Fórmula de rotación de Rodrigues

Este artículo trata sobre la fórmula de rotación de Rodrigues, relacionada con los parámetros de Euler-Rodrigues y con la fórmula de Euler-Rodrigues de una rotación 3D.

En la teoría del grupo de rotación SO(3), la fórmula de rotación de Rodrigues, que lleva el nombre de Olinde Rodrigues (1795-1851), es un algoritmo eficiente para rotar un vector en el espacio, dado un eje y un ángulo de rotación. Por extensión, esto se puede usar para transformar los tres vectores de una base para calcular una matriz de rotación en [[Grupo de rotación SO(3)|Plantilla:Math]], el grupo de todas las matrices de rotación, utilizando una notación axial-angular. En otras palabras, la fórmula de Rodrigues proporciona un algoritmo para calcular la aplicación exponencial de Plantilla:Math (el álgebra de Lie de Plantilla:Math), sobre Plantilla:Math sin calcular realmente la matriz exponencial completa.

Definición

Si Plantilla:Math es un vector en Plantilla:Math y Plantilla:Math es un vector unitario que describe un eje de rotación sobre el cual Plantilla:Math gira en un ángulo Plantilla:Mvar según la regla de la mano derecha, la fórmula de Rodrigues para el vector girado Plantilla:Math es Plantilla:Equation box 1

Una definición alternativa es escribir el vector del eje como un producto vectorial Plantilla:Math de cualquiera de los dos vectores distintos a cero Plantilla:Math y Plantilla:Math que definen el plano de rotación, y el sentido del ángulo Plantilla:Math se mide desde Plantilla:Math y hacia Plantilla:Math. Al dejar que Plantilla:Math denote el ángulo entre estos vectores, los dos ángulos Plantilla:Math y Plantilla:Math no son necesariamente iguales, pero se miden en el mismo sentido. Entonces el vector del eje unitario se puede escribir

$𝐤=\frac{𝐚\times 𝐛}{|𝐚\times 𝐛|}=\frac{𝐚\times 𝐛}{|𝐚||𝐛|\sin \alpha }.$

Esta forma puede ser más útil cuando están involucrados dos vectores que definen un plano. Un ejemplo en física es la precesión de Thomas, que incluye la rotación dada por la fórmula de Rodrigues, en términos de dos incrementos de velocidad no colineales, y del eje de rotación que es perpendicular al plano definido por ambas.

Deducción

La fórmula de rotación de Rodrigues gira Plantilla:Math en un ángulo Plantilla:Math alrededor del vector Plantilla:Math, descomponiéndolo en sus componentes paralelo y perpendicular a Plantilla:Math, y girando solo el componente perpendicular

Geometría vectorial de la fórmula de rotación de Rodrigues, así como la descomposición en componentes paralelos y perpendiculares

Sea Plantilla:Math un vector unitario definiendo un eje de rotación, y sea Plantilla:Math un vector para rotar sobre Plantilla:Math por el ángulo Plantilla:Math (según la regla de la mano derecha, en sentido contrario a las agujas del reloj en la figura).

Usando el producto escalar y el producto vectorial, el vector Plantilla:Math se puede descomponer en componentes paralelos y perpendiculares al eje Plantilla:Math,

$𝐯={𝐯}_{\parallel }+{𝐯}_{\perp },$

donde el componente paralelo a Plantilla:Math es

${𝐯}_{\parallel }=(𝐯\cdot 𝐤)𝐤$

llamado vector proyección de Plantilla:Math en Plantilla:Math, y el componente perpendicular a Plantilla:Math es

${𝐯}_{\perp }=𝐯-{𝐯}_{\parallel }=𝐯-(𝐤\cdot 𝐯)𝐤=-𝐤\times (𝐤\times 𝐯)$

llamado vector rechazo de Plantilla:Math de Plantilla:Math.

El vector Plantilla:Math se puede ver como una copia de Plantilla:Math girada 90° en sentido antihorario alrededor de Plantilla:Math, por lo que sus magnitudes son iguales pero las direcciones son perpendiculares. Del mismo modo, el vector Plantilla:Math es una copia de Plantilla:Math girada Plantilla:Math en sentido contrario a las agujas del reloj a través de Plantilla:Math, de modo que Plantilla:Math y Plantilla:Math son iguales en magnitud pero en direcciones opuestas (es decir, son negativos entre sí, por lo tanto, de signos contrarios). Al expandir el producto mixto se establece la conexión entre los componentes paralelo y perpendicular. La fórmula resultante es Plantilla:Math dado cualquiera de los tres vectores Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math.

La componente paralela al eje no cambiará la magnitud ni la dirección bajo la rotación,

${𝐯}_{\parallel \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}={𝐯}_{\parallel },$

solo la componente perpendicular cambiará de dirección pero conservará su magnitud, de acuerdo con

$\begin{array}{cc}\left|{𝐯}_{\perp \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\right|& =\left|{𝐯}_{\perp }\right|,\\ {𝐯}_{\perp \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}& =\cos \theta {𝐯}_{\perp }+\sin \theta 𝐤\times {𝐯}_{\perp },\end{array}$

y como Plantilla:Math y Plantilla:Math son paralelos, su producto cruzado es cero Plantilla:Math, por lo que

$𝐤\times {𝐯}_{\perp }=𝐤\times (𝐯-{𝐯}_{\parallel })=𝐤\times 𝐯-𝐤\times {𝐯}_{\parallel }=𝐤\times 𝐯$

y se sigue que

${𝐯}_{\perp \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\cos \theta {𝐯}_{\perp }+\sin \theta 𝐤\times 𝐯.$

Esta rotación es propia, ya que los vectores Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen la misma longitud, y Plantilla:Math es Plantilla:Math girado Plantilla:Math en sentido contrario a las agujas del reloj sobre Plantilla:Math. Un escalado de Plantilla:Math y Plantilla:Math utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno da el componente perpendicular girado. La forma del componente girado es similar al desarrollo de un vector radial en el plano en coordenadas polares Plantilla:Math expresado en una base cartesiana 2D

$𝐫=r\cos \theta {𝐞}_x+r\sin \theta {𝐞}_y,$

donde Plantilla:Math, Plantilla:Math son vectores unitarios en sus direcciones indicadas.

Ahora el vector rotado completo es

${𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}={𝐯}_{\parallel \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}+{𝐯}_{\perp \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}},$

Al sustituir las definiciones de Plantilla:Math y Plantilla:Math en los resultados de la ecuación en

$\begin{array}{cc}{𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}& ={𝐯}_{\parallel }+\cos \theta {𝐯}_{\perp }+\sin \theta 𝐤\times 𝐯\\ & ={𝐯}_{\parallel }+\cos \theta (𝐯-{𝐯}_{\parallel })+\sin \theta 𝐤\times 𝐯\\ & =\cos \theta 𝐯+(1-\cos \theta ){𝐯}_{\parallel }+\sin \theta 𝐤\times 𝐯\\ & =\cos \theta 𝐯+(1-\cos \theta )(𝐤\cdot 𝐯)𝐤+\sin \theta 𝐤\times 𝐯\end{array}$

Notación matricial

Al representar Plantilla:Math y Plantilla:Math como matrices columna, el producto vectorial se puede expresar como una multiplicación de matrices

$\left[\begin{array}{c}(𝐤\times 𝐯{)}_x\\ (𝐤\times 𝐯{)}_y\\ (𝐤\times 𝐯{)}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_y{v}_z-k_z{v}_y\\ k_z{v}_x-k_x{v}_z\\ k_x{v}_y-k_y{v}_x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -k_z& k_y\\ k_z& 0& -k_x\\ -k_y& k_x& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right].$

Haciendo que Plantilla:Math denote el "producto vectorial matricial" para el vector unitario Plantilla:Math,

$𝐊=\left[\begin{array}{ccc}0& -k_z& k_y\\ k_z& 0& -k_x\\ -k_y& k_x& 0\end{array}\right],$

La ecuación matricial es, simbólicamente,

$𝐊𝐯=𝐤\times 𝐯$

para cualquier vector Plantilla:Math. (De hecho, Plantilla:Math es la matriz única con esta propiedad. Tiene valores propios 0 y Plantilla:Math).

Iterar el producto cruzado a la derecha equivale a multiplicar por la matriz de productos cruzados a la izquierda, en particular

$𝐊(𝐊𝐯)={𝐊}^2𝐯=𝐤\times (𝐤\times 𝐯).$

Además, como Plantilla:Math es un vector unitario, Plantilla:Math se expresa en función de la unidad de la norma matricial. La fórmula de rotación previa en lenguaje matricial es por lo tanto

${𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=𝐯+(\sin \theta )𝐊𝐯+(1-\cos \theta ){𝐊}^2𝐯,\Vert 𝐊{\Vert }_2=1.$

Téngase en cuenta que el coeficiente del término principal es ahora 1, en esta notación.

Factorizando Plantilla:Math se obtiene la expresión compacta

$\begin{array}{cc}{𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}& =𝐑𝐯\end{array}$

donde

es la matriz de rotación a través de un ángulo Plantilla:Mvar en sentido antihorario sobre el eje Plantilla:Math, y Plantilla:Math es la matriz identidad Plantilla:Nowrap. Esta matriz Plantilla:Math es un elemento del grupo de rotación Plantilla:Math de Plantilla:Math, y Plantilla:Math es un elemento del álgebra de Lie $𝔰𝔬(3)$ que genera ese grupo de Lie (téngase en cuenta que Plantilla:Math es asimétrico, lo que caracteriza a $𝔰𝔬(3)$).

En términos de la matriz exponencial,

$𝐑=\exp (\theta 𝐊).$

Para ver que la última identidad se mantiene, se observa que

$𝐑(\theta )𝐑(\varphi )=𝐑(\theta +\varphi ),𝐑(0)=𝐈,$

característica de un grupo uniparamétrico, es decir, exponencial, y que las fórmulas coinciden con Plantilla:Mvar infinitesimal.

Para una deducción alternativa basada en esta relación exponencial, véase [[Notación axial-angular|aplicación exponencial de $𝔰𝔬(3)$ sobre Plantilla:Math]]. Para la asignación inversa, véase [[Notación axial-angular|aplicación desde Plantilla:Math sobre $𝔰𝔬(3)$]].

Téngase en cuenta que el dual de Hodge de la rotación $𝐑$ es ${𝐑}^{*}=-\sin (\theta )𝐤$, lo que permite extraer tanto el eje de rotación como el seno del ángulo de rotación de la rotación misma, con la ambigüedad habitual:

$\sin (\theta )=\sigma |{𝐑}^{*}|$

$𝐤=-\sigma {𝐑}^{*}/|{𝐑}^{*}|$

donde $\sigma =\pm 1$. La expresión simple anterior resulta del hecho de que el dual de Hodge $𝐈$ y ${𝐊}^2$ es cero, y ${𝐊}^{*}=-𝐤$.

Véase también

• Notación axial-angular
• Rotación (matemáticas)
• Grupo de rotación SO(3) y rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional
• Fórmula de Euler-Rodrigues

Referencias

• Leonhard Euler, "Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile", 'Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad Sci. Petropolitanae ' '15 (1770), 75–106.
• Olinde Rodrigues, "Des lois géometriques qui regissent les desplacements d 'un systéme solide dans l' space, et the la varia des coordonnées provenant of ces déplacementconsidéééé imépendant des chasquies qui peuvent les produire", J. Mates. Pures Appl. '5' (1840), 380–440.
• Don Koks, (2006) "Exploraciones en física matemática", Springer Science + Business Media, LLC. Plantilla:ISBN. Ch.4, pps 147 y ss. Una ruta indirecta hacia el álgebra geométrica '

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Johan E. Mebius, Derivación de la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones tridimensionales de la fórmula general para rotaciones de cuatro dimensiones., ArXiv General Mathematics ' '2007.
• Para otro ejemplo descriptivo, consulte http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles, Chris Hecker, sección de física, parte 4. "La tercera dimensión" - en la página 3, sección "Eje y ángulo", http:// chrishecker.com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf