Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad que se encuentra en diversas áreas de la matemática, como el álgebra lineal, el análisis matemático y la teoría de probabilidades.

La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888).

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Sea $V$ un espacio vectorial complejo con producto escalar. Los vectores $u,v\in V$, cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

$|(u,v){|}^2\le (u,u)(v,v)$

Donde $(\cdot ,\cdot )$ es el producto escalar.

Demostración

Tomemos la combinación de vectores $\lambda u-\mu v$, con $\lambda ,\mu \in ℂ$. El producto de este vector por sí mismo es siempre mayor o igual que cero, por las propiedades del producto escalar.

$(\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v)\ge 0$

Aplicando la linealidad por la derecha del producto escalar, se puede desarrollar la expresión anterior.

$|\lambda {|}^2(u,u)-\overline{\lambda }\mu (u,v)-\overline{\mu }\lambda (v,u)+|\mu {|}^2(v,v)\ge 0$

Esta desigualdad debe cumplirse para cualquier valor de los escalares $\lambda$ y $\mu$. En particular, se cumple para $\lambda =(u,v)$,$\mu =(u,u)$. Sustituyendo estos valores en la desigualdad:

$|(u,v){|}^2(u,u)-2|(u,v){|}^2(u,u)+(u,u{)}^2(v,v)\ge 0$

Y finalmente:

$(u,u)(v,v)\ge |(u,v){|}^2$

Q.E.D

La desigualdad se satura (se vuelve igualdad) si y solo si los vectores son linealmente dependientes entre sí.

Caso Particular: Desigualdad en un espacio vectorial $V$ sobre ${ℝ}^n$

Sean $a_1,...,a_n$ y $b_1,...,b_n$ números reales cualesquiera.

Demostración

Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa. Por lo tanto tenemos lo siguiente:

$\sum _{k=1}^n(a_{k}x+b_k{)}^2=\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)x^2+2\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)x+\sum _{k=1}^n{b}_k^2\ge 0$

para todo número real $x$; y se cumple la igualdad si y sólo si cada término de la suma ($a_{k}x+b_k$, para todo k) es igual a cero.

Esta desigualdad puede escribirse en la forma:

$A{x}^2+2Bx+C\ge 0$

donde:

$A=\sum _{k=1}^n{a}_k^2,B=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k,C=\sum _{k=1}^n{b}_k^2$

La ecuación anterior determina un polinomio cuadrático que no podrá tener dos raíces reales porque siempre es mayor o igual que 0. Por lo tanto su discriminante debe ser menor o igual que cero:

$\mathrm{\Delta }=(2B{)}^2-4AC=4(B^2-AC)\le 0,$

Por lo tanto:

$B^2\le AC$, y esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma: $(a\cdot b{)}^2\le {\Vert a\Vert }^2{\Vert b\Vert }^2$

donde

$a=(a_1,...,a_n),b=(b_1,...,b_n)$ son dos vectores n-dimensionales, $a\cdot b=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$ es su producto escalar y $\Vert a\Vert =\sqrt[]{(a\cdot a)}$ es la norma de a.

Curiosidades

• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.

• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.
• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.
• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.
• La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.

Véase también

• Desigualdad de Minkowski
• Desigualdad de Hölder

Bibliografía

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Enlaces externos

• Plantilla:Springer