Límite (sucesión de conjuntos)

En teoría de conjuntos, se define límite de una sucesión de conjuntos $(A_n{)}_n$ al conjunto que incluye elementos de cada uno de los subconjuntos $A_n$ componentes de la sucesión. Es de utilidad en teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.

Definición para sucesiones monótonas

Sea $(A_n{)}_n$ una sucesión de conjuntos, se dice que dicha sucesión es monótona creciente, y se indica como $A_n\uparrow$, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que $A_n\subseteq A_{n+1}$.

De la misma manera, la sucesión de conjuntos es monónota decreciente y se indica como $A_n\downarrow$, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que $A_n\supseteq A_{n+1}$.

Haciendo uso de operadores de conjuntos (unión, intersección), en una sucesión monótona creciente con un número fijado n se tiene que: Plantilla:Ecuación El límite de esta sucesión creciente se define de manera natural como: Plantilla:Ecuación es decir, como la unión de los infinitos conjuntos A_n de la sucesión. Una definición similar se sigue para una sucesión monótona decreciente. Fijado un n se tiene que: Plantilla:Ecuación Y por tanto, el límite de esta sucesión decreciente se define como: Plantilla:Ecuación esto es, como la intersección de los conjuntos A_n de la sucesión.

Cuando se cumplen estas condiciones, se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite o que es convergente.

Definición general

De manera más general y dada cualquier sucesión de conjuntos, pueden definirse los límites inferior y superior construyendo dos sucesiones monótonas creciente y decreciente respectivamente: Plantilla:Definición De las definiciones anteriores se puede obtener la relación:

En el caso de que ambos límites coincidan, se toma este conjunto común como el límite de la sucesión A_n: Plantilla:Ecuación

Véase también

• Límite matemático
• Límite superior y límite inferior

Enlaces externos

• Plantilla:PlanetMath