Subespacio cíclico

En matemáticas, álgebra lineal y análisis funcional, un subespacio cíclico es un subespacio especial de un espacio vectorial asociado con un vector en este y una transformación lineal del espacio sobre sí mismo. El subespacio cíclico asociado a un vector v en un espacio vectorial V y a una transformación lineal T de V se denomina subespacio T-cíclico generado por v.

El concepto de subespacio cíclico es un componente básico en la formulación del teorema de descomposición cíclica en álgebra lineal.

Definición

Sea $T:V\to V$ una transformación lineal de un espacio vectorial $V$ y sea $v$ un vector en $V$. El subespacio $T$-cíclico de $V$ generado por $v$, denotado $Z(v;T)$ es el subespacio de $V$ generado por el conjunto de vectores $\{v,T(v),T^2(v),\dots ,T^r(v),\dots \}$. En el caso en que $V$ sea un espacio vectorial topológico, el vector $v$ se conoce como el vector cíclico para $T$ si es que $Z(v;T)$ es denso en $V$. Para el caso particular de espacios de dimensión finita, esto equivale a decir que $Z(v;T)$ es todo el espacio $V$.

Existe otra definición equivalente para espacio cíclico. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal de un espacio vectorial topológico sobre un campo $F$ y sea $v$ un vector en $V$, el conjunto de todos los vectores de la forma $g(T)v$, dónde $g(x)$ es un polinomio en el anillo $F[x]$ de todos los polinomios en $x$ sobre $F$, es el subespacio $T$-cíclico generado por $v$.

El subespacio $Z(v;T)$ es un subespacio invariante para $T$, en el sentido de que $TZ(v;T)\subset Z(v;T)$.

Ejemplos

1. Para cualquier espacio vectorial $V$ y cualquier operador lineal $T$ en $V$, el subespacio $T$-cíclico generado por el vector cero es el subespacio cero de $V$.

1. Si $I$ es el operador identidad entonces todo subespacio $I$-cíclico es unidimensional.
2. $Z(v;T)$ es unidimensional si y solo si $v$ es un vector característico (autovector) de $T$.

1. Sea $V$ un espacio vectorial bidimensional y sea $T$ el operador lineal en $V$ representado por la matriz $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$ relativa a la base canónica ordenada de $V$. Sea $v=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$. Entonces $Tv=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],T^{2}v=0,\dots ,T^{r}v=0,\dots$. Por lo tanto,$\{v,T(v),T^2(v),\dots ,T^r(v),\dots \}=\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\}$ con lo cual $Z(v;T)=V$. Es decir, $v$ es un vector cíclico de $T$.

Matriz compañera

Sea $T:V\to V$ una transformación lineal de un espacio vectorial n-dimensional $V$ sobre un campo $F$ y sea $v$ un vector cíclico para $T$ . Entonces los vectores

$B=\{v_1=v,v_2=Tv,v_3=T^{2}v,\dots v_n=T^{n-1}v\}$

forman una base ordenada para $V$. Sea el polinomio característico para $T$

$p(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}+x^n$.

Entonces

$\begin{array}{cc}T{v}_1& =v_2\\ T{v}_2& =v_3\\ T{v}_3& =v_4\\ ⋮& \\ T{v}_{n-1}& =v_n\\ T{v}_n& =-c_0{v}_1-c_1{v}_2-\cdots c_{n-1}{v}_n\end{array}$

Por lo tanto, el operador $T$ relativo a la base ordenada $B$ está representado por la matriz

$\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& -c_0\\ 1& 0& 0& \dots & 0& -c_1\\ 0& 1& 0& \dots & 0& -c_2\\ ⋮& & & & & \\ 0& 0& 0& \dots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right]$

Esta matriz se conoce como matriz compañera del polinomio $p(x)$.

Véase también

• Matriz compañera
• Subespacio de Krylov

Bibliografía

• Plantilla:Cite book

Enlaces externos

• PlanetMath: subespacio cíclico