Grupo de rotación SO(3)

En mecánica y geometría, el grupo de rotación 3D, a menudo denominado SO(3), es el grupo de todos los movimiento de rotación sobre el origen de coordenadas en el espacio euclídeo tridimensional R³, bajo la operación de composición. Por definición, una rotación sobre el origen es una transformación que conserva el origen, la distancia euclidiana (por lo que es una isometría) y la orientación (es decir, la mano del espacio). Cada rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación.

La composición de dos rotaciones da como resultado otra rotación; cada rotación tiene una rotación inversa única; y la función identidad satisface la definición de una rotación. Debido a las propiedades anteriores (y en especial, a la asociatividad de las rotaciones compuestas), el conjunto de todas las rotaciones es un grupo bajo la composición de rotaciones. Las rotaciones no son conmutativas (por ejemplo, rotar R 90° en el plano xy y a continuación rotar S 90° en el plano yz, no es lo mismo que S seguido de R), por lo que es un grupo no abeliano. Además, el grupo de rotación tiene una estructura natural como una variedad para la que las operaciones del grupo son continuamente diferenciables; así que de hecho es un grupo de Lie. Además, es compacto y tiene dimensión 3.

Las rotaciones son aplicaciones lineales de R³ y, por lo tanto, pueden representarse utilizando matrices una vez que se ha elegido una base de R³. Específicamente, si se elige una base ortonormal de R³, cada rotación se describe mediante una matriz ortogonal de 3×3 (es decir, una matriz de 3 × 3 con entradas reales que, cuando se multiplica por su matriz transpuesta, da como resultado la matriz identidad) y con determinante 1. Por lo tanto, el grupo SO(3) puede identificarse con el grupo de estas matrices bajo la multiplicación de matrices. Estas matrices se conocen como matrices ortogonales especiales, de donde procede la notación SO(3) (Special Orthogonal).

El grupo SO(3) se utiliza para describir las posibles simetrías de rotación de un objeto, así como las diversas orientaciones de un objeto en el espacio. Sus representaciones son importantes en física, donde permiten caracterizar las partículas elementales de espín entero.

Longitud y ángulo

Además de preservar la longitud, las rotaciones también conservan los ángulos entre vectores. Esto se deduce del hecho de que el producto escalar estándar entre dos vectores u y v se puede escribir únicamente en términos de longitud como:

$𝐮\cdot 𝐯=\frac{1}{2}(\Vert 𝐮+𝐯{\Vert }^2-\Vert 𝐮{\Vert }^2-\Vert 𝐯{\Vert }^2).$

De ello se deduce que cualquier transformación que preserve la longitud en R³, conserva el producto escalar y, por lo tanto, el ángulo entre vectores. Las rotaciones a menudo se definen como transformaciones lineales que conservan el producto interno en R ³, lo que equivale a requerir que conserven la longitud. Véase grupo clásico para un tratamiento de este enfoque más general, donde Plantilla:Math aparece como un caso especial.

Matrices ortogonales y de rotación

Cada rotación asigna una base ortonormal de Plantilla:Math a otra base ortonormal. Como cualquier transformación lineal de espacios vectoriales de dimensión finita, una rotación siempre puede representarse mediante una matriz. Sea Plantilla:Math una rotación dada. Con respecto a la base canónica Plantilla:Math de Plantilla:Math, las columnas de Plantilla:Math están dadas por Plantilla:Math. Dado que la base estándar es ortonormal, y dado que Plantilla:Math conserva los ángulos y la longitud, las columnas de Plantilla:Math forman otra base ortonormal. Esta condición de ortonormalidad se puede expresar en la forma

$R^{𝖳}R=R{R}^{𝖳}=I,$

donde Plantilla:Math denota la matriz transpuesta de Plantilla:Math e Plantilla:Mvar es la matriz identidad de Plantilla:Math. Las matrices para las que se mantiene esta propiedad se llaman matrices ortogonales. El grupo de todas las matrices ortogonales Plantilla:Math se denota como Plantilla:Math, y consta de todas las rotaciones propias e impropias.

Además de preservar la longitud, las rotaciones propias también deben preservar la orientación. Una matriz conservará o invertirá la orientación según si el determinante de la matriz es positivo o negativo. Para una matriz ortogonal Plantilla:Math, se debe tener en cuenta que Plantilla:Math implica Plantilla:Math, por lo que Plantilla:Math. El subgrupo de matrices ortogonales con determinante Plantilla:Math se llama el "grupo ortogonal especial", denotado por Plantilla:Math.

Por lo tanto, cada rotación puede representarse de manera única mediante una matriz ortogonal con un determinante unitario. Además, dado que la composición de las rotaciones se corresponde con la multiplicación de matrices, el grupo de rotación es un isomorfismo con respecto al grupo ortogonal especial Plantilla:Math.

Las rotaciones impropias corresponden a matrices ortogonales con determinante Plantilla:Math, y no forman un grupo porque el producto de dos rotaciones impropias es una rotación propia.

Estructura del grupo

El grupo de rotación es un grupo bajo la composición de giros (o equivalente al producto de transformaciones lineales). Es un subgrupo del grupo lineal general que consiste en todas las transformaciones lineales invertibles del espacio real tridimensional R³.

Además, el grupo de rotación es no abeliano. Es decir, el orden en que se componen las rotaciones altera el resultado obtenido. Por ejemplo, un cuarto de vuelta alrededor del eje positivo x seguido de un cuarto de vuelta alrededor del eje positivo y es una rotación diferente a la obtenida girando primero alrededor de y y luego respecto a X.

El grupo ortogonal, que consta de todas las rotaciones propias e impropias, se genera mediante reflexiones. Cada rotación propia es la composición de dos reflexiones, un caso especial del teorema de Cartan-Dieudonné.

Eje de rotación

Plantilla:AP Cada rotación propia no trivial en 3 dimensiones fija un subespacio vectorial unidimensional único de R³ que se denomina eje de rotación (de acuerdo con el teorema de rotación de Euler). Cada rotación de este tipo actúa como una rotación bidimensional normal en el plano ortogonal a este eje. Dado que cada rotación bidimensional se puede representar mediante un ángulo φ, una rotación tridimensional arbitraria se puede especificar mediante un eje de rotación junto con un ángulo de rotación sobre este eje (técnicamente, se necesita especificar una orientación para el eje y si se considera que la rotación es en el sentido del reloj o en sentido contrario con respecto a esta orientación).

Por ejemplo, la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj sobre el eje positivo z - por el ángulo φ viene dada por

$R_z(\phi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \phi & -\sin \phi & 0\\ \sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

Dado un vector unitario n en R ³ y un ángulo φ, R(φ, n) representa una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje n (con orientación determinada por el propio n). Entonces

• R (0, n) es la transformación identidad para cualquier n
• R (φ, n) = R (- φ, -n)
• R (π + φ, n) = R (π-φ, -n).

Usando estas propiedades, se puede mostrar que cualquier rotación se puede representar mediante un ángulo único φ en el rango 0 ≤ φ ≤ π y un vector unitario n tal que

• n es arbitrario si φ = 0
• n es único si 0 < φ < π
• n es único excepto en el signo si φ = π (es decir, las rotaciones R(π, ± n) son idénticas).

En la siguiente sección, esta notación de rotaciones se utiliza para identificar SO(3) topológicamente con el espacio proyectivo real tridimensional.

Topología

Plantilla:AP El grupo de Lie SO(3) es difeomórfico con respecto al espacio proyectivo real RP³.

Considérese la bola sólida en R³ de radio Π (es decir, todos los puntos de R³ de distancia Π o menos desde el origen). Entonces, para cada punto en esta bola hay una rotación, con un eje a través del punto y el origen, y un ángulo de rotación igual a la distancia al punto desde el origen. La rotación identidad corresponde al punto en el centro de la bola. La rotación a través de los ángulos entre 0 y −Π corresponde al punto en el mismo eje y la distancia desde el origen pero en el lado opuesto del origen. El único problema que queda es que las dos rotaciones a través de Π y a través de −Π son las mismas. Para evitar este problema, se identifican (o se pegan juntos) estos dos puntos antipodales en la superficie de la bola. Después de esta identificación, se llega a un espacio topológico homeomorfo con el grupo de rotación.

De hecho, la bola con puntos de superficie antípodales identificados es una variedad diferenciable, y esta variedad es difeomórfica respecto al grupo de rotación. También es difeomórfico con respecto al espacio proyectivo real tridimensional RP³, por lo que este último también puede servir como un modelo topológico para el grupo de rotación.

Estas identificaciones ilustran que SO(3) está conectado pero no que no es un conjunto simplemente conexo. En cuanto a esto último, en la bola con los puntos de superficie antípodales identificados, considérese el camino que va desde el polo norte directamente desde el interior hacia el polo sur. Este es un circuito cerrado, ya que el polo norte y el polo sur están identificados. Este bucle no puede reducirse a un punto, ya que no importa cómo se deforme el bucle, el punto de inicio y final deben permanecer como antípodas o, de lo contrario, el bucle se abriría. En términos de rotaciones, este bucle representa una secuencia continua de rotaciones sobre el eje z, que comienza y termina en la rotación identidad (es decir, una serie de rotaciones a través de un ángulo φ donde se ejecuta φ de 0 a 2Π).

Sorprendentemente, si se recorre la trayectoria dos veces, es decir, si se recorre desde el polo norte hacia el polo sur, se salta de regreso al polo norte (utilizando el hecho de que los polos norte y sur están identificados), y luego se vuelve a recorrer desde el polo norte hacia el polo sur, para que φ gire de 0 a 4Π, se obtiene un bucle cerrado que puede reducirse a un solo punto: primero se desplazan las trayectorias continuamente hacia la superficie de la bola, conectando el polo norte al polo sur dos veces. La segunda mitad del trayecto se puede reflejar en el lado antipodal sin cambiarlo en absoluto. Ahora se tiene un circuito cerrado ordinario en la superficie de la bola, que conecta el polo norte a sí mismo mediante un círculo máximo. Este círculo puede reducirse al polo norte sin problemas. El truco del plato y trucos similares lo demuestran en la práctica.

El mismo argumento se puede utilizar en general, y demuestra que el grupo fundamental de SO(3) es un grupo cíclico de orden 2. Cuando se aplica en física, la no trivialidad del grupo fundamental permite la existencia de objetos conocidos como espinores, una herramienta importante en el desarrollo del teorema de la estadística del espín.

El espacio que recubre SO(3) es un grupo de Lie llamado Spin(3). El grupo Spin (3) es isomorfo con el grupo unitario especial SU(2); también es difeomórfico con la 3-esfera unidad S³ y puede entenderse como el grupo de versores (cuaterniones con valor absoluto 1). La conexión entre cuaterniones y rotaciones, comúnmente explotada en computación gráfica, se explica en el artículo cuaterniones y rotación en el espacio. La aplicación de S³ en SO(3) que identifica los puntos antípodas de S³ es un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie, con núcleo {± 1}. Topológicamente, esta aplicación es un espacio de recubrimiento de dos a uno (véase truco del plato).

Conexión entre SO(3) y SU(2)

En esta sección se muestran dos construcciones diferentes de una función sobreyectiva de SU(2) dos a uno; y de un homomorfismo de SU(2) sobre SO(3).

Usando cuaterniones de norma unidad

Plantilla:AP El grupo Plantilla:Math es isomórfico con respecto a los cuaterniones de norma unidad a través de una aplicación dada por

$q=a\mathrm{𝟏}+b𝐢+c𝐣+d𝐤=\alpha +j\beta \leftrightarrow \left[\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right]=U,q\in ℍ,a,b,c,d\in ℝ,\alpha ,\beta \in ℂ,U\in \mathrm{S}\mathrm{U}(2).$

Identifíquese ahora ${ℝ}^3$ con el subespacio generado por $𝐢,𝐣,𝐤$. Entonces se puede verificar que si $v$ está en ${ℝ}^3$ y $q$ es un cuaternión unidad, entonces

$qv{q}^{-1}\in {ℝ}^3$.

Además, la aplicación $v\mapsto qv{q}^{-1}$ es una rotación de ${ℝ}^3$, y $(-q)v(-q{)}^{-1}$ equivale a $qv{q}^{-1}$. Esto significa que hay un homomorfismo Plantilla:Math de cuaterniones de norma unidad con respecto a Plantilla:Math.

Se puede resolver este homomorfismo explícitamente: el cuaternión unidad, Plantilla:Mvar, con

$\begin{array}{cc}q& =w+𝐢x+𝐣y+𝐤z,\\ 1& =w^2+x^2+y^2+z^2,\end{array}$

se asigna a la matriz de rotación

$Q=\left[\begin{array}{ccc}1-2y^2-2z^2& 2xy-2zw& 2xz+2yw\\ 2xy+2zw& 1-2x^2-2z^2& 2yz-2xw\\ 2xz-2yw& 2yz+2xw& 1-2x^2-2y^2\end{array}\right].$

Esta es una rotación alrededor del vector Plantilla:Math según un ángulo Plantilla:Math, donde Plantilla:Math y Plantilla:Math. El signo adecuado para Plantilla:Math está implícito, una vez que los signos de los componentes del eje son fijos. La naturaleza Plantilla:Nowrap es aparente, ya que tanto Plantilla:Math como Plantilla:Math se asignan al mismo Plantilla:Math.

Usando las transformaciones de Möbius

Proyección estereográfica desde la esfera de radio Plantilla:Math desde el polo norte Plantilla:Math sobre el plano Plantilla:Mvar dado por Plantilla:Math según las coordenadas Plantilla:Math, mostrada en sección transversal

La referencia general para esta sección es Plantilla:Harvtxt. Los puntos Plantilla:Math en la esfera Plantilla:Math pueden, a excepción del polo norte Plantilla:Math, colocarse en una biyección uno a uno con los puntos Plantilla:Math en el plano Plantilla:Math definido por Plantilla:Math (véase la figura adjunta). La aplicación Plantilla:Math se llama proyección estereográfica.

Denominando a las coordenadas en Plantilla:Mvar como Plantilla:Math, la recta Plantilla:Math que pasa por Plantilla:Math y Plantilla:Math se puede parametrizar como

$L(t)=N+t(N-P)=(0,0,1/2)+t((0,0,1/2)-(x,y,z)),t\in ℝ.$

Exigiendo que la coordenada Plantilla:Nowrap de $L(t_0)$ sea igual a Plantilla:Math, se tiene que $t_0=\frac{1}{z-\frac{1}{2}}$. Entonces, $L(t_0)=(\xi ,\eta ,-1/2)$. De ahí que la aplicación

$S:𝐒\to M;P\mapsto P^{\prime }$

esté dada por

$(x,y,z)\mapsto (\xi ,\eta )=(\frac{x}{\frac{1}{2}-z},\frac{y}{\frac{1}{2}-z})\equiv \zeta =\xi +i\eta ,$

donde, para mayor comodidad, el plano Plantilla:Math se identifica con el plano complejo Plantilla:Math.

Para la aplicación inversa, considerando Plantilla:Math como

$L=N+s(P^{\prime }-N)=(0,0,\frac{1}{2})+s((\xi ,\eta ,-\frac{1}{2})-(0,0,\frac{1}{2})),$

e imponiendo que Plantilla:Math para encontrar Plantilla:Math, y por lo tanto

$S^{-1}:M\to 𝐒;P^{\prime }\mapsto P;(\xi ,\eta )\mapsto (x,y,z)=(\frac{\xi }{1+{\xi }^2+{\eta }^2},\frac{\eta }{1+{\xi }^2+{\eta }^2},\frac{-1+{\xi }^2+{\eta }^2}{2+2{\xi }^2+2{\eta }^2}).$

Si Plantilla:Math es una rotación, entonces relacionará puntos en Plantilla:Math con puntos en Plantilla:Math por su acción estándar Plantilla:Math en el espacio de incrustación Plantilla:Math. Al componer esta acción con Plantilla:Math se obtiene una transformación Plantilla:Math de Plantilla:Mvar,

$\zeta =P^{\prime }\mapsto P\mapsto {\mathrm{\Pi }}_s(g)P=gP\mapsto S(gP)\equiv {\mathrm{\Pi }}_u(g)\zeta ={\zeta }^{\prime }.$

Por lo tanto, Plantilla:Math es una transformación de Plantilla:Math asociada a la transformación Plantilla:Math de Plantilla:Math.

Resulta que Plantilla:Math representado de esta manera por Plantilla:Math puede expresarse como una matriz Plantilla:Math (donde la notación se modifica para usar el mismo nombre para la matriz que para la transformación de Plantilla:Math que representa). Para identificar esta matriz, considérese primero una rotación Plantilla:Math sobre el eje Plantilla:Nowrap a través de un ángulo Plantilla:Mvar,

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \phi -y\sin \phi ,\\ y^{\prime }& =x\sin \phi +y\cos \phi ,\\ z^{\prime }& =z.\end{array}$

Por lo tanto

${\zeta }^{\prime }=\frac{x^{\prime }+i{y}^{\prime }}{\frac{1}{2}-z^{\prime }}=\frac{e^{i\phi }(x+iy)}{\frac{1}{2}-z}=e^{i\phi }\zeta =\frac{e^{\frac{i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-\frac{i\phi }{2}}},$

que, como era de esperar, es una rotación en el plano complejo. De manera análoga, si Plantilla:Math es una rotación sobre el eje Plantilla:Nowrap a través de Plantilla:Mvar y su ángulo, entonces

$w^{\prime }=e^{i\theta }w,w=\frac{y+iz}{\frac{1}{2}-x},$

que, después de un poco de álgebra, se convierte en

${\zeta }^{\prime }=\frac{\cos \frac{\theta }{2}\zeta +i\sin \frac{\theta }{2}}{i\sin \frac{\theta }{2}\zeta +\cos \frac{\theta }{2}}.$

Estas dos rotaciones, Plantilla:Math, corresponden a transformaciones bilineales de Plantilla:Math, es decir, son ejemplos de transformaciones de Möbius.

Una transformación general de Möbius está dada por

${\zeta }^{\prime }=\frac{\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta },\alpha \delta -\beta \gamma \ne 0.$.

Las rotaciones, Plantilla:Math generan todo Plantilla:Math y las reglas de composición de las transformaciones de Möbius muestran que cualquier composición de Plantilla:Math se traduce a la composición correspondiente de las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Möbius se pueden representar mediante matrices.

$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right),\alpha \delta -\beta \gamma =1,$

ya que un factor común de Plantilla:Math se cancela.

Por la misma razón, la matriz no está definida de manera única ya que la multiplicación por Plantilla:Math no tiene efecto ni en el determinante ni en la transformación de Möbius. La ley de composición de las transformaciones de Möbius sigue la de las matrices correspondientes. La conclusión es que cada transformación de Möbius corresponde a dos matrices Plantilla:Math.

Usando esta correspondencia, se puede escribir

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Pi }}_u(g_{\phi })& ={\mathrm{\Pi }}_u\left[\left(\begin{array}{ccc}\cos \phi & -\sin \phi & 0\\ \sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\right]=\pm \left(\begin{array}{cc}{e}^{i\frac{\phi }{2}}& 0\\ 0& e^{-i\frac{\phi }{2}}\end{array}\right),\\ {\mathrm{\Pi }}_u(g_{\theta })& ={\mathrm{\Pi }}_u\left[\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\right]=\pm \left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& i\sin \frac{\theta }{2}\\ i\sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right).\end{array}$

Estas matrices son unitarias y por lo tanto Plantilla:Math. En términos de los ángulos de Euler se encuentra para una rotación general que Plantilla:NumBlk y se tiene que Plantilla:NumBlk

Para el proceso contrario, considérese una matriz general

$\pm {\mathrm{\Pi }}_u(g_{\alpha ,\beta })=\pm \left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\bar{\beta }& \bar{\alpha }\end{array}\right)\in \mathrm{S}\mathrm{U}(2).$

Haciendo las sustituciones

$\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& =|\alpha |,\sin \frac{\theta }{2}=|\beta |,(0\le \theta \le \pi ),\\ \frac{\phi +\psi }{2}& =\arg \alpha ,\frac{\psi -\phi }{2}=\arg \beta .\end{array}$

Con las sustituciones, Plantilla:Math se asume la forma del lado derecho de la Plantilla:EquationNote, que corresponde bajo Plantilla:Math a una matriz en la forma del lado derecho de la Plantilla:EquationNote con el mismo Plantilla:Math. En términos de los parámetros complejos Plantilla:Math,

$g_{\alpha ,\beta }=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}({\alpha }^2-{\beta }^2+\overline{{\alpha }^2}-\overline{{\beta }^2})& \frac{i}{2}(-{\alpha }^2-{\beta }^2+\overline{{\alpha }^2}+\overline{{\beta }^2})& -\alpha \beta -\bar{\alpha }\bar{\beta }\\ \frac{i}{2}({\alpha }^2-{\beta }^2-\overline{{\alpha }^2}+\overline{{\beta }^2})& \frac{1}{2}({\alpha }^2+{\beta }^2+\overline{{\alpha }^2}+\overline{{\beta }^2})& -i(+\alpha \beta -\bar{\alpha }\bar{\beta })\\ \alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta & i(-\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta )& \alpha \bar{\alpha }-\beta \bar{\beta }\end{array}\right).$

Para verificar este resultado, se sustituyen por Plantilla:Math los elementos de la matriz en el lado derecho de la Plantilla:EquationNote. Después de alguna manipulación, la matriz asume la forma del lado derecho de la Plantilla:EquationNote.

De forma explícita, en términos de los ángulos de Euler, queda claro que la aplicación Plantilla:Math que se acaba de describir es un homomorfismo de grupos de relación Plantilla:Math y diferenciable. Por lo tanto, es una descripción explícita del recubrimiento universal de Plantilla:Math sobre el grupo de recubrimiento universal Plantilla:Math.

Álgebra de Lie

Asociado con cada grupo de Lie está su álgebra de Lie, un espacio lineal de la misma dimensión que el grupo de Lie, cerrado bajo un producto alternativo bilineal. El álgebra de Lie de Plantilla:Math se denota por Plantilla:Math y consta de todas las matrices antisimétricas de orden Plantilla:Math. Esto se puede ver al deducir la condición de ortogonalidad, Plantilla:Math. Los corchetes del álgebra de Lie de dos elementos de Plantilla:Math, como para el álgebra de Lie de cada grupo de matrices, viene dado por el conmutador de matrices, Plantilla:Math, que es nuevamente una matriz antisimétrica. El soporte del álgebra de Lie captura la esencia del producto del grupo de Lie en un sentido preciso por la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.

Los elementos de Plantilla:Math son los generadores infinitesimales de rotaciones, es decir, son los elementos del espacio tangente de la variedad SO(3) en el elemento de identidad. Si R (φ, n) denota una rotación a la izquierda con un ángulo sobre el eje especificado por el vector unitario n, entonces

${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\phi }|}_{\phi =0}R(\phi ,𝒏)𝒙=𝒏\times 𝒙$

para cada vector x en R³.

Esto se puede usar para mostrar que el álgebra de Lie Plantilla:Math (con el conmutador) es isomorfa al álgebra de Lie R³ (con producto vectorial). Bajo este isomorfismo, un vector de Euler $\mathit{\omega }\in {ℝ}^3$ se corresponde a la aplicación lineal $\tilde{\mathit{\omega }}$ definida por $\tilde{\mathit{\omega }}(𝒙)=\mathit{\omega }\times 𝒙$.

Más detalladamente, una base adecuada para Plantilla:Math como un espacio vectorial Plantilla:Nowrap es

$L_{𝐱}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right],L_{𝐲}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right],L_{𝐳}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

Los conmutadores de estos elementos base son,

$[L_{𝐱},L_{𝐲}]=L_{𝐳},[L_{𝐳},L_{𝐱}]=L_{𝐲},[L_{𝐲},L_{𝐳}]=L_{𝐱}$

que concuerdan con las relaciones de los tres vectores unidad estándar de R³ bajo el producto cruzado.

Como se anunció anteriormente, se puede identificar cualquier matriz en este álgebra de Lie con un vector de Euler en ℝ³,

$\begin{array}{cc}\mathit{\omega }& =(x,y,z)\in {ℝ}^3,\\ \tilde{\mathit{\omega }}& =\mathit{\omega }\mathit{\cdot }𝑳=x{L}_{𝐱}+y{L}_{𝐲}+z{L}_{𝐳}=\left[\begin{array}{ccc}0& -z& y\\ z& 0& -x\\ -y& x& 0\end{array}\right]\in 𝔰𝔬(3).\end{array}$

Esta identificación a veces se denomina aplicación sombrero. Bajo esta identificación, el corchete so(3) corresponde en Plantilla:Math al producto vectorial,

$[\widetilde{𝐮},\widetilde{𝐯}]=\widetilde{𝐮\times 𝐯}.$

La matriz identificada con un vector Plantilla:Math tiene la propiedad de que

$\widetilde{𝐮}𝐯=𝐮\times 𝐯,$

donde la multiplicación de matrices ordinaria está implícita en el lado izquierdo. Esto implica que Plantilla:Math está en el núcleo de la matriz antisimétrica con la que se identifica, porque Plantilla:Math.

Nota sobre el álgebra de Lie

En la representación de álgebras de Lie, el grupo SO(3) es compacto y simple de rango 1, por lo que tiene un solo elemento de Casimir independiente, una función invariante cuadrática de los tres generadores que conmuta con todos ellos. La fórmula de Killing para el grupo de rotación es solo la delta de Kronecker, y por lo tanto, este invariante de Casimir es simplemente la suma de los cuadrados de los generadores, $J_x,J_y,J_z$, del álgebra

$[J_{𝐱},J_{𝐲}]=J_{𝐳},[J_{𝐳},J_{𝐱}]=J_{𝐲},[J_{𝐲},J_{𝐳}]=J_{𝐱}.$

Es decir, el invariante de Casimir está dado por

$J^2\equiv 𝑱\mathit{\cdot }𝑱=J_x^2+J_y^2+J_z^2\propto I.$

Para las representaciones de Plantilla:Mvar irreducible unitario, los valores propios de este invariante son reales y discretos, y caracterizan cada representación, que es una dimensión finita, de dimensión 2Plantilla:Mvar + 1. Es decir, los valores propios de este operador de Casimir son

$J^2=-j(j+1)I_{2j+1},$

donde Plantilla:Mvar es un número entero o medio entero, y se conoce como espín o momento angular.

Por lo tanto, los generadores de 3 × 3 L mostrados actúan sobre la representación del triplete (giro 1), mientras que los de 2 × 2 (t) actúan sobre la representación del doblete (spin-½). Al tomar los productos de Kronecker de Plantilla:Mvar consigo mismo repetidamente, se pueden construir todas las representaciones irreducibles más altas de Plantilla:Mvar. Es decir, los generadores resultantes para sistemas de espín superiores en tres dimensiones espaciales, para Plantilla:Mvar arbitrariamente grande, se pueden calcular utilizando estos espines y operadores escalera.

Para cada una de las representaciones irreducibles Plantilla:Math hay una equivalente, Plantilla:Math. Todas las representaciones irreducibles de dimensión infinita deben ser no unitarias, ya que el grupo es compacto.

En mecánica cuántica, el invariante de Casimir es el operador momento angular-al cuadrado; los valores enteros del giro Plantilla:Mvar caracterizan la representación bosónica, mientras que los valores de medio entero caracterizan la representación de los fermiones, respectivamente. Las matrices antihermíticas utilizadas anteriormente se emplean para definir espines después de ser multiplicadas por Plantilla:Mvar, pasando a ser hermíticas (como las matrices de Pauli). Así, en esta notación,

$[J_{𝐱},J_{𝐲}]=i{J}_{𝐳},[J_{𝐳},J_{𝐱}]=i{J}_{𝐲},[J_{𝐲},J_{𝐳}]=i{J}_{𝐱}.$

y por lo tanto

$J^2=j(j+1)I_{2j+1}.$

Las expresiones explícitas para estos Plantilla:Mvar son,

$\begin{array}{cc}{\left(J_z^{(j)}\right)}_{ba}& =(j+1-a){\delta }_{b,a}\\ {\left(J_x^{(j)}\right)}_{ba}& =\frac{1}{2}({\delta }_{b,a+1}+{\delta }_{b+1,a})\sqrt{(j+1)(a+b-1)-ab}\\ {\left(J_y^{(j)}\right)}_{ba}& =\frac{1}{2i}({\delta }_{b,a+1}-{\delta }_{b+1,a})\sqrt{(j+1)(a+b-1)-ab}\\ & 1\le a,b\le 2j+1,\end{array}$

para Plantilla:Mvar arbitrario.

Por ejemplo, las matrices de espín resultantes para el espín 1, espín Plantilla:Sfrac y espín Plantilla:Sfrac son:

Para $j=1$

$\begin{array}{cc}{J}_x& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\\ J_y& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)\\ J_z& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\end{array}$

(Téngase en cuenta, sin embargo, cómo estas expresiones figuran en una base equivalente, pero diferente, la base esférica, que las Plantilla:Math anteriores en la base cartesiana.)

Para $j=\frac{3}{2}$:

$\begin{array}{cc}{J}_x& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}0& \sqrt{3}& 0& 0\\ \sqrt{3}& 0& 2& 0\\ 0& 2& 0& \sqrt{3}\\ 0& 0& \sqrt{3}& 0\end{array}\right)\\ J_y& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}0& -i\sqrt{3}& 0& 0\\ i\sqrt{3}& 0& -2i& 0\\ 0& 2i& 0& -i\sqrt{3}\\ 0& 0& i\sqrt{3}& 0\end{array}\right)\\ J_z& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right).\end{array}$

Para $j=\frac{5}{2}$:

$\begin{array}{cc}{J}_x& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccccc}0& \sqrt{5}& 0& 0& 0& 0\\ \sqrt{5}& 0& 2\sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 2\sqrt{2}& 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0& 2\sqrt{2}& 0\\ 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& 0& \sqrt{5}\\ 0& 0& 0& 0& \sqrt{5}& 0\end{array}\right)\\ J_y& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccccc}0& -i\sqrt{5}& 0& 0& 0& 0\\ i\sqrt{5}& 0& -2i\sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 2i\sqrt{2}& 0& -3i& 0& 0\\ 0& 0& 3i& 0& -2i\sqrt{2}& 0\\ 0& 0& 0& 2i\sqrt{2}& 0& -i\sqrt{5}\\ 0& 0& 0& 0& i\sqrt{5}& 0\end{array}\right)\\ J_z& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccccc}5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -5\end{array}\right).\end{array}$

y así sucesivamente.

Isomorfismo con su(2)

Las álgebras de Lie Plantilla:Math y Plantilla:Math son isomorfas. Una base para Plantilla:Math está dada por

$t_1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right],t_2=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],t_3=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right].$

Estas expresiones están relacionadas con las matrices de Pauli por Plantilla:Math. Las matrices de Pauli se ajustan a la convención de la física para las álgebras de Lie. En esa convención, los elementos del álgebra de Lie se multiplican por Plantilla:Mvar, la aplicación exponencial (véase más adelante) se define con un factor extra de Plantilla:Mvar en el exponente y las constantes de estructura siguen siendo las mismas, pero su definición adquiere un factor de Plantilla:Mvar. Asimismo, las relaciones de conmutación adquieren un factor de Plantilla:Mvar. Las relaciones de conmutación para Plantilla:Math son

$[t_i,t_j]={\epsilon }_{ijk}{t}_k,$

donde [[Símbolo de Levi-Civita|Plantilla:Math]] es el símbolo totalmente antisimétrico con Plantilla:Math. El isomorfismo entre Plantilla:Math y Plantilla:Math se puede configurar de varias maneras. Para mayor simplicidad, Plantilla:Math y Plantilla:Math se identifican mediante una aplicación

$L_x\leftrightarrow t_1,L_y\leftrightarrow t_2,L_z\leftrightarrow t_3,$

extendiéndose por la linealidad.

Aplicación exponencial

La aplicación exponencial para Plantilla:Math, ya que Plantilla:Math es un grupo de Lie matricial, es definida utilizando la serie exponencial de una matriz estándar,

$\exp :𝔰𝔬(3)\to SO(3);A\mapsto e^A=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{A}^k=I+A+\frac{1}{2}{A}^2+\cdots .$

Para cualquier matriz antisimétrica Plantilla:Math, Plantilla:Math está siempre en Plantilla:Math. La prueba utiliza las propiedades elementales de la matriz exponencial

$(e^A{)}^T{e}^A=e^{A^T}{e}^A=e^{A^T+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^A(e^A{)}^T=e^0=I.$

ya que las matrices Plantilla:Math y Plantilla:Math conmutan. Esto se puede probar fácilmente con la condición de matriz antisimétrica, pero no es suficiente para demostrar que Plantilla:Math es el álgebra de Lie correspondiente para Plantilla:Math, lo que se probará por separado.

El nivel de dificultad de la prueba depende de cómo se define el álgebra de Lie del grupo matricial.Plantilla:Harvtxt define el álgebra de Lie como el conjunto de matrices Plantilla:Math, en cuyo caso la demostración es trivial.Plantilla:Harvtxt utiliza una definición derivada de segmentos de curvas suaves en Plantilla:Math, con la identidad considerada sobre sí misma, en cuyo caso es más difícil.

Para un Plantilla:Math fijo, Plantilla:Math es un grupo uniparamétrico sobre una geodésica en Plantilla:Math. Que se genera un subgrupo uniparamétrico se sigue directamente de las propiedades de la aplicación exponencial.

La aplicación exponencial proporciona un difeomorfismo entre un vecindario del origen en Plantilla:Math y un vecindario de la identidad en Plantilla:Math (consúltese el teorema del subgrupo cerrado).

La aplicación exponencial es una función sobreyectiva. Esto se deduce del hecho de que cada Plantilla:Math, ya que cada rotación deja un eje fijo (según el teorema de rotación de Euler), y se conjuga con una matriz diagonal en bloque de la forma

$D=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=e^{\theta L_z},$

tal que Plantilla:Math, y que

$B{e}^{\theta L_z}{B}^{-1}=e^{B\theta L_z{B}^{-1}},$

junto con el hecho de que Plantilla:Math está cerrado bajo la acción adjunta de Plantilla:Math, lo que significa que Plantilla:Math.

Por lo tanto, por ejemplo, es fácil verificar la conocida identidad

$e^{-\pi L_x/2}{e}^{\theta L_z}{e}^{\pi L_x/2}=e^{\theta L_y}.$

Como se muestra arriba, cada elemento Plantilla:Math está asociado con un vector Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es un vector de magnitud unitaria. Dado que Plantilla:Math está en el espacio nulo de Plantilla:Mvar, si se gira a una nueva base, a través de alguna otra matriz ortogonal Plantilla:Math, con Plantilla:Math como el eje Plantilla:Mvar, la columna final y la fila de la matriz de rotación en la nueva base estará formada por ceros.

Por lo tanto, se sabe por adelantado de la fórmula para el exponencial matricial que Plantilla:Math debe dejar Plantilla:Math fijo. Es matemáticamente imposible proporcionar una fórmula sencilla para una base de este tipo como función de Plantilla:Math, porque su existencia violaría el teorema de la bola peluda; pero la exponenciación directa es posible, y se obtiene

$\begin{array}{cc}\exp (\tilde{\mathit{\omega }})& =\exp (\theta (𝒖\mathit{\cdot }𝑳))=\exp \left(\theta \left[\begin{array}{ccc}0& -z& y\\ z& 0& -x\\ -y& x& 0\end{array}\right]\right)\\ & =𝑰+2cs(𝒖\mathit{\cdot }𝑳)+2s^2(𝒖\mathit{\cdot }𝑳{)}^2\\ & =\left[\begin{array}{ccc}2(x^2-1)s^2+1& 2xy{s}^2-2zcs& 2xz{s}^2+2ycs\\ 2xy{s}^2+2zcs& 2(y^2-1)s^2+1& 2yz{s}^2-2xcs\\ 2xz{s}^2-2ycs& 2yz{s}^2+2xcs& 2(z^2-1)s^2+1\end{array}\right],\end{array}$

donde Plantilla:Math. Esto se reconoce como una matriz para una rotación alrededor del eje Plantilla:Math según el ángulo Plantilla:Mvar (tal como especifica la fórmula de rotación de Rodrigues).

Aplicación logarítmica

Dado que Plantilla:Math, entonces

$A=\frac{R-R^{\mathrm{T}}}{2}$

denota la parte antisimétrica y deja $\Vert A\Vert =\sqrt{-\text{Tr}(A^2)/2}$.

El logaritmo de Plantilla:Mvar está dado por

$\log R=\frac{{\sin }^{-1}\Vert A\Vert }{\Vert A\Vert }A$

lo que se manifiesta analizando la forma de simetría mixta de la fórmula de Rodrigues,

$e^X=I+\frac{\sin \theta }{\theta }X+2\frac{{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{{\theta }^2}{X}^2,\theta =\Vert X\Vert ,$

donde el primer y último término en el lado derecho son simétricos.

Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Plantilla:AP Supóngase que se dan Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar en el álgebra de Lie. Sus exponenciales, Plantilla:Math y Plantilla:Math, son matrices de rotación, que pueden multiplicarse. Dado que la aplicación exponencial es una subyección, para algunos Plantilla:Mvar en el álgebra de Lie, Plantilla:Math, y se puede escribir provisionalmente que

$Z=C(X,Y),$

para alguna expresión Plantilla:Mvar en Plantilla:Math y Plantilla:Math. Cuando Plantilla:Math y Plantilla:Math conmutan, entonces Plantilla:Math, imitando el comportamiento de la exponenciación compleja.

El caso general viene dado por la fórmula de BCH más elaborada, una expansión en serie de corchetes de Lie anidados. Para matrices, el corchete de Lie es la misma operación que el conmutador de dos operadores, que suple la falta de conmutatividad en la multiplicación. Esta expansión general se desarrolla de la siguiente manera,

$Z=C(X,Y)=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]-\frac{1}{12}[Y,[X,Y]]+\cdots .$

La expansión infinita en la fórmula de BCH para Plantilla:Math se reduce a una forma compacta,

$Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],$

para coeficientes de función trigonométrica adecuados Plantilla:Math. Plantilla:Demostración

Vale la pena escribir este generador de rotación compuesto como

$\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]\underset{𝔰𝔬(3)}{=}X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]-\frac{1}{12}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$

para enfatizar que esta es una identidad del álgebra de Lie.

La identidad anterior se mantiene para todos los representaciones esperables de Plantilla:Math. El núcleo de un homomorfismo de álgebra de Lie es un ideal, pero Plantilla:Math, siendo simple, no tiene ideales no triviales y, por lo tanto, todas las representaciones no triviales son fieles. Se mantiene en particular en la representación del doblete o espinor. La misma fórmula explícita se sigue así de una manera más simple a través de las matrices de Pauli (véase matrices de Pauli).

Para el caso general de Plantilla:Math, se podría usar Plantilla:Harvnb.

Rotaciones infinitesimales

Las matrices en el álgebra de Lie no son en sí mismas rotaciones; las matrices antisimétricas son derivadas. Una rotación diferencial real, o una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

$I+Ad\theta ,$

donde Plantilla:Math es extremadamente pequeño y Plantilla:Math.

Estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales. Para entender lo que esto significa, se considera

$d{A}_{𝐱}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -d\theta \\ 0& d\theta & 1\end{array}\right].$

Primero, pruebe la condición de ortogonalidad, Plantilla:Math. El producto es

$d{A}_{𝐱}^{T}d{A}_{𝐱}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1+d{\theta }^2& 0\\ 0& 0& 1+d{\theta }^2\end{array}\right],$

diferenciándose de una matriz de identidad por los infinitesimales de segundo orden, descartados aquí. Entonces, para el primer orden, una matriz de rotación infinitesimal es una matriz ortogonal.

Luego, se examina el cuadrado de la matriz,

$d{A}_{𝐱}^2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-d{\theta }^2& -2d\theta \\ 0& 2d\theta & 1-d{\theta }^2\end{array}\right].$

Nuevamente descartando los efectos de segundo orden, se tiene en cuenta que el ángulo simplemente se duplica. Esto sugiere la diferencia más esencial en el comportamiento, que se puede apreciar con la ayuda de una segunda rotación infinitesimal,

$d{A}_{𝐲}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& d\phi \\ 0& 1& 0\\ -d\phi & 0& 1\end{array}\right].$

Comparando los productos Plantilla:Math con Plantilla:Math,

$\begin{array}{cc}d{A}_{𝐱}d{A}_{𝐲}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& d\phi \\ d\theta d\phi & 1& -d\theta \\ -d\phi & d\theta & 1\end{array}\right]\\ d{A}_{𝐲}d{A}_{𝐱}& =\left[\begin{array}{ccc}1& d\theta d\phi & d\phi \\ 0& 1& -d\theta \\ -d\phi & d\theta & 1\end{array}\right].\\ \end{array}$

Como $d\theta d\phi$ es de segundo orden, se descarta: así, para el primer orden, la multiplicación de matrices de rotación infinitesimal es conmutativa. De hecho,

$d{A}_{𝐱}d{A}_{𝐲}=d{A}_{𝐲}d{A}_{𝐱},$

de nuevo a primer orden. En otras palabras, el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante.

Este hecho útil hace que, por ejemplo, la derivación de la rotación del cuerpo rígido sea relativamente simple. Pero siempre se debe tener cuidado de distinguir el tratamiento de primer orden de estas matrices de rotación infinitesimal, de ambas matrices de rotación finita y de los elementos del álgebra de Lie. Al contrastar el comportamiento de las matrices de rotación finitas en la fórmula BCH anterior, con el de matrices de rotación infinitesimal, donde todos los términos del conmutador serán infinitesimales de segundo orden, se encuentra un espacio vectorial esperable. Técnicamente, esta eliminación de cualquier término de segundo orden equivale a una contracción de grupo.

Formalización de las rotaciones

Se ha visto que hay distintas formas de representar rotaciones:

• Como matrices ortogonales con determinante 1
• Por un eje y un ángulo de rotación
• En el álgebra de cuaterniones con versores y la aplicación sobre una 3-esfera S³ → SO(3) (véase cuaterniones y rotación en el espacio)
• En álgebra geométrica como rotores
• Como una secuencia de tres rotaciones alrededor de tres ejes fijos, según los ángulos de Euler

Armónicos esféricos

Plantilla:AP Véase también representaciones de SO(3)

El grupo Plantilla:Math de rotaciones euclídeas tridimensionales tiene una representación de infinitas dimensiones en el espacio de Hilbert

$L^2({𝐒}^2)=\mathrm{span}\{Y_m^{\ell },\ell \in {𝐍}^{+},-\ell ⩽m⩽\ell \},$

donde $Y_m^{\ell }$ son armónicos esféricos. Sus elementos son funciones de valor complejo cuadráticas integrables en la esfera. El producto interior en este espacio está dado por

Si Plantilla:Mvar es una función integrable cuadrática arbitraria definida en la esfera unitaria Plantilla:Math, entonces puede expresarse como

donde los coeficientes de expansión están dados por

La acción de grupo de Lorentz se restringe a la de Plantilla:Math y se expresa como

Esta acción es unitaria, lo que significa que

El Plantilla:Math se puede obtener de Plantilla:Math ya deducido anteriormente, usando la descomposición de Clebsch-Gordan, pero se expresan más fácilmente como exponenciales de una representación de Plantilla:Math de dimensión impar (la de 3 dimensiones es exactamente Plantilla:Math). En este caso, el espacio Plantilla:Math se descompone cuidadosamente en una suma infinita directa de representaciones de dimensiones finitas netamente irreducibles Plantilla:Math de acuerdo con Plantilla:Harvnb (Sección 4.3.5.)

Esto es característico de las representaciones unitarias de dimensión infinita de Plantilla:Math. Si Plantilla:Mvar es una representación unitaria de dimensión infinita en un espacio separable El espacio de Hilbert, entonces se descompone como una suma directa de representaciones unitarias de dimensión finita. Tal representación nunca es irreducible. Todas las representaciones de dimensiones finitas irreducibles Plantilla:Math se pueden hacer unitarias mediante una elección adecuada del producto interno,

$⟨f,g{⟩}_U\equiv \underset{\mathrm{S}\mathrm{O}(3)}{\int }⟨\mathrm{\Pi }(R)f,\mathrm{\Pi }(R)g⟩dg=\frac{1}{8{\pi }^2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}⟨\mathrm{\Pi }(R)f,\mathrm{\Pi }(R)g⟩\sin \theta d\phi d\theta d\psi ,f,g\in V,$

donde la integral es la integral invariante única sobre Plantilla:Math normalizada a Plantilla:Math, aquí expresada utilizando la parametrización de los ángulos de Euler. El producto interno dentro de la integral es cualquier producto interno en Plantilla:Math.

Generalizaciones

El grupo de rotación se generaliza de forma bastante natural al espacio euclídeo en n, Rⁿ con su estructura euclidiana estándar. El grupo de todas las rotaciones propias e impropias en la dimensión n se denomina grupo ortogonal O(n), y el subgrupo de rotaciones propias se llama grupo ortogonal SO(n), que es un grupo de Lie de dimensión Plantilla:Nowrap.

En teoría de la relatividad especial, se trabaja en un espacio vectorial de 4 dimensiones, conocido como espacio-tiempo de Minkowski en lugar del espacio euclídeo de 3 dimensiones. A diferencia del espacio euclídeo, el espacio de Minkowski tiene un producto interno con una signatura indefinida. Sin embargo, todavía se pueden definir rotaciones generalizadas que preservan este producto interno. Estas rotaciones generalizadas se conocen como transformaciones de Lorentz y el grupo de todas estas transformaciones se llama grupo de Lorentz.

El grupo de rotación SO(3) se puede describir como un subgrupo de E⁺(3), el grupo euclídeo de las isometrías directas sobre el espacio euclídeo R³. Este grupo más grande es el grupo de todos los movimientos de un cuerpo rígido: cada uno de estos es una combinación de una rotación alrededor de un eje arbitrario y de una traslación respecto el eje, o dicho de otra manera, una combinación de un elemento de SO(3) y de una traslación arbitraria.

En general, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría dentro del grupo de isometrías directas; en otras palabras, la intersección del grupo de simetría completa y el grupo de isometrías directas. Para los objetos quirales es el mismo que el grupo de simetría completo.

Bibliografía

• Plantilla:Citation
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• Plantilla:Citation (traducción de la edición original de 1932, Die Gruppentheoretische Methode in Der Quantenmechanik ).
• Plantilla:Cite web.