Número poligonal

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Números poligonales
Los cuatro primeros tipos de números poligonales: números triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales

En matemáticas, un número poligonal es un número natural que puede recomponerse en un polígono regular. Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían disponerse con ciertas formas cuando los representaban mediante piedras o semillas.

Números poligonales

El número 10 puede recomponerse como un triángulo (véase número triangular):

*
**
***
****

Sin embargo, el 10 no puede formar un cuadrado, pero el 9 sí (véase número cuadrado):

***
***
***

Algunos números, como el 36, pueden recomponerse tanto en un cuadrado como en un triángulo (véase número cuadrado triangular):

******
******
******
******
******
****** 		*
**
***
****
*****
******
*******
********

El método empleado para agrandar el polígono hasta el siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes por un punto y luego añadir los lados extra requeridos entre los puntos.

Fórmulas

Un número s-gonal se puede descomponer en s−2 números triangulares y en un número natural

Si Plantilla:Mvar es el número de lados de un polígono, la fórmula para el Plantilla:Mvar-ésimo número Plantilla:Mvar-gonal Plantilla:Math es

P(s,n)=(s−2)n2−(s−4)n2

o

P(s,n)=(s−2)n(n−1)2+n

El Plantilla:Mvar-ésimo número Plantilla:Mvar-gonal también está relacionado con los números triangulares Plantilla:Math de la siguiente manera:

P(s,n)=(s−2)Tn−1+n=(s−3)Tn−1+Tn.

Por lo tanto:

P(s,n+1)−P(s,n)=(s−2)n+1,P(s+1,n)−P(s,n)=Tn−1=n(n−1)2.

Para un número Plantilla:Mvar-gonal dado Plantilla:Math, se puede encontrar Plantilla:Mvar mediante la fórmula

n=8(s−2)x+(s−4)2+(s−4)2(s−2)

y a su vez se puede encontrar Plantilla:Mvar calculando

s=2+2n⋅x−nn−1.

Cada número hexagonal es también un número triangular

Aplicando la fórmula anterior:

P(s,n)=(s−2)Tn−1+n

al caso de 6 lados, se obtiene:

P(6,n)=4Tn−1+n

pero sabiendo que:

Tn−1=n(n−1)2

resulta:

P(6,n)=4n(n−1)2+n=2n(2n−1)2=T2n−1

Esto demuestra que el Plantilla:Mvar-'esimo número hexagonal Plantilla:Math es también el Plantilla:Math-ésimo número triangular Plantilla:Math. Se puede determinar la secuencia de los números hexagonales simplemente tomando los números triangulares impares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

n-ésimo número poligonal

Si l es el número de lados de un polígono, entonces la fórmula para el n-ésimo número poligonal de l lados es n((l−2)n−(l−4))2.

Propiedades

La siguiente tabla incluye algunas propiedades de las series definidas por los números poligonales. Son especialmente relevantes los resultados de la suma de los inversos de los números poligonales ∑i=1∞1ni. Los primeros 6 valores en la columna "suma de inversos", para números triangulares a octagonales, provienen de una solución publicada al problema general, que también da una fórmula general para cualquier número de lados, en términos de la función digamma.[1]

El OEIS evita los términos que usan prefijos griegos (por ejemplo, "octagonal") en favor de términos que usan números (es decir, "8-gonal").

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (consúltese Plantilla:OEIS2C):

2P(s,n)=P(s+k,n)+P(s−k,n),

con

k=0,1,2,3,...,s−3.
s Nombre Fórmula Suma de los inversos[2][3] n número OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 Triangular Plantilla:Math 2[[2]] 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 Plantilla:OEIS2C
4 Cuadrado Plantilla:Math Plantilla:Sfrac[[2]] 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 Plantilla:OEIS2C
5 Pentagonal Plantilla:Math Plantilla:Math[[2]] 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247 Plantilla:OEIS2C
6 Hexagonal Plantilla:Math Plantilla:Math[[2]] 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325 Plantilla:OEIS2C
7 Heptagonal Plantilla:Math 23ln⁡5+1+53ln⁡10−252+1−53ln⁡10+252+π25−10515[[2]] 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403 Plantilla:OEIS2C
8 Octagonal Plantilla:Math Plantilla:Math[[2]] 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481 Plantilla:OEIS2C
9 Nonagonal Plantilla:Math 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559 Plantilla:OEIS2C
10 Decagonal Plantilla:Math Plantilla:Math 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637 Plantilla:OEIS2C
11 Hendecagonal Plantilla:Math 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715 Plantilla:OEIS2C
12 Dodecagonal Plantilla:Math 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793 Plantilla:OEIS2C
13 Tridecagonal Plantilla:Math 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871 Plantilla:OEIS2C
14 Tetradecagonal Plantilla:Math Plantilla:Math 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949 Plantilla:OEIS2C
15 Pentadecagonal Plantilla:Math 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027 Plantilla:OEIS2C
16 Hexadecagonal Plantilla:Math 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105 Plantilla:OEIS2C
17 Heptadecagonal Plantilla:Math 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183 Plantilla:OEIS2C
18 Octadecagonal Plantilla:Math Plantilla:Math Plantilla:Math 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261 Plantilla:OEIS2C
19 Eneadecagonal Plantilla:Math 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339 Plantilla:OEIS2C
20 Icosagonal Plantilla:Math 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417 Plantilla:OEIS2C
21 Icosihenagonal Plantilla:Math 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495 Plantilla:OEIS2C
22 Icosidigonal Plantilla:Math 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573 Plantilla:OEIS2C
23 Icositrigonal Plantilla:Math 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651 Plantilla:OEIS2C
24 Icositetragonal Plantilla:Math 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729 Plantilla:OEIS2C
25 Icosipentagonal Plantilla:Math 1 25 72 142 235 351 491 652 837 1045 1276 1530 1807 Plantilla:OEIS2C
26 Icosihexagonal Plantilla:Math 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885 Plantilla:OEIS2C
27 Icosiheptagonal Plantilla:Math 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963 Plantilla:OEIS2C
28 Icosioctagonal Plantilla:Math 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041 Plantilla:OEIS2C
29 Icosienagonal Plantilla:Math 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119 Plantilla:OEIS2C
30 Triacontagonal Plantilla:Math 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197 Plantilla:OEIS2C
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10000 Miriagonal Plantilla:Math Plantilla:OEIS2C

Números multipoligonales

Algunos números, como el 36, que es tanto cuadrado como triangular, pertenece a dos conjuntos de números poligonales. El problema de determinar, dados dos conjuntos de este tipo, todos los números que pertenecen a ambos se puede resolver reduciendo el problema a una ecuación de Pell. El ejemplo más simple es la secuencia de números cuadrados triangulares.

La siguiente tabla resume el conjunto de números Plantilla:Mvar-gonales Plantilla:Mvar-gonales para valores pequeños de Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar.

Plantilla:Mvar Plantilla:Mvar Secuencia Número OEIS
4 3 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ... Plantilla:OEIS2C
5 3 1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, … Plantilla:OEIS2C
5 4 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ... Plantilla:OEIS2C
6 3 Todos los números hexagonales también son triangulares. Plantilla:OEIS2C
6 4 1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ... Plantilla:OEIS2C
6 5 1, 40755, 1533776805, … Plantilla:OEIS2C
7 3 1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, … Plantilla:OEIS2C
7 4 1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, … Plantilla:OEIS2C
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … Plantilla:OEIS2C
7 6 1, 121771, 12625478965, … Plantilla:OEIS2C
8 3 1, 21, 11781, 203841, … Plantilla:OEIS2C
8 4 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, … Plantilla:OEIS2C
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … Plantilla:OEIS2C
8 6 1, 11781, 113123361, … Plantilla:OEIS2C
8 7 1, 297045, 69010153345, … Plantilla:OEIS2C
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … Plantilla:OEIS2C
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ... Plantilla:OEIS2C
9 5 1, 651, 180868051, … Plantilla:OEIS2C
9 6 1, 325, 5330229625, … Plantilla:OEIS2C
9 7 1, 26884, 542041975, … Plantilla:OEIS2C
9 8 1, 631125, 286703855361, … Plantilla:OEIS2C

En algunos casos, como Plantilla:Math y Plantilla:Math, no hay números en ambos conjuntos distintos del 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil. Una búsqueda por computadora de números triangulares cuadrados pentagonales ha arrojado solo el valor trivial de 1, aunque aún no se ha encontrado una prueba de que no exista algún número que pueda pertenecer a las tres clases.[4]

El número 1225 es hecatonicositetragonal (Plantilla:Math), hexacontagonal (Plantilla:Math), icosienneagonal (Plantilla:Math), hexagonal, cuadrado y triangular.

El único conjunto poligonal que está contenido completamente en otro conjunto poligonal es el conjunto de números hexagonales, que está contenido en el conjunto de números triangulares.Plantilla:Cr

Véase también

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

  • The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4] Plantilla:En.

Plantilla:Control de autoridades

  1. ↑ Plantilla:Cite web
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Plantilla:Cite web
  3. ↑ Plantilla:Cita web
  4. ↑ Plantilla:MathWorld
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