Propiedad de la relación binaria homogénea

En matemáticas, una relación binaria^[1] homogénea es una relación matemática $ℛ$ entre dos elementos que pertenecen al mismo conjunto. Una relación $ℛ$ de $A^{2}$ se puede representar mediante pares ordenados $(a, b)$ para los cuales se cumple una propiedad $𝒫 (a, b)$ , de forma que $(a, b) \in A^{2}$ , y se anota:

ℛ = {(a, b) \in A^{2} ∣ 𝒫 (a, b)}

Que se lee: la relación binaria $ℛ$ es el conjunto de pares ordenados $(a, b)$ pertenecientes al producto cartesiano $A^{2}$ , y para los cuales se cumple la propiedad $𝒫$ que los relaciona.

Por oposición a la relación binaria heterogenia, o correspondencia matemática donde los dos elementos de la relación binaria son de conjuntos diferentes.

Esta relación puede cumplir o no una determinada propiedad de la relación binaria homogénea según estas propiedades se determina una determinada estructura en el conjunto respecto a la relación binaria definida.

Reflexividad

En una relación binaria homogénea la reflexividad determina la posible relación de un elemento con sigo mismo, en todos los casos, nunca o a veces. Plantilla:Clear

Propiedad reflexiva

Plantilla:Ap Una relación es reflexiva si: Plantilla:Definición

Propiedad no reflexiva

Una relación es no reflexiva si: Plantilla:Definición

Propiedad irreflexiva

Plantilla:Ap Una relación es irreflexiva si: Plantilla:Definición

Propiedad no irreflexiva

Una relación es no irreflexiva si: Plantilla:Definición

Propiedad arreflexiva

Una relación es arreflexiva si: Plantilla:Definición

Simetría

En una relación binaria homogénea la simetría determina la posible de que si un elemento a está relacionado con otro b el b este relacionado con el a, en todos los casos, nunca o a veces. Plantilla:Clear

Propiedad simétrica

Plantilla:Ap Una relación es simétrica si: Plantilla:Definición

Propiedad no simétrica

Una relación es no simétrica si: Plantilla:Definición

Propiedad antisimétrica

Plantilla:Ap Una relación es antisimétrica si: Plantilla:Definición

Propiedad no antisimétrica

Una relación es no antisimétrica si: Plantilla:Definición

Propiedad asimétrica

Una relación es asimétrica si: Plantilla:Definición

Transitividad

En una relación binaria homogénea, la transitividad, determina la posible relación de un elemento con un segundo, la de este segundo con un tercero y la del primero con el tercero, en todos los casos, nunca o a veces. Plantilla:Clear