Elemento absorbente

En álgebra, un elemento absorbente es un tipo especial de elemento en un conjunto con alguna operación binaria definida en él, que se comporta de manera similar al cero en la multiplicación de números.

Definición

Sea un conjunto $A$ con una operación binaria interna: $⊛$ definida en el mismo (un magma):

\begin{matrix} ⊛ & A \times A & ⟶ & A \\ (a, b) & ⟼ & c = ⊛ (a, b) = a ⊛ b \end{matrix}

Un magma solo puede tener un elemento absorbente, ya que dados dos de ellos $a_{1} y a_{2}$ , se tiene:

\begin{matrix} a_{1} ⊛ a_{2} = a_{1} \\ a_{1} ⊛ a_{2} = a_{2} \end{matrix}} ⟶ a_{1} = a_{2}

Ejemplos.

El número 0 es el elemento absorbente de los números enteros, los números reales y los números complejos (respecto a sus respectivos productos).
La matriz nula es el elemento absorbente de las matrices cuadradas respecto al producto de matrices.
El conjunto vacío es el elemento absorbente de la intersección de conjuntos. En el conjunto potencia Plantilla:Math de un conjunto dado Plantilla:Math, el propio Plantilla:Math es el elemento absorbente respecto a la unión de conjuntos.
El número 1 es el único elemento absorbente por la izquierda de los números naturales respecto a la operación binaria de exponenciación, Plantilla:Math.