Diferencia simétrica
En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación cuyo resultado es otro conjunto que contiene a aquellos elementos que pertenecen a cada uno de los conjuntos iniciales, pero no a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares positivos Plantilla:Math y el conjunto de los cuadrados perfectos Plantilla:Math es un conjunto Plantilla:Math que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:
Definición
Dados dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de Plantilla:Math y Plantilla:Math que no son comunes a ambos: Plantilla:Definición
Ejemplo.
- Sean Plantilla:Math y Plantilla:Math. La diferencia simétrica es Plantilla:Math.
- Sean los conjuntos de polígonos Plantilla:Math y Plantilla:Math. La diferencia simétrica contiene los polígonos regulares y pentágonos que no sean ambas cosas a la vez, o sea: Plantilla:Math.
La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones de unión, intersección y diferencia: Plantilla:Definición
Generalizaciones
La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa por lo que al tomar la diferencia simétrica de más de dos conjuntos, el orden en el que se realizan las operaciones es irrelevante (ver más abajo). Así es que se puede definir la diferencia simétrica de una familia de conjuntos finita: Plantilla:Definición Puede comprobarse que una definición alternativa para esta diferencia de varios conjuntos es incluir sólo los elementos que aparecen un número impar de veces: Plantilla:Teorema
Propiedades
Plantilla:AP De la definición de diferencia simétrica puede deducirse directamente: Plantilla:Teorema La diferencia simétrica tiene propiedades semejantes a las operaciones con números: Plantilla:Teorema Además, con respecto a la intersección existe una ley distributiva: Plantilla:Teorema Las propiedades de la intersección y la diferencia simétrica son similares a las del producto y la suma en Plantilla:Math. Esto implica que el conjunto potencia de un conjunto dado Plantilla:Math tiene estructura de anillo considerando estas dos operaciones. Este anillo se corresponde (es isomorfo) al anillo de las funciones de Plantilla:Math con valores en Plantilla:Math, con la suma y producto punto a punto. La correspondencia asigna a cada subconjunto de Plantilla:Math su función característica.