Rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional

Doble rotación de un teseracto, en proyección estereográfica

En matemáticas, el grupo de las rotaciones en cuatro dimensiones respecto a un punto fijo se denota SO(4). El nombre proviene del hecho de que es el grupo ortogonal de orden 4.

En este artículo, rotación significa desplazamiento rotacional. Para evitar la multiplicidad cíclica de los giros, se supone que los ángulos de rotación están comprendidos en el segmento cerrado [0, π], salvo que el contexto lo mencione o lo indique claramente.

Un plano fijo tiene la propiedad de que cada vector en dicho plano no cambia después de la rotación. En un plano invariante, cada vector, aunque puede verse afectado por la rotación, permanece en el plano después de verificarse la rotación.

Geometría de las rotaciones en 4D

Las rotaciones en cuatro dimensiones son de dos tipos: rotaciones simples y rotaciones dobles.

Rotaciones simples

Una rotación simple Plantilla:Mvar sobre un centro de rotación Plantilla:Mvar deja un plano fijo completo Plantilla:Mvar (plano axial) que pasa por Plantilla:Mvar. Cada plano Plantilla:Mvar que es completamente ortogonalPlantilla:Refn a Plantilla:Mvar se interseca con Plantilla:Mvar en un cierto punto Plantilla:Mvar. Cada punto Plantilla:Mvar es el centro de la rotación 2D inducida por Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar. Todas estas rotaciones 2D tienen el mismo ángulo de rotación Plantilla:Mvar.

Las semirrectas de Plantilla:Mvar en el plano axial Plantilla:Mvar no se desplazan; las semirrectas de Plantilla:Mvar ortogonales a Plantilla:Mvar giran un ángulo Plantilla:Mvar; todas las demás semirrectas se desplazan en un ángulo menor que Plantilla:Mvar.

Rotaciones dobles

Un toro de Clifford en 4D proyectado estereográficamente en 3D se asemeja a un toro, y una rotación doble puede verse como una trayectoria helicoidal inscrita en un toro. Para una rotación cuyos dos ángulos de rotación forman un número racional, las trayectorias finalmente se volverán a conectar, mientras que para una proporción irracional no lo harán. Una rotación isoclínica formará un círculo de Villarceau en el toro, mientras que una rotación simple formará un círculo paralelo o perpendicular al eje central

Para cada rotación Plantilla:Mvar en 4 dimensiones (con el origen fijo), hay al menos un par de planos bidimensionales ortogonales Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar, cada uno de los cuales es invariante y cuya suma directa Plantilla:Math abarca todo el espacio 4D. Por lo tanto, Plantilla:Mvar en cualquiera de estos dos planos produce una rotación ordinaria del plano. Para casi todos los Plantilla:Mvar (todo el conjunto de rotaciones de 6 dimensiones excepto un subconjunto de 3 dimensiones), los ángulos de rotación Plantilla:Mvar en el plano Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar en el plano Plantilla:Mvar, ambos asumidos como distintos de cero, son diferentes. Los ángulos de rotación desiguales Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar que satisfacen Plantilla:Math, Plantilla:Math son casiPlantilla:Refn determinados exclusivamente por Plantilla:Mvar. Suponiendo que el 4-espacio está orientado, entonces las orientaciones de los 2-planos Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar se pueden elegir de dos maneras consistentes con esta orientación. Si los ángulos de rotación son desiguales (Plantilla:Math), Plantilla:Mvar a veces se denomina rotación doble.

En el caso de doble rotación, Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son el único par de planos invariantes, y las semirrectas a través del origen en Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar; se desplazan Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar respectivamente, y las semirrectas que pasan por el origen que no pertenecen a Plantilla:Mvar o Plantilla:Mvar, se desplazan según ángulos estrictamente comprendidos entre Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar.

Rotaciones isoclínicas

Si los ángulos de rotación de una rotación doble son iguales, entonces hay infinitos planos invariantes en lugar de solo dos, y todas las semirrectas que pasan por Plantilla:Mvar se desplazan según el mismo ángulo. Estas rotaciones se denominan isoclínicas o rotaciones equiangulares, o también desplazamientos de Clifford. Sin embargo, no todos los planos a través de Plantilla:Mvar son invariantes bajo rotaciones isoclínicas; solo los planos que ocupan una semirrecta y la semirrecta desplazada correspondiente son invariantes.

Suponiendo que se ha elegido una orientación fija para el espacio de 4 dimensiones, las rotaciones 4D isoclínicas se pueden clasificar en dos categorías. Para ver esto, considérese una rotación isoclínica Plantilla:Mvar, y tómese un conjunto ordenado Plantilla:Math de orientación coherente de semirrectas mutuamente perpendiculares en Plantilla:Mvar (denotado como Plantilla:Mvar) de modo que Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar abarquen un plano invariante, y por lo tanto Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar también abarquen un plano invariante. Ahora supóngase que solo se especifica el ángulo de rotación Plantilla:Mvar. Entonces, en general, hay cuatro rotaciones isoclínicas en los planos Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar con un ángulo de rotación Plantilla:Mvar, dependiendo de los sentidos de rotación en Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar.

Tomando la convención de que los sentidos de rotación de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar y de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar se consideran positivos, se tienen las cuatro rotaciones Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math. Plantilla:Math y Plantilla:Math son inversas entre sí; al igual que Plantilla:Math y Plantilla:Math. Mientras Plantilla:Mvar se encuentre entre 0 y Π, estas cuatro rotaciones serán distintas.

Las rotaciones isoclínicas con signos iguales se denominan isoclínicas a la izquierda; aquellas con signos opuestos son isoclínicas a la derecha. Las rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha están representadas respectivamente por la multiplicación a la izquierda y a la derecha por cuaterniones unitarios (véase el párrafo Relación con los cuaterniones a continuación).

Las cuatro rotaciones son de paridad diferente excepto si Plantilla:Math o Plantilla:Math. El ángulo Plantilla:Math corresponde a la rotación identidad; Plantilla:Math corresponde a la simetría central, dada por el negativo de la matriz identidad. Estos dos elementos de SO(4) son los únicos que son simultáneamente isoclínicos a la izquierda y a la derecha.

La isoclinia a la izquierda y a la derecha así definida, parece depender de la rotación isoclínica específica que se hubiera seleccionado. Sin embargo, cuando se selecciona otra rotación isoclínica Plantilla:Mvar con sus propios ejes Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, entonces siempre se puede elegir el orden de Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar de tal manera que Plantilla:Mvar se pueda transformar en Plantilla:Mvar mediante una rotación en lugar de hacerlo por una rotación-reflexión (es decir, de modo que la base ordenada Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar también sea coherente con la misma elección fija de orientación que Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar). Por lo tanto, una vez que se ha seleccionado una orientación (es decir, un sistema Plantilla:Mvar de ejes que se denota universalmente como a la derecha), se puede determinar el carácter a la izquierda o a la derecha de una rotación isoclínica específica.

Estructura de grupo de SO(4)

SO(4) forma un grupo de Lie compacto, no conmutativo y de dimensión 6.

Cada plano a través del centro de rotación Plantilla:Mvar es el eje planar de un isomorfismo que forma un subgrupo conmutativo con respecto a SO(2). Todos estos subgrupos son mutuamente conjugados en SO(4).

Cada par de planos completamente ortogonales que pasan a través de O forman un par de planos invariantes de un subgrupo conmutativo de SO(4) isomorfo a SO(2) × SO(2).

Estos grupos son toros máximos de SO(4), que se conjugan mutuamente en SO(4) (véase también toro de Clifford).

Todas las rotaciones isoclínicas a la izquierda forman un subgrupo no conmutativo Plantilla:Math de SO(4), que es isomorfo al grupo multiplicativo Plantilla:Math de los cuaterniones unitarios. Todas las rotaciones isoclínicas a la derecha también forman un subgrupo Plantilla:Math de SO(4), isomorfo a Plantilla:Math. Tanto Plantilla:Math como Plantilla:Math son subgrupos máximos de SO(4).

Cada rotación isoclínica a la izquierda conmuta con una rotación isoclínica a la derecha. Esto implica que existe un producto directo Plantilla:Math con subgrupos normales Plantilla:Math y Plantilla:Math. Los dos grupos cocientes correspondientes son isomorfos al otro factor del producto directo, es decir, isomorfos a Plantilla:Math (esta correspondencia no cubre SO(4) ni un subgrupo de SO(4), puesto que Plantilla:Math y Plantilla:Math no son disjuntos: la identidad Plantilla:Mvar y la inversión central Plantilla:Math pertenecen tanto a Plantilla:Math como a Plantilla:Math).

Cada rotación 4D Plantilla:Mvar es de dos maneras el producto de las rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha Plantilla:Math y Plantilla:Math. Plantilla:Math y Plantilla:Math se determinan en conjunto hasta la inversión central, es decir, cuando tanto Plantilla:Math como Plantilla:Math se multiplican por la inversión central, su producto es Plantilla:Mvar nuevamente.

Esto implica que Plantilla:Math es el grupo de recubrimiento universal de SO(4), su doble recubrimiento único, y que Plantilla:Math y Plantilla:Math son subgrupos normales de SO(4). La rotación identidad Plantilla:Mvar y la inversión central Plantilla:Math forman un grupo Plantilla:Math de orden 2, que es el centro de SO(4) y de Plantilla:Math y Plantilla:Math. El centro de un grupo es un subgrupo normal de ese grupo. El grupo de factores de Plantilla:Math en SO(4) es isomorfo a SO(3) × SO(3). Los grupos de factores de Plantilla:Math por Plantilla:Math y de Plantilla:Math por Plantilla:Math son cada uno isomorfos a SO(3). De manera similar, los grupos de factores de SO(4) por Plantilla:Math y de SO(4) por Plantilla:Math son cada uno isomorfos a SO(3).

La topología de SO(4) es la misma que la del grupo de Lie SO(3) × Spin(3)=SO(3) × SU(2), es decir, la topología de Plantilla:Math. Sin embargo, cabe destacar que como grupo de Lie, SO(4) no es un producto directo de grupos de Lie, por lo que no es isomorfo a SO(3) × Spin(3)=SO(3) × SU(2).

Propiedad especial de SO (4) entre los grupos de rotación en general

Los grupos de rotación de dimensión impar no contienen la inversión central, y son grupos simples.

Los grupos de rotación de dimensiones pares contienen la inversión central Plantilla:Math y tienen el grupo Plantilla:Math como su centro. Desde SO(6) en adelante, son casi simples en el sentido de que los grupos cocientes de sus centros son grupos simples.

SO(4) es diferente: no existe conjugación por ningún elemento de SO(4) que transforme las rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha entre sí. Las reflexiones transforman una rotación isoclínica a la izquierda en una isoclínica a la derecha mediante conjugación, y viceversa. Esto implica que bajo el grupo O(4) de todas las isometrías con punto fijo Plantilla:Mvar, los subgrupos Plantilla:Math y Plantilla:Math se conjugan mutuamente y, por lo tanto, no son subgrupos normales de O(4). El grupo de rotación en 5D, denominado SO(5) y todos los grupos de rotación superiores contienen subgrupos isomorfos a O(4). Al igual que SO(4), todos los grupos de rotación de dimensiones pares contienen rotaciones isoclínicas. Pero a diferencia de SO(4), en SO(6) y en todos los grupos de rotación de dimensiones más altas, cualquier par de rotaciones isoclínicas a través del mismo ángulo son conjugadas. Los conjuntos de todas las rotaciones isoclínicas no son ni siquiera subgrupos de SO(Plantilla:Math), y mucho menos subgrupos normales.

Álgebra de las rotaciones en 4D

SO(4) se identifica comúnmente con el grupo de orientación que conserva las aplicaciones lineales isométricas de un espacio vectorial 4D con un producto interno en los números reales sobre sí mismo.

Con respecto a una base ortonormal, dicho espacio SO(4) se representa como el grupo de matrices ortogonales de cuarto orden sobre los números reales con determinante +1.

Descomposición isoclínica

Una rotación 4D dada por su matriz se descompone en una rotación isoclínica a la izquierda y a la derecha como se indica a continuación:

Sea

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{00}& a_{01}& a_{02}& a_{03}\\ a_{10}& a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{20}& a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{30}& a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$

una matriz con respecto a una base ortonormal arbitraria.

Se calcula su matriz asociada

$M=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}& +a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}& +a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}& +a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\ a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}& -a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}& +a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}& -a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\ a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}& -a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}& -a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}& +a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\ a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}& +a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}& -a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}& -a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{array}\right)$

Plantilla:Mvar tiene rango uno y posee módulo unidad como un vector 16D si y solo si Plantilla:Mvar es efectivamente una matriz de rotación 4D. En este caso, existen números reales Plantilla:Math y Plantilla:Math de tal manera que

$M=\left(\begin{array}{cccc}ap& aq& ar& as\\ bp& bq& br& bs\\ cp& cq& cr& cs\\ dp& dq& dr& ds\end{array}\right)$

y

$(ap{)}^2+\cdots +(ds{)}^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)(p^2+q^2+r^2+s^2)=1.$

Hay exactamente dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math, tales que Plantilla:Math y Plantilla:Math. Ambos son opuestos entre sí.

La matriz de rotación es igual a

$\begin{array}{cc}A& =\left(\begin{array}{cccc}ap-bq-cr-ds& -aq-bp+cs-dr& -ar-bs-cp+dq& -as+br-cq-dp\\ bp+aq-dr+cs& -bq+ap+ds+cr& -br+as-dp-cq& -bs-ar-dq+cp\\ cp+dq+ar-bs& -cq+dp-as-br& -cr+ds+ap+bq& -cs-dr+aq-bp\\ dp-cq+br+as& -dq-cp-bs+ar& -dr-cs+bp-aq& -ds+cr+bq+ap\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}a& -b& -c& -d\\ b& a& -d& c\\ c& d& a& -b\\ d& -c& b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}p& -q& -r& -s\\ q& p& s& -r\\ r& -s& p& q\\ s& r& -q& p\end{array}\right).\end{array}$

Esta fórmula se debe a Van Elfrinkhof (1897).

El primer factor en esta descomposición representa una rotación isoclínica a la izquierda, el segundo factor es una rotación isoclínica a la derecha. Los factores se determinan hasta la matriz identidad negativa de cuarto orden, es decir, la inversión central.

Relación con los cuaterniones

Un punto en el espacio de 4 dimensiones con coordenadas cartesianas Plantilla:Math se puede representar mediante un cuaternión Plantilla:Math.

Una rotación isoclínica a la izquierda se representa mediante la multiplicación a la izquierda por un cuaternión unidad Plantilla:Math. En lenguaje matricial, esto es

$\left(\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a& -b& -c& -d\\ b& a& -d& c\\ c& d& a& -b\\ d& -c& b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)$

Del mismo modo, una rotación isoclínica a la derecha se representa mediante la multiplicación a la derecha por un cuaternión unidad Plantilla:Math, que se encuentra en forma de vector matriz

$\left(\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}p& -q& -r& -s\\ q& p& s& -r\\ r& -s& p& q\\ s& r& -q& p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ x\\ y\\ z\end{array}\right).$

En la sección anterior se muestra cómo una rotación 4D general se divide en factores isoclínicos a la izquierda y a la derecha.

En el lenguaje de los cuaterniones, la fórmula de Van Elfrinkhof se lee como

$u^{\prime }+x^{\prime }i+y^{\prime }j+z^{\prime }k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),$

o, en forma simbólica,

$P^{\prime }=Q_{\mathrm{L}}P{Q}_{\mathrm{R}}.$

Según el matemático alemán Felix Klein, esta fórmula ya la conocía Cayley en 1854.

La multiplicación de cuaterniones es asociativa. Por lo tanto,

$P^{\prime }=\left(Q_{\mathrm{L}}P\right)Q_{\mathrm{R}}=Q_{\mathrm{L}}\left(P{Q}_{\mathrm{R}}\right),$

lo que demuestra que las rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha conmutan entre sí.

Valores propios de las matrices de rotación 4D

Los cuatro valores propios de una matriz de rotación 4D, generalmente tienen la forma de dos pares conjugados de números complejos de magnitud unidad. Si un valor propio es real, debe ser ±1, ya que una rotación no modifica la magnitud de un vector. El conjugado de ese valor propio también es la unidad, produciendo un par de vectores propios que definen un plano fijo, por lo que la rotación es simple. En la notación de los cuaterniones, una rotación a la derecha (es decir, no inversa) en SO(4) es una rotación simple propia si y solo si las partes reales de los cuaterniones unidad Plantilla:Math y Plantilla:Math son iguales en magnitud y tienen el mismo signo.Plantilla:Refn Si ambos son cero, todos los valores propios de la rotación son la unidad, y la rotación es la rotación nula. Si las partes reales de Plantilla:Math y Plantilla:Math no son iguales, entonces todos los valores propios son complejos, y la rotación es una rotación doble.

Fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D

Es posible tratar eficientemente el espacio 3D ordinario como un subespacio con el sistema de coordenadas OXYZ del espacio 4D con el sistema de coordenadas OUXYZ. Su grupo de rotación SO(3) se identifica con el subgrupo de SO(4) representado por las matrices

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ 0& a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right).$

En la fórmula de Van Elfrinkhof de la subsección anterior, esta restricción a tres dimensiones lleva a Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math o en la notación de los cuaterniones: Plantilla:Math. La matriz de rotación 3D se convierte entonces en

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2+b^2-c^2-d^2& 2(bc-ad)& 2(bd+ac)\\ 2(bc+ad)& a^2-b^2+c^2-d^2& 2(cd-ab)\\ 2(bd-ac)& 2(cd+ab)& a^2-b^2-c^2+d^2\end{array}\right),$

que es la representación de la rotación 3D por sus parámetros de Euler-Rodrigues: Plantilla:Math.

La fórmula del cuaternión correspondiente Plantilla:Math, donde Plantilla:Math, o, en forma expandida:

$x^{\prime }i+y^{\prime }j+z^{\prime }k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)$

es conocida como la fórmula de Hamilton-Cayley.

Coordenadas de Hopf

Las rotaciones en el espacio 3D se hacen matemáticamente mucho más manejables mediante el uso de coordenadas esféricas. Cualquier rotación en 3D se puede caracterizar por un eje de rotación fijo y un plano invariante perpendicular a ese eje. Sin pérdida de generalidad, se puede tomar el plano Plantilla:Mvar como el plano invariante y el eje Plantilla:Mvar como el eje fijo. Como las distancias radiales no se ven afectadas por la rotación, se caracteriza una rotación por su efecto en la esfera unitaria (2 esfera) mediante coordenadas esféricas referido al eje fijo y al plano invariante:

$\begin{array}{cc}x& =\mathrm{sen}\theta \cos \varphi \\ y& =\mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\varphi \\ z& =\cos \theta \end{array}$

Debido a que Plantilla:Math, los puntos se encuentran en la 2 esfera. Un punto en Plantilla:Math girado por un ángulo Plantilla:Mvar sobre el eje Plantilla:Mvar se especifica simplemente por Plantilla:Math. Si bien las coordenadas hiperesféricas también son útiles para tratar las rotaciones en 4D, las coordenadas de Hopf Plantilla:Math, un conjunto de tres coordenadas angulares que especifican una posición en la 3 esfera, proporciona un sistema de coordenadas aún más útil para 4D. Por ejemplo:

$\begin{array}{cc}u& =\cos {\xi }_1\mathrm{sen}\eta \\ z& =\mathrm{sen}{\xi }_1\mathrm{sen}\eta \\ x& =\cos {\xi }_2\cos \eta \\ y& =\mathrm{sen}{\xi }_2\cos \eta \end{array}$

Debido a que Plantilla:Math, los puntos se encuentran en la 3 esfera.

En el espacio 4D, cada rotación sobre el origen tiene dos planos invariantes que son completamente ortogonales entre sí y que se intersecan en el origen, girando según dos ángulos independientes Plantilla:Math y Plantilla:Math. Sin pérdida de generalidad, se pueden elegir, respectivamente, los planos Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar como estos planos invariantes. Una rotación en 4D de un punto Plantilla:Math a través de los ángulos Plantilla:Math y Plantilla:Math se expresa simplemente en coordenadas de Hopf como Plantilla:Math.

Visualización de rotaciones en 4D

Trayectorias de un punto en el Toro de Clifford:
Fig.1: Rotaciones simples (negro) y rotaciones isoclínicas a la izquierda y a la derecha (rojo y azul)
Fig.2: Rotación general con desplazamientos angulares en una relación de 1:5
Fig.3: Rotación general con desplazamientos angulares en una relación de 5:1
Todas las imágenes son proyecciones estereográficas

Cada rotación en el espacio 3D tiene una línea de eje invariante que no se modifica con la rotación. La rotación se determina completamente especificando el eje de rotación y el ángulo de rotación alrededor de ese eje. Sin pérdida de generalidad, este eje puede elegirse como el eje Plantilla:Mvar de un sistema de coordenadas cartesiano, permitiendo una visualización más simple de la rotación.

En el espacio 3D, las coordenadas esféricas Plantilla:Math pueden verse como una expresión paramétrica de la 2 esfera. Para Plantilla:Mvar fijo, describen círculos en la 2 esfera que son perpendiculares al eje Plantilla:Mvar, y estos círculos pueden verse como trayectorias de un punto en la esfera. Un punto Plantilla:Math en la esfera, bajo una rotación alrededor del eje Plantilla:Mvar, seguirá una trayectoria Plantilla:Math a medida que el ángulo Plantilla:Mvar varía. La trayectoria puede verse como una rotación paramétrica en el tiempo, donde el ángulo de rotación varía linealmente con el tiempo: Plantilla:Math, siendo Plantilla:Mvar una velocidad angular.

Al igual que en el caso 3D, cada rotación en el espacio 4D tiene al menos dos planos axiales invariantes, que permanecen sin ser modificados por la rotación y son completamente ortogonales (es decir, se intersecan en un punto). La rotación se determina por completo especificando los planos axiales y los ángulos de rotación alrededor de ellos. Sin pérdida de generalidad, estos planos axiales pueden elegirse para ser los planos Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar de un sistema de coordenadas cartesiano, permitiendo una visualización más simple de la rotación.

En el espacio 4D, los ángulos de Hopf Plantilla:Math parametrizan la 3 esfera. Para Plantilla:Mvar fijo, describen un toro parametrizado por Plantilla:Math y Plantilla:Math, siendo Plantilla:Math el caso especial del toro de Clifford en los planos Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar. Estos toros no son los habituales que se encuentran en el espacio 3D. Si bien aún son superficies 2D, están incrustados en la 3 esfera, que puede ser proyectada estereográficamente en todo el espacio 3D euclidiano, y estos toros se visualizan entonces como los habituales toros de revolución. Se puede ver que un punto especificado por Plantilla:Math que experimenta una rotación según los planos invariantes Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar, permanecerá en el toro especificado por Plantilla:Math. La trayectoria de un punto se puede escribir como una función del tiempo con la forma Plantilla:Math y ser proyectada estereográficamente en su toro asociado, como en las siguientes figuras. En estas figuras, el punto inicial se toma como Plantilla:Math, es decir, en el toro de Clifford. En la Fig. 1, se muestran dos trayectorias de rotación simples en negro, mientras que las trayectorias isoclínicas a la izquierda y a la derecha se muestran en rojo y azul respectivamente. En la Fig. 2, se muestra una rotación general en la que se representan Plantilla:Math y Plantilla:Math, mientras que en la Fig. 3, se muestra una rotación general en la que aparecen Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Generacíon de matrices de rotación 4D

Las rotaciones de cuatro dimensiones se pueden deducir de la fórmula de rotación de Rodrigues y de la fórmula de Cayley. Sea Plantilla:Mvar una matriz antisimétrica de orden 4 × 4. La matriz antisimétrica Plantilla:Mvar se puede descomponer de forma única como

$A={\theta }_1{A}_1+{\theta }_2{A}_2$

en dos matrices antisimétricas Plantilla:Math y Plantilla:Math que satisfacen las propiedades Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math, donde Plantilla:Math y Plantilla:Math son los valores propios de Plantilla:Mvar. Luego, las matrices de rotación 4D se pueden obtener de las matrices antisimétricas Plantilla:Math y Plantilla:Math mediante la fórmula de rotación de Rodrigues y la fórmula de Cayley.

Sea Plantilla:Mvar una matriz antisimétrica de orden 4 × 4 distinta de cero, con el conjunto de valores propios

$\{{\theta }_{1}i,-{\theta }_{1}i,{\theta }_{2}i,-{\theta }_{2}i:{{\theta }_1}^2+{{\theta }_2}^2>0\}.$

Entonces, Plantilla:Mvar se puede descomponer como

$A={\theta }_1{A}_1+{\theta }_2{A}_2$

donde Plantilla:Math y Plantilla:Math son matrices antisimétricas que satisfacen las propiedades

$A_1{A}_2=A_2{A}_1=0,{A_1}^3=-A_1,\text{and}{A_2}^3=-A_2.$

Además, las matrices antisimétricas Plantilla:Math y Plantilla:Math se obtienen únicamente como

$A_1=\frac{{{\theta }_2}^{2}A+A^3}{{\theta }_1({{\theta }_2}^2-{{\theta }_1}^2)}$

y

$A_2=\frac{{{\theta }_1}^{2}A+A^3}{{\theta }_2({{\theta }_1}^2-{{\theta }_2}^2)}.$

Entonces,

$R=e^A=I+\mathrm{sen}{\theta }_1{A}_1+(1-\cos {\theta }_1){A_1}^2+\mathrm{sen}{\theta }_2{A}_2+(1-\cos {\theta }_2){A_2}^2$

es una matriz de rotación en Plantilla:Math, generada por la fórmula de rotación de Rodrigues, con el conjunto de valores propios

$\{e^{{\theta }_{1}i},e^{-{\theta }_{1}i},e^{{\theta }_{2}i},e^{-{\theta }_{2}i}\}.$

También,

$R=(I+A)(I-A{)}^{-1}=I+\frac{2{\theta }_1}{1+{{\theta }_1}^2}{A}_1+\frac{2{{\theta }_1}^2}{1+{{\theta }_1}^2}{A_1}^2+\frac{2{\theta }_2}{1+{{\theta }_2}^2}{A}_2+\frac{2{{\theta }_2}^2}{1+{{\theta }_2}^2}{A_2}^2$

es una matriz de rotación en Plantilla:Math, que se genera mediante la fórmula de rotación de Cayley, de modo que el conjunto de valores propios de Plantilla:Mvar es,

$\{\frac{{(1+{\theta }_{1}i)}^2}{1+{{\theta }_1}^2},\frac{{(1-{\theta }_{1}i)}^2}{1+{{\theta }_1}^2},\frac{{(1+{\theta }_{2}i)}^2}{1+{{\theta }_2}^2},\frac{{(1-{\theta }_{2}i)}^2}{1+{{\theta }_2}^2}\}.$

La matriz de rotación generadora se puede clasificar con respecto a los valores Plantilla:Math y Plantilla:Math de la siguiente manera:

1. Si Plantilla:Math y Plantilla:Math o viceversa, entonces las fórmulas generan rotaciones simples;
2. Si Plantilla:Math y Plantilla:Math son distintos de cero y Plantilla:Math, entonces las fórmulas generan rotaciones dobles;
3. Si Plantilla:Math y Plantilla:Math son distintos de cero y Plantilla:Math, entonces las fórmulas generan rotaciones isoclínicas.

Véase también

• Vector de Runge-Lenz
• Grupo de Lorentz
• Grupo ortogonal
• Matriz ortogonal
• Plano de rotación
• Grupo de Poincaré
• Cuaterniones y rotación en el espacio

Enlaces externos

• Tratando de imaginar cómo es una rotación en 4D.

Referencias

• L. van Elfrinkhof: Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Delft, 1897.
• Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Translated by E.R. Hedrick and C.A. Noble. The Macmillan Company, New York, 1932.
• Henry Parker Manning Plantilla:Wayback: Geometry of four dimensions. The Macmillan Company, 1914. Republished unaltered and unabridged by Dover Publications in 1954. In this monograph four-dimensional geometry is developed from first principles in a synthetic axiomatic way. Manning's work can be considered as a direct extension of the works of Euclides and Hilbert to four dimensions.
• J. H. Conway and D. A. Smith: On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A. K. Peters, 2003.
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• P.H.Schoute: Mehrdimensionale Geometrie. Leipzig: G.J.Göschensche Verlagshandlung. Volume 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die linearen Räume, 1902. Volume 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
• Plantilla:Cite journal
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