Espacio barrilado numerable
En análisis funcional, se dice que un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio barrilado numerable si cada unión numerable débilmente acotada de subconjuntos equicontinuos de su espacio dual es nuevamente equicontinua. Esta propiedad es una generalización del concepto de espacio barrilado.
Definición
Se dice que un EVT X con espacio dual continuo es barrilado numerable si es un subconjunto acotado *débil de que es igual a una unión numerable de subconjuntos equicontinuos de , entonces es en sí mismo equicontinuo.Plantilla:Sfn Un EVT localmente convexo de Hausdorff es barrilado numerable si y solo si cada barril en X es igual a la intersección numerable de entornos de 0 cerrados, equilibrados y convexos, es en sí misma un entorno de 0.Plantilla:Sfn
Espacio barrilado σ
Se dice que un EVT con espacio dual continuo tiene 'barrilado σ si cada secuencia acotada (numerable) *débil en es equicontinua.Plantilla:Sfn
Espacio barrilado secuencial
Se dice que un EVT con espacio dual continuo es secuencialmente barrilado si cada sucesión convergente *débil en es equicontinua.Plantilla:Sfn
Propiedades
Cada espacio barrilado numerable es un espacio cuasi barrilado numerable, un espacio barrilado σ, un espacio cuasi barrilado σ y un espacio secuencialmente barrilado.Plantilla:Sfn Un espacio H es un EVT cuyo espacio dual fuerte es barrilado numerable.Plantilla:Sfn
Cada espacio barrilado numerable es un espacio barrilado σ y cada espacio barrilado σ es barrilado secuencial.Plantilla:Sfn Cada espacio barrilado σ es un espacio cuasi barrilado σ.Plantilla:Sfn
Un espacio cuasi barrilado localmente convexo que también es un espacio barrilado σ es un espacio barrilado.Plantilla:Sfn
Ejemplos y condiciones suficientes
Cada espacio barrilado es numerable barrilado.Plantilla:Sfn Sin embargo, existen espacios barrilados semirreflexivos que no son barrilados numerables.Plantilla:Sfn El dual fuerte de un espacio distinguido y de un espacio localmente convexo metrizable es barrilado numerable.Plantilla:Sfn
Contraejemplos
Existen espacios barrilados σ que no son barrilados numerables.Plantilla:Sfn Existen espacios DF normados que no son barrilados numerables.Plantilla:Sfn Existe un espacio cuasi barrilado que no es un espacio barrilado σ.Plantilla:Sfn Existen espacios barrilados σ que no son espacios de Mackey.Plantilla:Sfn Existen espacios barrilados σ que no son espacios cuasi barrilados numerables y, por lo tanto, no son barrilados numerables.Plantilla:Sfn Existen espacios barrilados secuencialmente que no son cuasi barrilados σ.Plantilla:Sfn Existen EVTs cuasi completos localmente convexos que no son barrilados secuencialmente.Plantilla:Sfn