal es el conjunto de números hexagonales, que está contenido en el conjunto de números triangulares.Plantilla:Cr

Véase también

• Número figurado
• Número poligonal centrado

Bibliografía

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4] Plantilla:En.

• Plantilla:MathWorld