Diferencia de conjuntos

La diferencia entre los conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math (y viceversa) es otro conjunto con todos los elementos del «minuendo», salvo los contenidos en el «sustraendo».

En teoría de conjuntos, la diferencia de dos conjuntos es una operación que da como resultado otro conjunto con los elementos del primer conjunto sin los elementos del segundo conjunto. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$, y el conjunto de los números pares sin incluir el cero, $P$, es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares, $I$:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\dots \}$

$P=\{2,4,6,8,10,12\dots \}$

$I=\{1,3,5,7,9,11,13,15,17\dots \}$

Como no hay ningún elemento del conjunto Plantilla:Math que no sea un número natural, la diferencia Plantilla:Math menos Plantilla:Math no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math se denota por Plantilla:Math o Plantilla:Math, por lo que: Plantilla:Math, y también Plantilla:Math.

Definición

Diferencias entre conjuntos

Dados dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math, su diferencia es el conjunto que contiene algunos elementos de Plantilla:Math que no están en Plantilla:Math: Plantilla:Definición La diferencia entre Plantilla:Math y Plantilla:Math también se denomina complemento relativo de Plantilla:Math en Plantilla:Math, y se denota Plantilla:Math, cuando el segundo es un subconjunto del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia y complemento (ver más abajo). La norma ISO da preferencia a la notación cpero no se puedebarra invertida. Plantilla:Cr

Ejemplo.

• Sean Plantilla:Math y Plantilla:Math. Sus diferencias son Plantilla:Math y Plantilla:Math
• Sean los conjuntos de números naturales Plantilla:Math y Plantilla:Math. La diferencia Plantilla:Math es entonces Plantilla:Math. Por otro lado, Plantilla:Math.
• En la introducción se mostró que la diferencia Plantilla:Math es el conjunto vacío. Además, Plantilla:Math es igual a Plantilla:Math: ningún número par es a la vez un número impar.

Propiedades

Plantilla:AP De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente.

Plantilla:Teorema Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad: Plantilla:Teorema

La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que la diferencia es la parte que no comparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad: Plantilla:Teorema Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre Plantilla:Math y Plantilla:Math son una (posible) partición de Plantilla:Math.

La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto: Plantilla:Teorema Es por esto que la diferencia de dos conjuntos, Plantilla:Math - Plantilla:Math, se denomina también el complemento relativo de Plantilla:Math respecto de Plantilla:Math: Plantilla:Math es el complemento absoluto de Plantilla:Math, considerando a Plantilla:Math como el conjunto universal . Las leyes de De Morgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia de conjuntos, si se tiene en cuenta que Plantilla:Teorema

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Diferencia simétrica
• Conjunto
• Teoría de conjuntos

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro