Orden total acotado

Plantilla:Relación binaria 101 En matemáticas, un conjunto presenta un orden total acotado respecto a una relación binaria cuando tiene un orden total y está acotado superior e inferiormente.^[1]^[2]

Definición

Dado un conjunto A y una relación binaria $≾$ definida entre los elementos de A, que expresaremos $(A, ≾)$ y la relación se representa:

a ≾ b

Se dice que se ha definido un orden total acotado en el conjunto A, si la relación $(A, ≾)$ cumple las propiedades:

Relación reflexiva

\forall x \in A : x ≾ x

Relación antisimétrica

\forall x, y \in A : x ≾ y \land y ≾ x ⟶ x = y

Relación transitiva

\forall x, y, z \in A : x ≾ y \land y ≾ z ⟶ x ≾ z

Relación total

\forall x, y \in A : x ≾ y \lor y ≾ x

y Acotado

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria $≾$ , siendo $(A, ≾)$ un conjunto totalmente ordenado.

El elemento y de A es máximo si se cumple que:

y \in A e s m \overset{´}{a} x i m o s i : \forall x \in A : x ≾ y

Se denomina máximo y define una cota superior en A; el elemento máximo es único. Si el conjunto A y la relación binaria $≾$ , que expresaremos $(A, ≾)$ es un orden total y tiene máximo, entonces es un conjunto con orden total y acotado superiormente.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

z \in A e s m \overset{´}{ı} n i m o s i : \forall x \in A : z ≾ x

Se denomina mínimo y define una cota inferior en A; el elemento mínimo es único. Si el conjunto A y la relación binaria $≾$ , que expresaremos $(A, ≾)$ es un orden total y tiene mínimo, entonces es un conjunto con orden total y acotado inferiormente.

Un conjunto con orden total solo se dice acotado, si está acotado superior e inferiormente.