Espacio LF

En matemáticas, un espacio LF, también escrito como (LF)-espacio, es un espacio vectorial topológico (EVT) X que es un límite directo localmente convexo de un sistema inductivo numerable $(X_n,i_{nm})$ de espacios de Fréchet.Plantilla:Sfn Esto significa que X es un límite directo de un sistema directo $(X_n,i_{nm})$ en la categoría de los espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada $X_n$ es un espacio de Fréchet. El acrónimo LF significa Límite de espacios de Fréchet.

Si cada una de las aplicaciones de enlace $i_{nm}$ es un embebido de EVTs, entonces el espacio LF se denomina espacio LF estricto. Esto significa que la topología subespacial inducida en Plantilla:Math por Plantilla:Math es idéntica a la topología original en Plantilla:Math.Plantilla:Sfn Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término "espacio LF" como "espacio LF estricto", por lo que al leer determinados textos matemáticos, se recomienda comprobar siempre cómo está definido el LF-espacio.

Definición

Topología de límite inductivo/final/directo

En todo momento se supone que:

• $𝒞$ es una categoría de espacios topológicos o alguna subcategoría de una categoría de espacios vectoriales topológicos (EVTs);
  • Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces se supone que todos los morfismos son homomorfismos para esa estructura algebraica.
• Plantilla:Mvar es un conjunto dirigido no vacío;
• Plantilla:Math es una familia de objetos en $𝒞$, donde Plantilla:Math es un espacio topológico para cada índice Plantilla:Mvar;
  • Para evitar posibles confusiones, Plantilla:Math no debería denominarse "topología inicial" de Plantilla:Math, ya que el término "topología inicial" ya tiene una definición bien conocida. La topología Plantilla:Math se denomina topología original en Plantilla:Math o topología dada de Plantilla:Math.
• Plantilla:Mvar es un conjunto (y si los objetos en $𝒞$ también tienen estructuras algebraicas, entonces se supone automáticamente que Plantilla:Mvar tiene cualquier estructura algebraica necesaria);
• Plantilla:Math es una familia de aplicaciones donde para cada índice Plantilla:Mvar, la aplicación tiene el prototipo Plantilla:Math. Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces también se supone que estas aplicaciones son homomorfismos para esa estructura algebraica.

Si existe, entonces la topología final sobre Plantilla:Mvar en $𝒞$, también llamado colímite o topología inductiva en $𝒞$, y denotada por Plantilla:Math o Plantilla:Math, es la topología más fina en Plantilla:Mvar tal que

1. Plantilla:Math es un objeto en $𝒞$ y
2. para cada índice Plantilla:Mvar, la aplicación Plantilla:Math es un morfismo continuo en $𝒞$.

En la categoría de espacios topológicos, la topología final siempre existe y, además, un subconjunto Plantilla:Math está abierto (o cerrado) en Plantilla:Math si y solo si Plantilla:Math está abierto (o cerrado) en Plantilla:Math para cada índice Plantilla:Mvar.

Sin embargo, la topología final no puede existir en la categoría de los espacios topológicos de Hausdorff debido al requisito de que Plantilla:Math pertenezca a la categoría original (es decir, pertenezca a la categoría de espacios topológicos de Hausdorff).Plantilla:Sfn

Sistemas directos

Supóngase que Plantilla:Math es un conjunto dirigido, y que para todos los índices Plantilla:Math hay morfismos (continuos) en $𝒞$

Plantilla:Math

de modo que si Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math es la aplicación de identidad en Plantilla:Math y si Plantilla:Math entonces se cumple la siguiente condición de compatibilidad:

Plantilla:Math,

donde esto significa que la composición

$X_i\stackrel{f_i^j}{\to }{X}_j\stackrel{f_j^k}{\to }{X}_k\text{ es igual a }{X}_i\stackrel{f_i^k}{\to }{X}_k.$

Si se cumplen las condiciones anteriores, entonces el triplete formado por las colecciones de estos objetos, los morfismos y el conjunto de indexación

$(X_{\bullet },\{f_i^j:i,j\in I\text{ y }i\le j\},I)$

se conoce como sistema directo en la categoría $𝒞$ que es dirigido (o indexado) por Plantilla:Math. Dado que el conjunto de indexación Plantilla:Mvar es un conjunto directo, se dice que el sistema directo está dirigido.Plantilla:Sfn Las aplicaciones Plantilla:Math se denominan aplicaciones de enlace, de conexión o de enlace del sistema.

Si se sobreentiende el conjunto de indexación Plantilla:Mvar, entonces Plantilla:Mvar a menudo se omite de la tupla anterior (es decir, no se escribe). Lo mismo ocurre con los aplicaciones de vinculación si no se incluyen. En consecuencia, a menudo se ve escrito "Plantilla:Math es un sistema directo", donde "Plantilla:Math" en realidad representa un triplete con las aplicaciones de enlace y el conjunto de indexación definidos en otra parte (por ejemplo, aplicaciones de enlace canónicas, como inclusiones naturales) o bien los aplicaciones de enlace simplemente se supone que existen pero no es necesario asignarles símbolos (por ejemplo, los aplicaciones de enlace no son necesarios para enunciar un teorema).

Límite directo de un sistema directo

Para la construcción de un límite directo de un sistema inductivo general, consúltese el artículo "límite directo".

Límites directos de los sistemas inyectivos

Si cada una de las aplicaciones de enlace $f_i^j$ es inyectiva, entonces el sistema se llama inyectivo.Plantilla:Sfn

Supuestos: En el caso en que el sistema directo es inyectivo, a menudo se supone sin pérdida de generalidad que para todos los índices Plantilla:Math, cada Plantilla:Math es un subespacio vectorial de Plantilla:Math (en particular, Plantilla:Math se identifica con el rango de $f_i^j$) y que el mapa de enlace $f_i^j$ es la inclusión natural

Plantilla:Math }}

(es decir, definida por Plantilla:Math) de modo que la topología del subespacio en Plantilla:Math inducida por Plantilla:Math sea weaker (i.e. coarser) que la topología original (es decir, dada) en Plantilla:Math.

En este caso, tómese también

Plantilla:Math.

Las aplicaciones límite son entonces las inclusiones naturales Plantilla:Math. La topología de límite directo en Plantilla:Mvar es la topología final inducida por estas aplicaciones de inclusión.

Si los Plantilla:Math tienen una estructura algebraica, póngase por caso suma, por ejemplo, entonces para cualquier Plantilla:Math, se elige cualquier índice Plantilla:Math tal que Plantilla:Math y luego se define su suma usando el operador de suma de Plantilla:Math. Esto es,

Plantilla:Math,

donde Plantilla:Math es el operador de suma de Plantilla:Math. Esta suma es independiente del índice Plantilla:Mvar que se elija.

En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en el límite directo Plantilla:Mvar de un límite inductivo dirigido inyectivo de espacios localmente convexos se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo Plantilla:Math de Plantilla:Mvar ) es un entorno de Plantilla:Math si y solo si Plantilla:Math es un entorno absolutamente convexo de Plantilla:Math en Plantilla:Math para cada índice Plantilla:Mvar.Plantilla:Sfn

Límites directos en categorías de espacios topológicos

Los límites directos de los sistemas directos dirigidos siempre existen en las categorías de conjuntos, espacios topológicos, grupos y EVTs localmente convexos. En la categoría de espacios topológicos, si cada aplicación de enlace Plantilla:Math es inyectiva (respectivamente, sobreyectiva, biyectiva, homeomorfismo, embebido, o aplicación cociente), entonces también lo es cada Plantilla:Math.Plantilla:Sfn

Problema con límites directos

Los límites directos en las categorías de espacios topológicos, espacios vectoriales topológicos (EVTs) y EVTs localmente convexos de Hausdorff se "comportan mal".Plantilla:Sfn Por ejemplo, el límite directo de una secuencia (es decir, indexada por los números naturales) de espacios de Fréchet nucleares localmente convexos puede no ser de Hausdorff (en cuyo caso, el límite directo no existe en la categoría de EVTs de Hausdorff). Por esta razón, en análisis funcional solo se estudian ciertos sistemas directos "de buen comportamiento". Estos sistemas incluyen a los espacios LF.Plantilla:Sfn Sin embargo, los límites inductivos localmente convexos no de Hausdorff aparecen en cuestiones naturales de análisis.Plantilla:Sfn

Límite inductivo estricto

Si cada una de las aplicaciones de enlace $f_i^j$ es un embebido de un EVT en subespacios vectoriales adecuados y si el sistema está dirigido por $\mathbb{N}$ con su ordenamiento natural, entonces el límite resultante se llama límite directo (numerable) estricto. En tal situación, se puede suponer sin pérdida de generalidad que cada Plantilla:Math es un subespacio vectorial de Plantilla:Math y que la topología del subespacio inducida en Plantilla:Math por Plantilla:Math es idéntica a la topología original en Plantilla:Math.Plantilla:Sfn

En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en un límite inductivo estricto de los espacios de Fréchet Plantilla:Mvar se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo Plantilla:Math es un entorno de Plantilla:Math si y solo si Plantilla:Math es un entorno absolutamente convexo de Plantilla:Math en Plantilla:Math por cada Plantilla:Mvar.

Propiedades

Un límite inductivo en la categoría de EVTs localmente convexos de una familia de espacios bornológicos (respectivamente, barrilado, cuasi barrilado) tiene esta misma propiedad.Plantilla:Sfn

Espacios LF

Cada espacio LF es un subconjunto exiguo de sí mismo.Plantilla:Sfn El límite inductivo estricto de una secuencia de espacios localmente convexos completos (como los espacios de Fréchet) es necesariamente completo. En particular, cada espacio LF está completo.Plantilla:Sfn Cada espacio LF es barrilado y bornológico, lo que junto con la integridad implica que cada espacio LF es ultrabornológico. Un espacio LF que es el límite inductivo de una secuencia numerable de espacios separables es separable.Plantilla:Sfn Los espacios LF son distinguidos, y sus duales fuertes son bornológicos y barrilados (un resultado debido a Alexander Grothendieck).

Si Plantilla:Mvar es el límite inductivo estricto de una secuencia creciente de espacios de Fréchet Plantilla:Math, entonces un subconjunto Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar está acotado en Plantilla:Mvar si y solo si existe algún Plantilla:Mvar tal que Plantilla:Mvar sea un subconjunto acotado de Plantilla:Math.Plantilla:Sfn

Una aplicación lineal desde un espacio LF a otro EVT es continua si y solo si es secuencialmente continua.Plantilla:Sfn Una aplicación lineal desde un espacio LF Plantilla:Mvar a un espacio de Fréchet Plantilla:Mvar es continua si y solo si su grafo está cerrada en Plantilla:Math.Plantilla:Sfn Cada operador lineal acotado desde un espacio LF a otro EVT es continuo.Plantilla:Sfn

Si Plantilla:Mvar es un espacio LF definido por una secuencia ${\left(X_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, entonces el espacio dual fuerte $X_b^{\prime }$ de Plantilla:Mvar es un espacio de Fréchet si y solo si todos los Plantilla:Math son normables.Plantilla:Sfn Por lo tanto, el espacio dual fuerte de un espacio LF es un espacio de Fréchet si y solo si es un espacio LB.

Ejemplos

Espacio de funciones compactamente suaves soportadas

Un ejemplo típico de un espacio LF es $C_c^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$, el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables en ${ℝ}^n$ con soporte compacto. La estructura del espacio LF se obtiene considerando una secuencia de conjuntos compactos $K_1\subset K_2\subset \dots \subset K_i\subset \dots \subset {ℝ}^n$ con $\bigcup _i{K}_i={ℝ}^n$ y para todo i, $K_i$ es un subconjunto del interior de $K_{i+1}$. Tal secuencia podría ser el conjunto de las bolas de radio "i" centradas en el origen. El espacio $C_c^{\mathrm{\infty }}(K_i)$ de funciones infinitamente diferenciables en ${ℝ}^n$ con soporte compacto contenido en $K_i$ tiene una estructura natural de espacio de Fréchet y $C_c^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ hereda su estructura de espacio LF como se describió anteriormente. La topología del espacio LF no depende de la secuencia particular de conjuntos compactos $K_i$.

Con esta estructura de espacio LF, $C_c^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ se conoce como el espacio de funciones de prueba, de fundamental importancia en la teoría de distribuciones.

Límite directo de espacios de dimensión finita

Supóngase que para cada entero positivo Plantilla:Mvar, Plantilla:Math y que Plantilla:Math; considérese también X_m como un subespacio vectorial de Plantilla:Math a través del embebido canónico Plantilla:Math definido por Plantilla:Nowrap.

Denótese el espacio LF resultante por Plantilla:Mvar. Dado que cualquier topología sobre un EVT Plantilla:Mvar hace continuas las inclusiones de los X_m en Plantilla:Mvar, este último espacio tiene el máximo entre todas las topologías del EVT en un espacio vectorial $ℝ$ con dimensión de Hamel numerable. Es una topología LC, asociada con la familia de todas las seminormas en Plantilla:Mvar. Además, la topología del límite inductivo del EVT Plantilla:Mvar coincide con el límite inductivo topológico; es decir, el límite directo de los espacios de dimensión finita Plantilla:Math en la categoría de espacios topológicos y en la categoría de EVTs coinciden. El espacio dual continuo $X^{\prime }$ de Plantilla:Mvar es igual al espacio dual de Plantilla:Mvar, es decir, el espacio de todas las secuencias con valores reales ${ℝ}^{\mathbb{N}}$ y la topología débil en $X^{\prime }$ es igual a la topología fuerte en $X^{\prime }$ (es decir, $X_{\sigma }^{\prime }=X_b^{\prime }$).Plantilla:Sfn. De hecho, es la topología LC única en $X^{\prime }$ cuyo espacio dual topológico es X. Además, la aplicación canónica de Plantilla:Mvar en el espacio dual continuo de $X_{\sigma }^{\prime }$ es sobreyectiva.Plantilla:Sfn

Véase también

• Espacio DF
• Límite directo
• Topología final
• Espacio F
• Espacio LB

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cite journal
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