Propiedad del límite superior mínimo

Cada subconjunto no vacío $M$ de los números reales $ℝ$ que está acotado por arriba tiene un límite superior mínimo

En matemáticas, la propiedad del límite superior mínimo (a veces llamada integridad o propiedad del valor supremo) es una característica fundamental de los números reales. De manera más general, un conjunto parcialmente ordenado Plantilla:Math tiene la propiedad del límite superior mínimo si cada subconjunto no vacío de Plantilla:Math con un elemento mayorante y minorante tiene un límite superior mínimo (supremo) en Plantilla:Math. No todos los conjuntos (parcialmente) ordenados tienen la propiedad del límite superior mínimo. Por ejemplo, el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales con su orden natural no tiene la propiedad del límite superior mínimo.

La propiedad del límite superior mínimo es una forma del axioma de completitud para los números reales y, a veces, se la denomina integridad de Dedekind. Se puede utilizar para probar muchos de los resultados fundamentales del análisis real, como el teorema del valor intermedio, el teorema de Bolzano-Weierstrass, el teorema de Weierstrass y el teorema de Heine-Borel. Generalmente se toma como un axioma en las construcciones de los números reales sintéticas y también está íntimamente relacionada con la construcción de los números reales utilizando los cortes de Dedekind.

En teoría del orden, esta propiedad se puede generalizar a una noción de completitud para cualquier conjunto parcialmente ordenado. Un orden total que es denso y tiene la propiedad de límite superior mínimo se denomina continuo lineal.

Enunciado de la propiedad

Enunciado para los números reales

Sea Plantilla:Math un conjunto no vacío de números reales.

• Un número real Plantilla:Math se llama límite superior para Plantilla:Math si Plantilla:Math para todos los Plantilla:Math.
• Un número real Plantilla:Math es el límite superior mínimo (o supremo) para Plantilla:Math si Plantilla:Math es un límite superior para Plantilla:Math y Plantilla:Math para cada límite superior Plantilla:Math de Plantilla:Math.

La propiedad del límite superior mínimo establece que cualquier conjunto no vacío de números reales que tenga un límite superior debe tener un límite superior mínimo en los números reales.

Generalización a conjuntos ordenados

Rojo: el conjunto $\{x\in 𝐐:x^2\le 2\}$. Azul: el conjunto de sus límites superiores en $𝐐$

De manera más general, se pueden definir el límite superior y el límite superior mínimo para cualquier subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado Plantilla:Math, reemplazando número real por elemento de Plantilla:Math. En este caso, se dice que Plantilla:Math tiene la propiedad del límite superior mínimo si cada subconjunto no vacío de Plantilla:Math con un límite superior tiene un límite superior mínimo en Plantilla:Math.

Por ejemplo, el conjunto Plantilla:Math de los números racionales no tiene la propiedad del límite superior mínimo en el orden habitual. Por ejemplo, el conjunto

$\{x\in 𝐐:x^2\le 2\}=𝐐\cap (-\sqrt{2},\sqrt{2})$

tiene un límite superior en Plantilla:Math, pero no tiene un límite superior mínimo en Plantilla:Math (ya que la raíz cuadrada de dos es un número irracional). El axiomas de los números reales que utiliza los cortes de Dedekind se aprovecha de este defecto al definir los números irracionales como los límites superiores mínimos de ciertos subconjuntos de los números racionales.

Demostración

Enfoque lógico

La propiedad del límite superior mínimo es equivalente a otras formas del axioma del supremo, como la convergencia de la sucesión de Cauchy o principio de los intervalos encajados. El estado lógico de la propiedad depende de los axiomas de los números reales utilizados: en la aproximación sintética, la propiedad generalmente se toma como un axioma para los números reales (véase axioma del límite superior mínimo); en un enfoque constructivo, la propiedad debe probarse como teorema, ya sea directamente desde la construcción o como consecuencia de alguna otra forma de integridad.

Demostración utilizando secuencias de Cauchy

Es posible demostrar la propiedad del límite superior mínimo suponiendo que toda secuencia de números reales de Cauchy converge. Sea Plantilla:Math un conjunto no vacío de números reales. Si Plantilla:Math tiene exactamente un elemento, entonces su único elemento es un límite superior mínimo. Considérese entonces Plantilla:Math con más de un elemento y supóngase que Plantilla:Math tiene un límite superior Plantilla:Math. Dado que Plantilla:Math no está vacío y tiene más de un elemento, existe un número real Plantilla:Math que no es un límite superior para Plantilla:Math. Ahora, se definen las secuencias Plantilla:Math y Plantilla:Math de forma recursiva de la siguiente manera:

1. Comprobar si Plantilla:Math es un límite superior para Plantilla:Math.
2. Si es así, entonces Plantilla:Math y Plantilla:Math.
3. En caso contrario, debe haber un elemento Plantilla:Math en Plantilla:Math para el que Plantilla:Math. Dejemos Plantilla:Math y sea Plantilla:Math.

Entonces Plantilla:Math y Plantilla:Math como Plantilla:Math. De ello se deduce que ambas secuencias son de Cauchy y tienen el mismo límite Plantilla:Math, que debe ser el límite superior mínimo para Plantilla:Math.

Aplicaciones

La propiedad del límite superior mínimo de Plantilla:Math se puede utilizar para demostrar muchos de los principales teoremas fundamentales del análisis real.

Teorema del valor intermedio

Sea Plantilla:Math una función continua, y supóngase que Plantilla:Math y Plantilla:Math. En este caso, el teorema del valor intermedio establece que Plantilla:Math debe tener un raíz en el intervalo Plantilla:Math. Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto

Plantilla:Math.

Es decir, Plantilla:Math es el segmento inicial de Plantilla:Math que toma valores negativos bajo Plantilla:Math. Entonces Plantilla:Math es un límite superior para Plantilla:Math, y el límite superior mínimo debe ser una raíz de Plantilla:Math.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

El teorema de Bolzano-Weierstrass para Plantilla:Math establece que cada sucesión Plantilla:Math de números reales en un intervalo cerrado Plantilla:Math debe tener una subsucesión convergente. Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto

Plantilla:Math

Claramente, $a\in S$ y Plantilla:Math no está vacío. Además, Plantilla:Math es un límite superior para Plantilla:Math, por lo que Plantilla:Math tiene un límite superior mínimo Plantilla:Math. Entonces Plantilla:Math debe ser un punto de acumulación de la secuencia Plantilla:Math, y se deduce que Plantilla:Math tiene una subsecuencia que converge a Plantilla:Math.

Teorema del valor extremo

Sea Plantilla:Math un función continua y sea Plantilla:Math, donde Plantilla:Math si Plantilla:Math no tiene límite superior. El teorema de Weierstrass establece que Plantilla:Math es finito y Plantilla:Math para algún Plantilla:Math. Esto se puede demostrar considerando el conjunto

Plantilla:Math.

Por definición de Plantilla:Math, Plantilla:Math, y por su propia definición, Plantilla:Math está delimitado por Plantilla:Math. Si Plantilla:Math es el límite superior mínimo de Plantilla:Math, entonces se deduce de la continuidad que Plantilla:Math.

Teorema de Heine-Borel

Sea Plantilla:Math un intervalo cerrado en Plantilla:Math y sea Plantilla:Math una colección de conjuntos abiertos que recubren Plantilla:Math. Entonces, el teorema de Heine-Borel establece que alguna subcolección finita de Plantilla:Math también recubre Plantilla:Math. Esta afirmación se puede probar considerando el conjunto

Plantilla:Math.

El conjunto Plantilla:Math obviamente contiene a Plantilla:Math y está limitado por Plantilla:Math por construcción. Según la propiedad de límite superior mínimo, Plantilla:Math tiene un límite superior mínimo Plantilla:Math. Por lo tanto, Plantilla:Math es en sí mismo un elemento de algún conjunto abierto Plantilla:Math, y para Plantilla:Math se deduce que Plantilla:Math puede estar recubierto por un número finito de Plantilla:Math para algún Plantilla:Math suficientemente pequeño. Esto demuestra que Plantilla:Math y Plantilla:Math no son un límite superior para Plantilla:Math. En consecuencia, Plantilla:Math.

Historia

La importancia de la propiedad del límite superior mínimo fue reconocida por primera vez por Bernard Bolzano en su artículo de 1817 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege.

Véase también

• Anexo:Temas de análisis real

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
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