Relación lineal

En álgebra lineal, una relación lineal (o simplemente relación) entre elementos de un espacio vectorial o de un módulo es una ecuación de primer grado que tiene estos elementos como solución.

Más precisamente, si $e_1,\dots ,e_n$ son elementos de un módulo (por la izquierda) Plantilla:Mvar sobre un anillo Plantilla:Mvar (el caso de un espacio vectorial sobre un cuerpo es un caso especial), una relación entre $e_1,\dots ,e_n$ es una sucesión $(f_1,\dots ,f_n)$ de elementos de Plantilla:Mvar tal que

$f_1{e}_1+\dots +f_n{e}_n=0.$

Las relaciones entre $e_1,\dots ,e_n$ forman un módulo. El caso más habitual es que $e_1,\dots ,e_n$ sea un conjunto generador de un módulo generado finitamente Plantilla:Mvar, en cuyo caso el módulo de las relaciones a menudo se denomina módulo de sizigia de Plantilla:Mvar. El módulo de sizigia depende de la elección de un conjunto generador, pero es único hasta la suma directa con un módulo libre. Es decir, si $S_1$ y $S_2$ son módulos sizigia correspondientes a dos conjuntos generadores del mismo módulo, entonces se dice que son establemente isomorfos, lo que significa que existen dos módulos libres $L_1$ y $L_2$ de manera que $S_1\oplus L_1$ y $S_2\oplus L_2$ son isomorfismos.

Los módulos sizigia de orden superior se definen de forma recursiva: un primer módulo de sizigia de un módulo Plantilla:Mvar es simplemente su módulo de sizigia. Para Plantilla:Math, un módulo de sizigia Plantilla:Mvar-ésimo de Plantilla:Mvar es un módulo de sizigia de un módulo de sizigia Plantilla:Math-ésimo. El teorema de la sizigia de Hilbert establece que, si $R=K[x_1,\dots ,x_n]$ es un anillo de polinomios Plantilla:Mvar indeterminado sobre un cuerpo, entonces cada módulo de sizigia Plantilla:Mvar-ésimo es libre. El caso Plantilla:Math es el hecho de que cada espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, y el caso Plantilla:Math es el hecho de que Plantilla:Math es un dominio de ideales principales y que cada submódulo de un módulo Plantilla:Math libre finitamente generado también es libre.

La construcción de módulos sizigia de orden superior se generaliza como la definición de resolución libre, lo que permite reformular el teorema de la sizigia de Hilbert como un anillo polinómico Plantilla:Mvar indeterminado sobre un campo que tiene dimensión homológica global Plantilla:Mvar.

Si Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son dos elementos del anillo conmutativo Plantilla:Mvar, entonces Plantilla:Math es una relación que se dice "trivial". El "módulo de relaciones triviales" de un ideal es el submódulo del primer módulo de sizigia del ideal que es generado por las relaciones triviales entre los elementos de un conjunto generador de un ideal. El concepto de relaciones triviales puede generalizarse a módulos sizigia de orden superior, y conduce al concepto de complejo de Koszul de un ideal, que proporciona información sobre las relaciones no triviales entre los generadores de un ideal.

Definiciones básicas

Sea Plantilla:Mvar un anillo y Plantilla:Mvar un Plantilla:Mvar-módulo por la izquierda. Una relación lineal, o simplemente una relación entre elementos Plantilla:Mvar $x_1,\dots ,x_k$ de Plantilla:Mvar es una secuencia $(a_1,\dots ,a_k)$ de elementos de Plantilla:Mvar tal que

$a_1{x}_1+\dots +a_k{x}_k=0.$

Si $x_1,\dots ,x_k$ es un conjunto generador de Plantilla:Mvar, la relación a menudo se denomina "sizigia" de Plantilla:Mvar. Esta terminología tiene sentido, ya que, aunque el módulo de sizigia depende del conjunto generador elegido, la mayoría de sus propiedades son independientes;

Si el anillo Plantilla:Mvar es noetheriano, o al menos coherente, y si Plantilla:Mvar es generado finitamente, entonces el módulo de sizigia también se genera de forma finita. Un módulo de sizigia de este módulo de sizigia es un "segundo módulo de sizigia" de Plantilla:Mvar. Continuando de esta manera se puede definir un módulo de sizigia Plantilla:Mvar-ésimo para cada entero positivo Plantilla:Mvar.

El teorema de la sizigia de Hilbert afirma que, si Plantilla:Mvar es un módulo generado de manera finita sobre un anillo de polinomios $K[x_1,\dots ,x_n]$ sobre un cuerpo, entonces cualquier módulo de sizigia Plantilla:Mvar-ésimo es un módulo libre.

Propiedades estables

En esta sección, se supone que todos los módulos se generan de forma finita. Ese es el anillo que se supone Plantilla:Mvar noetheriano, o, al menos, coherente.

En términos generales, en el lenguaje de la K-teoría, una propiedad es "estable" si se convierte en verdadera al hacer una suma directa con un módulo libre suficientemente grande. Una propiedad fundamental de los módulos sizigia es que existen "establemente independientes" en las opciones de los conjuntos generadores para los módulos involucrados. El siguiente resultado es la base de estas propiedades estables.

Prueba: Como $\{x_1,\dots ,x_m\}$ es un conjunto generador, cada $y_i$ se puede escribir como

$y_i=\sum {\alpha }_{i,j}{x}_j.$

Esto proporciona una relación $r_i$ entre $x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n.$ Ahora, si $(a_1,\dots ,a_m,b_1,\dots ,b_n)$ es alguna relación, entonces

$r-\sum b_i{r}_i$

es una relación entre $x_1,\dots ,x_m$ únicamente. En otras palabras, cada relación entre $x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n$ es una suma de una relación entre $x_1,\dots ,x_m,$ y una combinación lineal de $r_i$. Es sencillo demostrar que esta descomposición es única, y esto prueba el resultado. $◼$

Además, permite comprobar que el primer módulo de sizigia es "establemente único". Más precisamente, dados dos conjuntos generadores $S_1$ y $S_2$ de un módulo Plantilla:Mvar, si $S_1$ y $S_2$ son los correspondientes módulos de las relaciones, entonces existen dos módulos libres $L_1$ y $L_2$ tales que $S_1\oplus L_1$ y $S_2\oplus L_2$ son isomorfos. Para probar esto, basta aplicar dos veces la proposición anterior con el fin de obtener dos descomposiciones del módulo de las relaciones entre la unión de los dos conjuntos generadores.

Para obtener un resultado similar para módulos de sizigia superiores, queda por demostrar que, si Plantilla:Mvar es cualquier módulo y Plantilla:Mvar es un módulo libre, entonces Plantilla:Mvar y Plantilla:Math tienen módulos de sizigia isomorfos. Basta considerar un conjunto generador de Plantilla:Math que consta de un conjunto generador de Plantilla:Mvar y una base de Plantilla:Mvar. Para cada relación entre los elementos de este conjunto generador, los coeficientes de los elementos base de Plantilla:Mvar son todos cero, y las sizigias de Plantilla:Math son exactamente las sizigias de Plantilla:Mvar extendidas con coeficientes cero. Esto completa la demostración del siguiente teorema.

Relación con resoluciones libres

Dado un conjunto generador $g_1,\dots ,g_n$ de un módulo Plantilla:Mvar, se puede considerar un módulo libre de Plantilla:Mvar de base $G_1,\dots ,G_n,$ donde $G_1,\dots ,G_n$ son nuevos indeterminados. Esto define una sucesión exacta

$L⟶M⟶0,$

donde la flecha izquierda es la aplicación lineal que asigna cada $G_i$ al $g_i.$ correspondiente. El núcleo de esta flecha izquierda es un primer módulo de sizigia de Plantilla:Mvar.

Se puede repetir esta construcción con este núcleo en lugar de Plantilla:Mvar. Repitiendo una y otra vez esta construcción, se obtiene una secuencia larga y exacta

$\cdots ⟶L_k⟶L_{k-1}⟶\cdots ⟶L_0⟶M⟶0,$

donde todos los $L_i$ son módulos libres. Por definición, una secuencia tan larga y exacta es una resolución libre de Plantilla:Mvar.

Para cada Plantilla:Math, el núcleo $S_k$ de la flecha que comienza en $L_{k-1}$ es un módulo de sizigia Plantilla:Mvar-ésimo de Plantilla:Mvar. De ello se deduce que el estudio de las resoluciones libres es lo mismo que el estudio de los módulos de sizigia.

Una resolución libre es finita de longitud Plantilla:Math si $S_n$ es libre. En este caso, se puede tomar $L_n=S_n,$ y $L_k=0$ (el módulo cero) para cada Plantilla:Math.

Esto permite replantear el teorema de la sizigia de Hilbert: Si $R=K[x_1,\dots ,x_n]$ es un anillo de polinomios en Plantilla:Mvar indeterminado sobre un cuerpo Plantilla:Mvar, entonces cada resolución libre tiene una longitud finita como máximo de Plantilla:Mvar.

La dimensión global de un anillo noetheriano conmutativo es infinita o el Plantilla:Mvar mínimo de modo que cada resolución libre tiene una longitud finita como máximo de Plantilla:Mvar. Un anillo noetheriano conmutativo es regular si su dimensión global es finita. En este caso, la dimensión global es igual a su dimensión de Krull. Por lo tanto, el teorema de la sizigia de Hilbert puede reformularse en una oración muy corta que esconde muchas matemáticas: Un anillo polinomial sobre un cuerpo es un anillo regular.

Relaciones triviales

En un anillo conmutativo Plantilla:Mvar, siempre se tiene que Plantilla:Math. Esto implica "trivialmente" que Plantilla:Math es una relación lineal entre Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar. Por lo tanto, dado un conjunto generador $g_1,\dots ,g_k$ de un ideal Plantilla:Mvar, se llama relación trivial o sizigia trivial a cada elemento del submódulo del módulo de sizigia que es generado por estas relaciones tiviales entre dos elementos generadores. Más precisamente, el módulo de las sizigias triviales es generado por las relaciones

$r_{i,j}=(x_1,\dots ,x_r)$

tal que $x_i=g_j,$ $x_j=-g_i,$ y $x_h=0$ de lo contrario.

Historia

La palabra "sizigia" (syzygy en inglés), procedente del griego "συζυγία" (syzygía, 'unión') a través de la astronomía (donde se refiere a la conjunción de dos planetas), entró en las matemáticas con el trabajo de Arthur Cayley. En ese artículo, Cayley utilizó el término en la teoría de resultantes y discriminantes. Como la palabra sizigia se usó en astronomía para denotar una relación lineal entre planetas, Cayley la usó para denotar relaciones lineales entre los menores de una matriz, como, en el caso de una matriz de 2 × 3:

$a\left|\begin{array}{cc}b& c\\ e& f\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{cc}a& c\\ d& f\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right|=0.$

Luego, la palabra "sizigia" fue popularizada (entre los matemáticos) por David Hilbert en su artículo de 1890, que contiene tres teoremas fundamentales sobre polinomios, el teorema de la sizigia de Hilbert, el teorema de la base de Hilbert y el teorema de los ceros de Hilbert.

En su artículo, Cayley hace uso, en un caso especial, de lo que luego fue llamado complejo de Koszul, después de una construcción similar en geometría diferencial ideada por el matemático Jean-Louis Koszul.

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• David Eisenbud, The Geometry of Syzygies, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 229, Springer, 2005.