Medida de conteo

En matemáticas, específicamente en teoría de medidas, la medida de conteo es una forma intuitiva de poner una medida en cualquier conjunto: el "tamaño" de un subconjunto se considera el número de elementos en el subconjunto si el subconjunto tiene un número finito de elementos e infinito $\mathrm{\infty }$ si el subconjunto es infinito.

La medida de conteo se puede definir en cualquier espacio mensurable (es decir, cualquier conjunto $X$ junto con sigma-álgebra) pero se usa principalmente en conjuntos contables.

En notación formal, podemos convertir cualquier conjunto $X$ en un espacio medible tomando el conjunto de potencias de $X$ como el álgebra sigma $\mathrm{\Sigma };$ es decir, todos los subconjuntos de $X$ son conjuntos medibles. Entonces la medida de conteo $\mu$ en este espacio mensurable $(X,\mathrm{\Sigma })$ es la medida positiva $\mathrm{\Sigma }\to [0,+\mathrm{\infty }]$ definido por$$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}|A|& \text{if }A\text{ is finite}\\ +\mathrm{\infty }& \text{if }A\text{ is infinite}\end{array}$$para todos $A\in \mathrm{\Sigma },$ dónde $|A|$ denota la cardinalidad del conjunto $A.$

La medida de conteo en $(X,\mathrm{\Sigma })$ es σ-finito si y sólo si el espacio $X$ es contable.

Integración en $\mathbb{N}$ con medida de conteo

Toma el espacio de medida $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},\mu )$, dónde $2^{\mathbb{N}}$ es el conjunto de todos los subconjuntos de los naturales y $\mu$ la medida de conteo. Tome cualquier mensurable $f:\mathbb{N}\to [0,\mathrm{\infty }]$. Como se define en $\mathbb{N}$, $f$ se puede representar puntualmente como$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)1_{\{n\}}(x)=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{\varphi }_M(x)}{\underbrace{\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)}}=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\varphi }_M(x)$$Cada ${\varphi }_M$ es mensurable. Además ${\varphi }_{M+1}(x)={\varphi }_M(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\ge {\varphi }_M(x)$. Aún más, como cada ${\varphi }_M$ es una función sencilla$$\underset{\mathbb{N}}{\int }{\varphi }_{M}d\mu =\underset{\mathbb{N}}{\int }(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x))d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)$$Por tanto, según el teorema de convergencia monótona$$\underset{\mathbb{N}}{\int }fd\mu =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathbb{N}}{\int }{\varphi }_{M}d\mu =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$$

Discusión

La medida de conteo es un caso especial de una construcción más general. Con la notación anterior, cualquier función $f:X\to [0,\mathrm{\infty })$ define una medida $\mu$ en $(X,\mathrm{\Sigma })$ a través de$$\mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\text{ for all }A\subseteq X,$$donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el supremo de las sumas de todos los subconjuntos finitos, es decir,$$\sum _{y\in Y\subseteq ℝ}y:=\underset{F\subseteq Y,|F|<\mathrm{\infty }}{\sup }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.$$Tomando $f(x)=1$ para todos $x\in X$ da la medida de conteo.