Desigualdad de Minkowski

En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski establece que los espacios L^p son espacios vectoriales con una norma. Sea $S$ un espacio medible, sea $1\le p\le \mathrm{\infty }$ y sean $f$ y $g$ elementos de $L^p(S)$. Entonces $f+g$ es de $L^p(S)$, y se tiene

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

con la igualdad para el caso $1<p<\mathrm{\infty }$ si y sólo si $f$ y $g$ son positivamente linealmente dependientes (lo que significa que $f=\lambda g$ o $g=\lambda f$ para alguna $\lambda \ge 0$).

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en $L^p(S)$.

Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski puede especificarse para sucesiones y vectores a base de hacer:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

para todos los números reales (o complejos) $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ y donde $n$ es el cardinal de $S$ (el número de elementos de $S$).

Demostración

Primero se demuestra que f + g tiene una p -norma finita si f y g ambas la tienen. Esto se sigue de que

$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p)$

En efecto, usando el hecho de que $h(x)=x^p$ es una función convexa sobre ${ℝ}^{+}$ (para $p$ mayor que 1) y, por tanto, que, si a y b son ambos positivos, entonces

${(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)}^p\le \frac{1}{2}{a}^p+\frac{1}{2}{b}^p$

tenemos que

$(a+b{)}^p\le 2^{p-1}{a}^p+2^{p-1}{b}^p$

Ahora, se puede hablar legítimamente de $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ . Si es cero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski. Podemos suponer, pues, que $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ no es cero. Usando la desigualdad de Hölder,

$\Vert f+g{\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu$

$\le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$=\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le }({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}$

$=(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}$

De donde se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por $\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}$. $◻$

Referencias

• Plantilla:Cita libro
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, Plantilla:ISBN