Identidad de Binet-Cauchy

En álgebra, la identidad de Binet-Cauchy, que lleva el nombre de Jacques Philippe Marie Binet y de Augustin Louis Cauchy, establece que

$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{d}_j\right)=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{c}_j\right)+\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i)$

para cada elección de un número real o número complejo (o más generalmente, elementos de un anillo conmutativo). Al configurar a_i = c_i y b_j = d_j, se obtiene la identidad de Lagrange, que es una versión más fuerte de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz para el espacio euclídeo ${ℝ}^n$.

La identidad de Binet-Cauchy y el álgebra exterior

Cuando Plantilla:Math, el primer y segundo términos en el lado derecho se convierten en las magnitudes cuadradas del producto escalar y del producto vectorial respectivamente; en las dimensiones Plantilla:Math, se convierten en las magnitudes del producto esscalar y del producto exterior. Se puede escribir como

$(a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)$

donde Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math son vectores. También se puede escribir como una fórmula que da el producto escalar de dos productos exteriores, como

$(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c),$

que se puede escribir como

$(a\times b)\cdot (c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)$

en el caso Plantilla:Math.

En el caso especial Plantilla:Math y Plantilla:Math, la fórmula se convierte en

$|a\wedge b{|}^2=|a{|}^2|b{|}^2-|a\cdot b{|}^2.$

Cuando tanto Plantilla:Math como Plantilla:Math son vectores unitarios, se obtiene la relación habitual

${\sin }^2\varphi =1-{\cos }^2\varphi$

donde Plantilla:Math es el ángulo entre los vectores.

Notación de Einstein

Una relación entre los símbolos de Levi-Cevita y la delta de Kronecker generalizada es

$\frac{1}{k!}{\epsilon }^{{\lambda }_1\cdots {\lambda }_k{\mu }_{k+1}\cdots {\mu }_n}{\epsilon }_{{\lambda }_1\cdots {\lambda }_k{\nu }_{k+1}\cdots {\nu }_n}={\delta }_{{\nu }_{k+1}\cdots {\nu }_n}^{{\mu }_{k+1}\cdots {\mu }_n}.$

La forma $(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)$ de la identidad de Binet-Cauchy se puede escribir como

$\frac{1}{(n-2)!}\left({\epsilon }^{{\mu }_1\cdots {\mu }_{n-2}\alpha \beta }{a}_{\alpha }{b}_{\beta }\right)\left({\epsilon }_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{n-2}\gamma \delta }{c}^{\gamma }{d}^{\delta }\right)={\delta }_{\gamma \delta }^{\alpha \beta }{a}_{\alpha }{b}_{\beta }{c}^{\gamma }{d}^{\delta }.$

Demostración

Augustin-Louis Cauchy en 1901

Desarrollando el último término,

$\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i)$

$=\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{c}_i{b}_j{d}_j+a_j{c}_j{b}_i{d}_i)+\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i{b}_i{d}_i-\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{d}_i{b}_j{c}_j+a_j{d}_j{b}_i{c}_i)-\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i{b}_i{c}_i$

donde el segundo y cuarto términos son iguales y se suman para completar los términos de la siguiente manera:

$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{c}_i{b}_j{d}_j-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{d}_i{b}_j{c}_j.$

Esto completa la prueba después de factorizar los términos indexados por "i".

Generalización

Una forma general, también conocida como fórmula de Cauchy–Binet, establece lo siguiente: Supóngase que A es una matriz de orden m×n y B es una matriz de n×m. Si S es un subconjunto de {1, ..., n } con m elementos, se escribe A_S para la matriz de m×m cuyas columnas son aquellas columnas de A que tienen índices de S. De manera similar, se escribe B_S para la matriz de m×m cuyas filas son aquellas filas de B que tienen índices de S.

Entonces, el determinante del producto de A y B satisface la identidad

$\det (AB)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subset \{1,\dots ,n\}}{|S|=m}}\det (A_S)\det (B_S),$

donde la suma se extiende sobre todos los posibles subconjuntos S de {1, ..., n} con m elementos.

Se obtiene la identidad original como un caso especial configurando

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& \dots & a_n\\ b_1& \dots & b_n\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}{c}_1& d_1\\ ⋮& ⋮\\ c_n& d_n\end{array}\right).$