Cono (topología)

Cono de un espacio topológico. El espacio original está pintado de rojo.

En topología y, en particular, en topología algebraica, el cono $CX$ de un espacio topológico $X$ es el espacio cociente siguiente:

$CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})$

Intuitivamente, se forma un cilindro con base $X$ y se identifican todos los puntos de la cara superior en un solo punto, formando un cono.

Ejemplos

• El cono construido sobre un punto $\{p\}$ de la recta real $ℝ$ es el segmento $\{p\}\times [0,1]$ de ${ℝ}^2$.
• El cono construido sobre dos puntos $\{0,1\}$ es un espacio "en forma de V" con extremos en 0 y 1.
• El cono construido sobre un intervalo real $I\subseteq ℝ$ es un triángulo plano (con su interior).
• El cono construido sobre un polígono $P$ es una pirámide de base $P$.
• El cono construido sobre un disco es el cono sólido de la geometría clásica. De aquí recibe el nombre el concepto topológico.
• El cono construido sobre una circunferencia es la superficie del cono anterior: $\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x^2+y^2=(1-z{)}^2,0\le z\le 1\}$. Este último es homeomorfo, proyectándolo sobre el plano XY, al disco ${𝔻}^2$.
• Generalizando el ejemplo anterior, se tiene que $C{𝕊}^n\simeq {𝔻}^{n+1}$, es decir, el cono de una n-esfera es homeomorfo a una (n+1)-bola.
• El cono construido sobre un n-símplex es un (n+1)-símplex.

Propiedades

El cono de un espacio es contráctil (en particular, conexo por caminos y simplemente conexo) pues la identidad es homótopa a constante (igual al vértice del cono) por la homotopía $H:CX\times [0,1]\to CX$ dada por $H(([(x,s)],t))=[(x,t+(1-t)s)]$, donde $[(x,s)]$ denota la clase de equivalencia de $(x,s)\in X\times [0,1]$ por la relación de equivalencia por la que se hace el cociente $CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})$.

El cono se usa en topología algebraica precisamente porque transforma cualquier espacio topológico en un subespacio de un espacio contráctil: $X\simeq X\times \{1\}\subseteq CX$.

Referencias

• Plantilla:Ref libro
• Plantilla:Cita libro