Referencia proyectiva

En matemáticas y, en concreto, en geometría proyectiva, una referencia proyectiva es un conjunto de $n + 2$ puntos de un espacio proyectivo $n$ -dimensional de forma que ningún subconjunto de $n + 1$ estén alineados. Las referencias proyectivas se usan en geometría proyectiva para caracterizar las proyectividades y para definir las coordenadas proyectivas como se describe más adelante.

Definición

Una $(n + 1)$ -tupla $(p_{0}, . . ., p_{n})$ de puntos de un espacio proyectivo $ℙ$ sobre un $𝕂$ -espacio vectorial $E$ es proyectivamente independiente si existen vectores linealmente independientes $v_{0}, \dots, v_{n} \in E$ tales que $p_{i} = [v_{i}]$ para cada $i = 0, \dots, n$ .

Una $(n + 2)$ -tupla $(p_{0}, . . ., p_{n + 1})$ de puntos de un espacio proyectivo es una referencia proyectiva si cada $n + 1$ puntos son proyectivamente independientes. En este caso, se dice que $\dim ℙ = n$ .

Casos particulares

$n = 1$ : tres puntos de una recta proyectiva forman una referencia proyectiva si son distintos dos a dos.
$n = 2$ : cuatro puntos de un plano proyectivo forman una referencia proyectiva si cada tres no están alineados. Los cuatro puntos forman, por tanto, un cuadrángulo completo.
$n = 3$ : cinco puntos de un espacio proyectivo tridimensional forman una referencia proyectiva si cada cuatro no están en un mismo plano.

Coordenadas homogéneas

Fijada una referencia proyectiva de un espacio proyectivo $ℙ$ quedan definidas a su vez unas coordenadas homogéneas del espacio, esto es, si el espacio tiene dimensión $n$ , una manera de identificar sus puntos por $(n + 1)$ -tuplas de escalares salvo proporcionalidad (multiplicación por un escalar no nulo). Es decir, nos permiten identificar cualquier espacio proyectivo con un espacio proyectivo estándar $ℙ^{n} (𝕂) = ℙ (𝕂^{n + 1})$ .

En esta sección construimos estas coordenadas a partir de una referencia proyectiva $(p_{0}, \dots, p_{n}, A)$ . Denotamos distinto el último punto porque tendrá un papel diferente a los demás. Llamaremos vértices de la referencia a los puntos $p_{i}, i = 0, \dots, n$ y punto unidad al punto $A$ .

Para definir las coordenadas de los puntos del espacio nos hará falta definir una base del espacio vectorial $E$ sobre el cual está definido el espacio proyectivo a partir de la referencia proyectiva. Para ello, diremos que un conjunto ordenado de vectores $(e_{0}, \dots, e_{n})$ es una base adaptada a la referencia si se cumple que

$p_{i} = [e_{i}], i = 0, \dots, n$ y $A = [e_{0} + \dots + e_{n}]$ . Un primer resultado es que toda referencia proyectiva admite una base adaptada. Plantilla:Demostración La existencia de bases adaptadas nos permite definir las coordenadas homogéneas de cualquier punto de $ℙ$ en una cierta referencia. Dada una referencia proyectiva $Δ$ , un punto $q \in ℙ$ tiene coordenadas homogéneas $[x_{0} : \dots : x_{n}] \in ℙ (𝕂^{n + 1})$ definidas salvo producto por escalar no nulo (esto hará falta para que estén bien definidas) si y sólo si $q = [x_{0} e_{0} + \dots + x_{n} e_{n}]$ , con $(e_{0}, \dots, e_{n})$ una base adaptada a $Δ$ . Plantilla:Demostración Nótese que la importancia de añadir el punto unidad está en hacer que las coordenadas estén bien definidas. Si no hubiera punto unidad y definiéramos una referencia proyectiva como $n + 1$ puntos proyectivamente independientes y una base adaptada a $(p_{0}, \dots, p_{n})$ aquella $(e_{0}, \dots, e_{n})$ tal que $p_{i} = [e_{i}]$ , las coordenadas homogéneas no estarían bien definidas. En efecto, si $(e_{0}, e_{1}, \dots, e_{n})$ fuera base adaptada, también lo sería, por ejemplo, $(λ e_{0}, e_{1}, \dots, e_{n})$ , con $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ . Si en la primera base el punto tuviera coordenadas $[x_{0} : x_{1} : \dots : x_{n}]$ , en la segunda tendría $[x_{0} λ^{- 1} : x_{1} : \dots : x_{n}]$ que son, en general, coordenadas distintas aunque ambas bases fueran adaptadas de partida. Con el punto unidad, en cambio, a cada punto le corresponde exactamente una tupla de coordenadas homogéneas. Intuitivamente, añadir el punto unidad hace que los vectores de la base no se puedan "estirar" de uno en uno sino todos a la vez, de forma que las coordenadas no pueden variar arbitrariamente sino sólo por un factor $λ$ común a todas.

La mayor importancia de las coordenadas homogéneas es que permiten trabajar con cualquier espacio proyectivo $ℙ$ como si fuera, de hecho, el proyectivizado de $𝕂^{n}$ , $ℙ (𝕂^{n})$ , para cierto $n$ (uno más que la dimensión de $ℙ$ ) pues existe una biyección entre ambos (consistente en tomar coordenadas homogéneas en una referencia proyectiva). Es decir, cualquier espacio proyectivo se comporta esencialmente igual que $ℙ (𝕂^{n})$ .