Kernel (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos, el kernel o núcleo de una función f puede tomarse como:

• La relación de equivalencia en el dominio de la función que expresa aproximadamente la idea de "equivalente en la medida en que la función f puede decir", o
• La partición correspondiente del dominio.

Definición

Para establecer una definición formal, se parte de que X e Y sean conjuntos y que f sea una función de X sobre Y. Los elementos x₁ y x₂ de X son equivalentes si f(x₁) y f(x₂) son iguales, es decir, son el mismo elemento de Y. El núcleo de f es la relación de equivalencia así definida.

Cocientes

Al igual que cualquier relación de equivalencia, el núcleo se puede modificar para formar un conjunto de cocientes, y el conjunto de cocientes es la partición:

$\{\{w\in X\mid f(x)=f(w)\}\mid x\in X\}.$

Este conjunto de cocientes Plantilla:Math / = Plantilla:Math se denomina coimagen de la función Plantilla:Math, y se denota como Plantilla:Math (o una variación). La imagen es naturalmente isomorfa (en el sentido teórico de una biyección) de la imagen, Plantilla:Math, específicamente, la clase de equivalencia de Plantilla:Math en Plantilla:Math (que es un elemento de Plantilla:Math) corresponde a Plantilla:Math en Plantilla:Math (que es un elemento de Plantilla:Math).

Como un subconjunto del cuadrado

Al igual que cualquier relación binaria, el núcleo de una función puede considerarse como un subconjunto del producto cartesiano X×X. De esta manera, el núcleo se puede denotar Plantilla:Math (o una variación) y se puede definir simbólicamente como

$\ker f:=\{(x,x^{\prime })\mid f(x)=f(x^{\prime })\}$.

El estudio de las propiedades de este subconjunto puede arrojar luz sobre Plantilla:Math.

En estructuras algebraicas

Si X e Y son estructuras algebraicas de algún tipo fijo (como grupos, anillos o espacios vectoriales ), y si la función f de X a Y es un homomorfismo, entonces ker f es una relación de congruencia (es decir, una relación de equivalencia que es compatible con la estructura algebraica), y la coimagen de f es un cociente de X. La biyección entre la coimagen y la imagen de f es un isomorfismo en el sentido algebraico. Esta es la forma más general del primer teorema del isomorfismo. (véase también kernel (álgebra)).

En espacios topológicos

Si X e Y son espacios topológicos y f es una función continua entre ellos, entonces las propiedades topológicas de ker f pueden arrojar luz sobre los espacios X e Y. Por ejemplo, si Y es un espacio de Hausdorff, entonces ker f debe ser un conjunto cerrado. Por el contrario, si X es un espacio de Hausdorff y ker f es un conjunto cerrado, entonces la coimagen de f, si se le da la topología del espacio cociente, también debe ser un espacio de Hausdorff.

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro