Polinomio simétrico elemental

En matemáticas, específicamente en álgebra conmutativa, los polinomios simétricos elementales son un tipo de elementos básicos que permiten descomponer polinomios simétricos, en el sentido de que cualquier polinomio simétrico puede expresarse como un polinomio en términos de polinomios simétricos elementales. Es decir, cualquier polinomio simétrico Plantilla:Math puede expresarse utilizando únicamente sumas y multiplicaciones de constantes y polinomios simétricos elementales. Existe un polinomio simétrico elemental de grado Plantilla:Math en Plantilla:Math variables para cada número entero no negativo Plantilla:Math, y se forma sumando todos los productos distintos de Plantilla:Math variables distintas.

Definición

Los polinomios simétricos elementales en Plantilla:Math variables Plantilla:Math, escritos Plantilla:Math para Plantilla:Math, están definidos por

$\begin{array}{cc}{e}_0(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =1,\\ e_1(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j\le n}{X}_j,\\ e_2(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j<k\le n}{X}_j{X}_k,\\ e_3(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j<k<l\le n}{X}_j{X}_k{X}_l,\\ \end{array}$

y así sucesivamente, terminando con

$e_n(X_1,X_2,\dots ,X_n)=X_1{X}_2\cdots X_n.$

En general, para Plantilla:Math, se define

$e_k(X_1,\dots ,X_n)=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}{X}_{j_1}\cdots X_{j_k},$

de modo que Plantilla:Math si Plantilla:Math.

Por lo tanto, para cada número entero no negativo Plantilla:Mvar menor o igual que Plantilla:Mvar existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grado Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar variables. Para formar el que tiene grado Plantilla:Mvar, se toma la suma de todos los productos de Plantilla:Mvar-subconjuntos de las Plantilla:Mvar variables. Por el contrario, si se realiza la misma operación usando múltiples conjuntos de variables, es decir, tomando variables con repetición, se obtienen los polinomios simétricos homogéneos completos).

Dada una partición entera (es decir, una secuencia finita no creciente de enteros positivos) Plantilla:Math, se define el polinomio simétrico Plantilla:Math, también llamado polinomio simétrico elemental, por

$e_{\lambda }(X_1,\dots ,X_n)=e_{{\lambda }_1}(X_1,\dots ,X_n)\cdot e_{{\lambda }_2}(X_1,\dots ,X_n)\cdots e_{{\lambda }_m}(X_1,\dots ,X_n)$.

A veces se usa la notación Plantilla:Math lugar de Plantilla:Math.

Ejemplos

A continuación se enumeran los Plantilla:Math polinomios simétricos elementales para los primeros cuatro valores positivos de Plantilla:Math (en todos los casos, Plantilla:Math también es uno de los polinomios).

Para Plantilla:Math:

$e_1(X_1)=X_1.$

Para Plantilla:Math:

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2)& =X_1+X_2,\\ e_2(X_1,X_2)& =X_1{X}_2.\\ \end{array}$

Para Plantilla:Math :

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,X_3)& =X_1+X_2+X_3,\\ e_2(X_1,X_2,X_3)& =X_1{X}_2+X_1{X}_3+X_2{X}_3,\\ e_3(X_1,X_2,X_3)& =X_1{X}_2{X}_3.\\ \end{array}$

Para Plantilla:Math:

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1+X_2+X_3+X_4,\\ e_2(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2+X_1{X}_3+X_1{X}_4+X_2{X}_3+X_2{X}_4+X_3{X}_4,\\ e_3(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2{X}_3+X_1{X}_2{X}_4+X_1{X}_3{X}_4+X_2{X}_3{X}_4,\\ e_4(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2{X}_3{X}_4.\\ \end{array}$

Propiedades

Los polinomios simétricos elementales aparecen cuando se expande una factorización lineal de un polinomio monoico: se obtiene la identidad

$\prod _{j=1}^n(\lambda -X_j)={\lambda }^n-e_1(X_1,\dots ,X_n){\lambda }^{n-1}+e_2(X_1,\dots ,X_n){\lambda }^{n-2}+\cdots +(-1{)}^n{e}_n(X_1,\dots ,X_n).$

Es decir, cuando se sustituyen los valores numéricos por las variables Plantilla:Math, se obtiene el polinomio univariado monoico (con la variable Plantilla:Math ) cuyas raíces son los valores sustituidos por Plantilla:Math y cuyos coeficientes salvo su signo, son los de los polinomios simétricos elementales. Estas relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio se llaman fórmulas de Vieta.

El polinomio característico de una matriz cuadrada es un ejemplo de aplicación de las fórmulas de Vieta. Las raíces de este polinomio son los valores propios de la matriz. Cuando se sustituyen estos valores propios en los polinomios simétricos elementales, se obtiene, salvo su signo, los coeficientes del polinomio característico, que son invariantes de la matriz. En particular, la traza (la suma de los elementos de la diagonal) es el valor de Plantilla:Math y, por lo tanto, la suma de los valores propios. De manera similar, el determinante es, hasta el signo, el término constante del polinomio característico; más precisamente, el determinante es el valor de Plantilla:Math. Por lo tanto, el determinante de una matriz cuadrada es el producto de los valores propios.

El conjunto de polinomios simétricos elementales en Plantilla:Math variables genera el anillo de polinomios simétricos en Plantilla:Math variables. Más específicamente, el anillo de polinomios simétricos con coeficientes enteros es igual al anillo polinómico integral Plantilla:Math (véase más abajo una declaración más general y la demostración). Este hecho es uno de los fundamentos de la teoría de invariantes. Para otros sistemas de polinomios simétricos con una propiedad similar, véase polinomios simétricos de suma de potencia y polinomios simétricos homogéneos completos.

Teorema fundamental de los polinomios simétricos

Para cualquier anillo conmutativo Plantilla:Math, denótese el anillo de polinomios simétricos en las variables Plantilla:Math con coeficientes en Plantilla:Math por Plantilla:Math. Este es un anillo polinómico en los n polinomios simétricos elementales Plantilla:Math para Plantilla:Math (téngase en cuenta que Plantilla:Math no se encuentra entre estos polinomios; dado que Plantilla:Math, no puede ser miembro de ningún conjunto de elementos algebraicamente independientes).

Esto significa que cada polinomio simétrico Plantilla:Math tiene una representación única

$P(X_1,\dots ,X_n)=Q(e_1(X_1,\dots ,X_n),\dots ,e_n(X_1,\dots ,X_n))$

para algunos polinomios Plantilla:Math. Otra forma de decir lo mismo es que el homomorfismo de anillo que aplica Plantilla:Math sobre Plantilla:Math para Plantilla:Math define un isomorfismo entre Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Demostración esquemática

El teorema puede probarse para polinomios homogéneos simétricos mediante una doble inducción matemática con respecto al número de variables Plantilla:Math, y para Plantilla:Math fijo, con respecto al grado del polinomio homogéneo. El caso general se aborda dividiendo un polinomio simétrico arbitrario en sus componentes homogéneos (que nuevamente son simétricos).

En el caso Plantilla:Math el resultado es obvio, porque cada polinomio en una variable es automáticamente simétrico.

Supóngase ahora que el teorema ha sido probado para todos los polinomios para Plantilla:Math variables y todos los polinomios simétricos en Plantilla:Math variables con grado Plantilla:Math. Cada polinomio simétrico homogéneo Plantilla:Math en Plantilla:Math puede descomponerse como una suma de polinomios simétricos homogéneos

$P(X_1,\dots ,X_n)=P_{\text{lagunar}}(X_1,\dots ,X_n)+X_1\cdots X_n\cdot Q(X_1,\dots ,X_n).$

Aquí, la "parte lagunar" Plantilla:Math se define como la suma de todos los monomios en Plantilla:Math que contienen solo un subconjunto propio de las Plantilla:Math variables Plantilla:Math, es decir, donde falta al menos una variable Plantilla:Math.

Debido a que Plantilla:Math es simétrico, la parte lagunar está determinada por sus términos que contienen solo las variables Plantilla:Math, es decir, que no contienen Plantilla:Math. Más precisamente: si Plantilla:Math y Plantilla:Math son dos polinomios simétricos homogéneos en Plantilla:Math que tienen el mismo grado, y si el coeficiente de Plantilla:Math antes de cada monomio que contiene solo las variables Plantilla:Math es igual al coeficiente correspondiente de Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen partes lagunares iguales. Esto se debe a que cada monomio que puede aparecer en una parte lagunar debe carecer de al menos una variable y, por lo tanto, puede transformarse mediante una permutación de las variables en un monomio que contiene solo las variables Plantilla:Math.

Pero los términos de Plantilla:Math que contienen solo las variables Plantilla:Math son precisamente los términos que sobreviven a la operación de establecer Plantilla:Math en   0, luego su suma es igual a Plantilla:Math, que es un polinomio simétrico en las variables Plantilla:Math que se denotan como Plantilla:Math. Por el supuesto inductivo, este polinomio se puede escribir como

$\tilde{P}(X_1,\dots ,X_{n-1})=\tilde{Q}({\sigma }_{1,n-1},\dots ,{\sigma }_{n-1,n-1})$

para alguna Plantilla:Math. Aquí el doblemente indexado Plantilla:Math denota los polinomios simétricos elementales en Plantilla:Math variables.

Considérese ahora el polinomio

$R(X_1,\dots ,X_n):=\tilde{Q}({\sigma }_{1,n},\dots ,{\sigma }_{n-1,n}).$

Entonces, Plantilla:Math es un polinomio simétrico en Plantilla:Math, del mismo grado que Plantilla:Math, que satisface

$R(X_1,\dots ,X_{n-1},0)=\tilde{Q}({\sigma }_{1,n-1},\dots ,{\sigma }_{n-1,n-1})=P(X_1,\dots ,X_{n-1},0)$

(la primera igualdad se cumple porque estableciendo Plantilla:Math a 0 en Plantilla:Math resulta Plantilla:Math, para todo Plantilla:Math ). En otras palabras, el coeficiente de Plantilla:Math antes de cada monomio que contiene solo las variables Plantilla:Math es igual al coeficiente correspondiente de Plantilla:Math. Como es sabido, esto muestra que la parte lagunar de Plantilla:Math coincide con la del polinomio original Plantilla:Math. Por lo tanto, la diferencia Plantilla:Math no tiene una parte lagunar, y por lo tanto, es divisible por el producto Plantilla:Math de todas las variables, que es igual al polinomio simétrico elemental Plantilla:Math. Entonces, escribiendo Plantilla:Math, el cociente Plantilla:Math es un polinomio simétrico homogéneo de grado menor que Plantilla:Math (de hecho, de grado a lo sumo Plantilla:Math) que por el supuesto inductivo puede expresarse como un polinomio en funciones elementales simétricas. Combinando las representaciones para Plantilla:Math y Plantilla:Math se encuentra una representación polinómica para Plantilla:Math.

La singularidad de la representación se puede demostrar inductivamente de manera similar, porque es equivalente al hecho de que los Plantilla:Math polinomios Plantilla:Math son algebraicamente independientes sobre el anillo Plantilla:Math. El hecho de que la representación polinómica sea única implica que Plantilla:Math es isomorfo a Plantilla:Math.

Prueba alternativa

La siguiente prueba también es inductiva, pero no involucra otros polinomios que no sean simétricos en Plantilla:Math, y también conduce a un procedimiento bastante directo para escribir efectivamente un polinomio simétrico en función de polinomios simétricos elementales. Su póngase que el polinomio simétrico es homogéneo de grado Plantilla:Mvar; sus diferentes componentes homogéneos se pueden descomponer por separado. Ordénense lexicográficamente los monomios en las variables Plantilla:Mvar , donde las variables individuales están ordenadas de forma que Plantilla:Math, en otras palabras, el término dominante de un polinomio es uno con la potencia más alta de Plantilla:Math, y entre aquellos con la potencia más alta de Plantilla:Math, etc. Además, se deben parametrizar todos los productos de polinomios simétricos elementales que tienen un grado Plantilla:Math (que de hecho, son homogéneos) de la siguiente manera por particiones de Plantilla:Math. Ordénense los polinomios simétricos elementales individuales Plantilla:Math en el producto para que los que tienen los índices Plantilla:Mvar más grandes aparezcan primero, y luego se debe construir para cada uno de estos factores una columna de cajas Plantilla:Mvar y organizar las columnas de izquierda a derecha para formar un diagrama de Young contenjendo Plantilla:Mvar cajas en total. La forma de este diagrama es una partición de Plantilla:Mvar, y cada partición Plantilla:Mvar de Plantilla:Math surge exactamente para un producto de polinomios simétricos elementales, que se denota como Plantilla:Math ) (la Plantilla:Math está presente solamente porque tradicionalmente este producto está asociado a la partición de transposición de Plantilla:Mvar). El ingrediente esencial de la prueba es la siguiente propiedad simple, que utiliza la notación de múltiples índices para monomios en las variables Plantilla:Math:

Lema: El término principal de Plantilla:Math es Plantilla:Math

Prueba: El término principal del producto es el producto de los términos principales de cada factor (esto es cierto cuando se usa un orden monomial, como el orden lexicográfico utilizado aquí), y el término principal del factor Plantilla:Math es claramente Plantilla:Math. Para contar las ocurrencias de las variables individuales en el monomio resultante, se debe llenar la columna del diagrama de Young correspondiente al factor relacionado con los números Plantilla:Math de las variables. Entonces, todos los cuadros en la primera fila contienen 1, los de la segunda fila 2, y así sucesivamente, lo que significa que el término principal es Plantilla:Math.

Ahora se prueba por inducción en el monomio principal en orden lexicográfico, que cualquier polinomio simétrico homogéneo distinto de cero Plantilla:Mvar de grado Plantilla:Mvar puede escribirse como un polinomio mediante polinomios simétricos elementales. Como Plantilla:Mvar es simétrico, su monomio principal tiene exponentes débilmente decrecientes, por lo que es Plantilla:Math con Plantilla:Mvar una partición de Plantilla:Math. Sea el coeficiente de este término Plantilla:Mvar. Entonces Plantilla:Math es cero o un polinomio simétrico con un monomio principal estrictamente más pequeño. Escribiendo esta diferencia inductivamente como un polinomio en los polinomios simétricos elementales, y agregando de nuevo Plantilla:Math, se obtiene la expresión polinómica buscada para Plantilla:Math.

El hecho de que esta expresión es única, o equivalente a que todos los productos (monomios) Plantilla:Math de polinomios simétricos elementales son linealmente independientes, también se demuestra fácilmente. El lema muestra que todos estos productos tienen monomios principales diferentes, y esto es suficiente: si una combinación lineal no trivial de Plantilla:Math fuera cero, se observa la contribución en la combinación lineal con coeficiente distinto de cero y con (como polinomio en las variables Plantilla:Math) el monomio principal más grande; el término principal de esta contribución no puede ser cancelado por ninguna otra contribución de la combinación lineal, lo que produciría una contradicción.

Véase también

• Polinomio simétrico
• Polinomio simétrico homogéneo completo
• Polinomio de Schur
• Identidades de Newton
• Teorema de MacMahon Master
• Función simétrica
• Teoría de la representación

Referencias

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book