Volumen de una n-bola

Gráficos de volúmenes (V) y de áreas de la superficie (S) de n-bolas de radio 1. Desplazar el cursor en el archivo SVG sobre un punto para resaltarlo y obtener su valor

En geometría, una bola es una región en el espacio que comprende todos los puntos dentro de una distancia fija desde un punto dado; es decir, es la región encerrada por una esfera o hiperesfera. Una Plantilla:Math-bola, como su nombre indica, es una región esférica Plantilla:Math-dimensional definida en el espacio euclídeo. El volumen de una Plantilla:Math-bola unidad es una expresión importante, que generaliza la noción del volumen encerrado por una esfera en un espacio tridimensional.

Fórmulas

Volumen

El volumen tridimensional Plantilla:Math de una bola euclidiana de radio Plantilla:Math en el espacio euclidiano de dimensión Plantilla:Math es:

$V_n(R)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n,$

donde Plantilla:Math es la función gamma definida por Leonhard Euler. La función gamma extiende la función factorial a argumentos no enteros. Satisface Plantilla:Math si Plantilla:Math es un número entero positivo y Plantilla:Math si Plantilla:Math es un número entero no negativo.

Formas alternativas

El uso de fórmulas explícitas para valores particulares de la funcción gamma en los enteros y medios enteros proporciona fórmulas para el volumen de una bola euclidiana que no requieren una evaluación de la función gamma. Estos son:

$\begin{array}{cc}{V}_{2k}(R)& =\frac{{\pi }^k}{k!}{R}^{2k},\\ V_{2k+1}(R)& =\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{(2k+1)!!}{R}^{2k+1}=\frac{2(k!)(4\pi {)}^k}{(2k+1)!}{R}^{2k+1}.\end{array}$

En la fórmula para volúmenes de dimensiones impares, el doble factorial Plantilla:Math se define para enteros impares Plantilla:Math como Plantilla:Math.

En lugar de expresar el volumen Plantilla:Math de la bola en términos de su radio Plantilla:Math, la fórmula puede ser invertida para expresar el radio en función del volumen:

$R_n(V)=\frac{\mathrm{\Gamma }{(\frac{n}{2}+1)}^{\frac{1}{n}}}{\sqrt{\pi }}{V}^{\frac{1}{n}}.$

Esta fórmula también se puede separar en casos de dimensiones pares e impares utilizando factoriales y factoriales dobles en lugar de la función gamma:

$\begin{array}{cc}{R}_{2k}(V)& =\frac{(k!V{)}^{\frac{1}{2k}}}{\sqrt{\pi }},\\ R_{2k+1}(V)& ={\left(\frac{(2k+1)!!V}{2^{k+1}{\pi }^k}\right)}^{\frac{1}{2k+1}}.\end{array}$

Recursiones

El volumen satisface varias fórmulas recursivas. Estas fórmulas se pueden probar directamente o como consecuencia de la fórmula de volumen general anterior. La más simple de establecer es una fórmula para el volumen de una Plantilla:Math-bola en términos del volumen de una Plantilla:Math-bola del mismo radio:

$V_n(R)=\frac{2\pi R^2}{n}{V}_{n-2}(R).$

También hay una fórmula para el volumen de una Plantilla:Math-bola en términos del volumen de una Plantilla:Math-bola del mismo radio:

$V_n(R)=R\sqrt{\pi }\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{V}_{n-1}(R).$

El uso de fórmulas explícitas para la función gamma nuevamente muestra que la fórmula de recursión unidimensional también se puede escribir como:

$\begin{array}{cc}{V}_{2k}(R)& =R\pi \frac{(2k-1)!!}{2^{k}k!}{V}_{2k-1}(R)=R\pi \frac{(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{V}_{2k-1}(R),\\ [10px]V_{2k+1}(R)& =2R\frac{2^{k}k!}{(2k+1)!!}{V}_{2k}(R)=2R\frac{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{V}_{2k}(R).\end{array}$

El radio de una Plantilla:Math-bola de volumen Plantilla:Math puede expresarse recursivamente en términos del radio de una Plantilla:Math-bola o una Plantilla:Math-bola. Estas fórmulas pueden derivarse de la fórmula explícita para Plantilla:Math anterior.

$\begin{array}{cc}{R}_n(V)& =\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1{)}^{1/n}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n-1}{2}+1{)}^{1/(n-1)}}{V}^{-1/(n(n-1))}{R}_{n-1}(V),\\ R_n(V)& ={\left(\frac{n}{2}\right)}^{1/n}{(V\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right))}^{-2/(n(n-2))}{R}_{n-2}(V).\end{array}$

El uso de fórmulas explícitas para la función gamma muestra que la fórmula de recursión unidimensional es equivalente a

$\begin{array}{cc}{R}_{2k}(V)& =\frac{(2^{k}k!{)}^{1/(2k)}}{(2k-1)!{!}^{1/(2k-1)}}{\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{1/(4k-2)}{V}^{-1/(2k(2k-1))}{R}_{2k-1}(V)\\ & =\frac{((2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2{)}^{1/(2k)}}{((2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1{)}^{1/(2k-1)}}{\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{1/(4k-2)}{V}^{-1/(2k(2k-1))}{R}_{2k-1}(V),\\ R_{2k+1}(V)& =\frac{(2k+1)!{!}^{1/(2k+1)}}{(2^{k}k!{)}^{1/(2k)}}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{1/(4k+2)}{V}^{-1/((2k+1)2k)}{R}_{2k}(V)\\ & =\frac{((2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1{)}^{1/(2k+1)}}{((2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2{)}^{1/(2k)}}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{1/(4k+2)}{V}^{-1/((2k+1)2k)}{R}_{2k}(V),\\ \end{array}$

y que la fórmula de recursión en dos dimensiones es equivalente a

$\begin{array}{cc}{R}_{2k}(V)& =k^{1/(2k)}(V\cdot (k-1)!{)}^{-1/(2(k-1)k)}{R}_{2k-2}(V)\\ & =k^{1/(2k)}(V\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1{)}^{-1/(2(k-1)k)}{R}_{2k-2}(V),\\ R_{2k+1}(V)& =(2k+1{)}^{1/(2k+1)}{(V\cdot (2k-1)!!\sqrt{\frac{\pi }{2}})}^{-2/(4k^2-1)}{R}_{2k-1}(V)\\ & =(2k+1{)}^{1/(2k+1)}{(V\cdot (2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1\sqrt{\frac{\pi }{2}})}^{-2/(4k^2-1)}{R}_{2k-1}(V).\end{array}$

Definiendo una relación de recurrencia

$f_n\doteq 2f_{n-2}/n$

donde $f_0\doteq 1$ y $f_1\doteq 2$ se pueden expresar los volúmenes y superficies de las $n$-bolas como

$V_n(R)={\pi }^{\lfloor n/2\rfloor }{f}_n{R}^n$

$S_n(R)=n{\pi }^{\lfloor n/2\rfloor }{f}_n{R}^{n-1}$

$n=5$ es el último $n$ impar donde $f_n>f_{n-1}$.

Dimensiones bajas

En dimensiones bajas, estas fórmulas de volumen y radio se simplifican de la forma siguiente:

Dimensión	Volumen de una bola de radio Plantilla:Math	Radio de una bola de volumen Plantilla:Math
0	$1$	(all 0-balls have volume 1)
1	$2R$	$\frac{V}{2}=0.5\times V$
2	$\pi R^2\approx 3.142\times R^2$	$\frac{V^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.564\times V^{\frac{1}{2}}$
3	$\frac{4\pi }{3}{R}^3\approx 4.189\times R^3$	${\left(\frac{3V}{4\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.620\times V^{\frac{1}{3}}$
4	$\frac{{\pi }^2}{2}{R}^4\approx 4.935\times R^4$	$\frac{(2V{)}^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.671\times V^{\frac{1}{4}}$
5	$\frac{8{\pi }^2}{15}{R}^5\approx 5.264\times R^5$	${\left(\frac{15V}{8{\pi }^2}\right)}^{\frac{1}{5}}\approx 0.717\times V^{\frac{1}{5}}$
6	$\frac{{\pi }^3}{6}{R}^6\approx 5.168\times R^6$	$\frac{(6V{)}^{\frac{1}{6}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.761\times V^{\frac{1}{6}}$
7	$\frac{16{\pi }^3}{105}{R}^7\approx 4.725\times R^7$	${\left(\frac{105V}{16{\pi }^3}\right)}^{\frac{1}{7}}\approx 0.801\times V^{\frac{1}{7}}$
8	$\frac{{\pi }^4}{24}{R}^8\approx 4.059\times R^8$	$\frac{(24V{)}^{\frac{1}{8}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.839\times V^{\frac{1}{8}}$
9	$\frac{32{\pi }^4}{945}{R}^9\approx 3.299\times R^9$	${\left(\frac{945V}{32{\pi }^4}\right)}^{\frac{1}{9}}\approx 0.876\times V^{\frac{1}{9}}$
10	$\frac{{\pi }^5}{120}{R}^{10}\approx 2.550\times R^{10}$	$\frac{(120V{)}^{\frac{1}{10}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.911\times V^{\frac{1}{10}}$
11	$\frac{64{\pi }^5}{10395}{R}^{11}\approx 1.884\times R^{11}$	${\left(\frac{10395V}{64{\pi }^5}\right)}^{\frac{1}{11}}\approx 0.944\times V^{\frac{1}{11}}$
12	$\frac{{\pi }^6}{720}{R}^{12}\approx 1.335\times R^{12}$	$\frac{(720V{)}^{\frac{1}{12}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.976\times V^{\frac{1}{12}}$
13	$\frac{128{\pi }^6}{135135}{R}^{13}\approx 0.911\times R^{13}$	${\left(\frac{135135V}{128{\pi }^6}\right)}^{\frac{1}{13}}\approx 1.007\times V^{\frac{1}{13}}$
14	$\frac{{\pi }^7}{5040}{R}^{14}\approx 0.599\times R^{14}$	$\frac{(5040V{)}^{\frac{1}{14}}}{\sqrt{\pi }}\approx 1.037\times V^{\frac{1}{14}}$
15	$\frac{256{\pi }^7}{2027025}{R}^{15}\approx 0.381\times R^{15}$	${\left(\frac{2027025V}{256{\pi }^7}\right)}^{\frac{1}{15}}\approx 1.066\times V^{\frac{1}{15}}$
n	Vn(R)	Rn(V)

Dimensiones altas

Supóngase que Plantilla:Math es fijo. Entonces, el volumen de una Plantilla:Math-bola de radio Plantilla:Math se aproxima a cero cuando Plantilla:Math tiende a infinito. Esto se puede demostrar usando la fórmula de recursión de dos dimensiones. En cada paso, el nuevo factor por el que se multiplica el volumen es proporcional a Plantilla:Math, donde la constante de proporcionalidad Plantilla:Math es independiente de Plantilla:Math. Finalmente, Plantilla:Math es tan grande que el nuevo factor es menor que 1. A partir de ese momento, el volumen de una Plantilla:Math-bola debe disminuir al menos geométricamente y, por lo tanto, tiende a cero. Una variante de esta prueba utiliza la fórmula de recursión unidimensional. Aquí, el nuevo factor es proporcional a un cociente de funciones gamma. La desigualdad de Gautschi limita este cociente a Plantilla:Math como cota superior. El argumento concluye como antes demostrando que los volúmenes disminuyen al menos geométricamente.

Se puede obtener una descripción más precisa del comportamiento en dimensiones altas del volumen utilizando la fórmula de Stirling. Implica el análisis asintótico:

$V_n(R)\sim \frac{1}{\sqrt{n\pi }}{\left(\frac{2\pi e}{n}\right)}^{\frac{n}{2}}{R}^n.$

El error en esta aproximación es un factor de Plantilla:Math. La aproximación de Stirling es, de hecho, una subestimación de la función gamma, por lo que la fórmula anterior es un límite superior. Esto proporciona otra prueba de que el volumen de una bola disminuye exponencialmente: cuando Plantilla:Math es suficientemente grande, el factor Plantilla:Math es menor que uno, por lo que se aplica el mismo argumento que antes.

Si en cambio Plantilla:Math es fijo, mientras que Plantilla:Math es grande, entonces, por la aproximación de Stirling nuevamente, el radio de una Plantilla:Math-bola de volumen Plantilla:Math es aproximadamente

$R_n(V)\sim (\pi n{)}^{\frac{1}{2n}}\sqrt{\frac{n}{2\pi e}}{V}^{\frac{1}{n}}.$

Esta expresión es un límite inferior para Plantilla:Math, y el error es nuevamente un factor de Plantilla:Math. A medida que Plantilla:Math aumenta, Plantilla:Math crece a medida que $\mathrm{\Theta }(\sqrt{n}).$

Relación con el área de la superficie

Denótese como Plantilla:Math el área de la superficie de una [[N-esfera|Plantilla:Math-esfera]] de radio Plantilla:Math. La Plantilla:Math-esfera es el límite de la Plantilla:Math-bola de radio Plantilla:Math. La Plantilla:Math bola es una unión de esferas concéntricas y, en consecuencia, el área de la superficie y el volumen están relacionados por:

$A_n(R)=\frac{d}{dR}{V}_{n+1}(R).$

La combinación de esta expresión con la fórmula explícita para el volumen de una Plantilla:Math-bola da

$A_n(R)=\frac{2{\pi }^{\frac{n+1}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{R}^n.$

Dado que el volumen es proporcional a la potencia del radio, la relación anterior conduce a una ecuación simple que relaciona el área de la superficie de una Plantilla:Math-bola y el volumen de una Plantilla:Math-bola. Al aplicar la fórmula de recursión de dos dimensiones, también se obtiene una ecuación que relaciona el área de la superficie de una Plantilla:Math-bola y el volumen de una Plantilla:Math-bola. Estas fórmulas, junto con el volumen y el área de la superficie de las bolas de dimensión cero, se pueden usar como un sistema de relaciones de recurrencia para los volúmenes y áreas de superficie de las bolas:

$\begin{array}{cc}{V}_0(R)& =1,\\ A_0(R)& =2,\\ V_{n+1}(R)& =\frac{R}{n+1}{A}_n(R),\\ A_{n+1}(R)& =(2\pi R)V_n(R).\end{array}$

Dimensión que maximiza el volumen de una bola de radio fijo

Supóngase que Plantilla:Math es un número real positivo fijo, y considérese el volumen Plantilla:Math como una función del entero positivo Plantilla:Math que indica la dimensión. Dado que el volumen de una bola con radio positivo fijo tiende a cero cuando Plantilla:Math, el volumen máximo se alcanza para algún valor de Plantilla:Mvar. La dimensión en la que esto sucede depende del radio Plantilla:Math.

Para encontrar el Plantilla:Mvar para el cual se verifica el máximo, se interpola la función $n\mapsto V_n(R)$ para todos los Plantilla:Math reales, definiendo

$V(x,R)=\frac{{\pi }^{\frac{x}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{x}{2}+1)}{R}^x.$

Cuando Plantilla:Math no es un entero positivo, esta función no tiene una interpretación geométrica obvia. Sin embargo, es suave, por lo que las técnicas de cálculo se pueden utilizar para encontrar máximos.

Los valoes extremos de Plantilla:Math para Plantilla:Mvar fijo pueden darse solo en los puntos críticos o en los límites Plantilla:Math y Plantilla:Math. Debido a que el logaritmo está aumentando monótonamente, los puntos críticos de $V(x,R)$ son los mismos que los de su logaritmo. La derivada de $\log V(x,R)$ con respecto a Plantilla:Mvar es

$\frac{\partial }{\partial x}(\log V(x,R))=\frac{\log \pi }{2}+\log R-\frac{1}{2}\psi (\frac{x}{2}+1),$

donde Plantilla:Mvar es la función digamma, la derivada logarítmica de la función gamma. Los puntos críticos de Plantilla:Math por lo tanto se dan en las soluciones de

$\psi (\frac{x}{2}+1)=\log \pi +2\log R.$

Debido a que la función gamma es logarítmicamente convexa en el eje real positivo, la función digamma está aumentando monótonamente allí, por lo que la ecuación anterior tiene como máximo una solución. Debido a que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\psi (x)=-\mathrm{\infty }$ y $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\psi (x)=+\mathrm{\infty }$, hay al menos una solución real positiva. Por lo tanto, la ecuación anterior tiene una solución única. Denotando la solución por Plantilla:Math, se tiene que

$x_0=2{\psi }^{-1}(\log \pi +2\log R)-2.$

La monotonicidad de la función digamma en el eje real positivo implica además que Plantilla:Math aumenta para todos los Plantilla:Math y disminuye para todos los Plantilla:Math. Se deduce que Plantilla:Math es el máximo único de Plantilla:Math y que el máximo de Plantilla:Math está contenido en el conjunto $\{\lfloor x_0\rfloor ,\lceil x_0\rceil \}$. Si Plantilla:Math es un número entero, entonces este conjunto tiene solo un elemento, y este elemento es el máximo único de Plantilla:Math y Plantilla:Math. De lo contrario, el conjunto tiene dos elementos, y Plantilla:Math asume su máximo único en uno de los dos elementos del conjunto, o Plantilla:Math se maximiza en ambos elementos.

Se pueden obtener estimaciones más explícitas, aunque menos precisas, al delimitar la función digamma. Para Plantilla:Math, la función digamma satisface:

$\log (y-\frac{1}{2})<\psi (y)<\log (y+e^{-\gamma }-1),$

donde Plantilla:Math es la constante de Euler-Mascheroni. Aplicando estos límites con los rendimientos Plantilla:Math

$\log (\frac{x_0}{2}+\frac{1}{2})<\psi (\frac{x_0}{2}+1)=\log \pi +2\log R<\log (\frac{x_0}{2}+e^{-\gamma }),$

de donde

$2\pi R^2-2e^{-\gamma }<x_0<2\pi R^2-1.$

Por lo tanto, se alcanza el máximo de Plantilla:Math para algún Plantilla:Mvar entero tal que

$\lfloor 2\pi R^2-2e^{-\gamma }\rfloor \le n\le \lceil 2\pi R^2-1\rceil .$

Para encontrar el máximo de Plantilla:Math, es suficiente maximizarlo en todos los Plantilla:Math en este intervalo. Debido a $|2e^{-\gamma }-1|<0.2$, este intervalo contiene como máximo tres enteros y, a menudo, solo dos.

Por ejemplo, cuando Plantilla:Math, estos límites implican que se alcanza el volumen máximo para algunos Plantilla:Mvar para los cuales Plantilla:Math, es decir, para Plantilla:Math o Plantilla:Math. Un examen de la tabla anterior muestra que se logra en el límite inferior, en la dimensión Plantilla:Math. Cuando Plantilla:Math, los límites son Plantilla:Math, y el máximo se alcanza en el límite superior, es decir, cuando Plantilla:Math. Finalmente, si $R=\exp (11/12-\gamma /2)/\sqrt{\pi }\approx 1.057$, entonces los límites son Plantilla:Math, por lo que el intervalo de Plantilla:Math posible contiene tres enteros, y el máximo de Plantilla:Math y Plantilla:Math se alcanza en el entero Plantilla:Math.

Demostraciones

Hay muchas demostraciones de las fórmulas anteriores.

El volumen es proporcional a la potencia Plantilla:Math del radio

Un paso importante en varias pruebas sobre volúmenes de Plantilla:Math-bolas, y un hecho generalmente útil además, es que el volumen de la bola Plantilla:Math de radio Plantilla:Math es proporcional a Plantilla:Math:

$V_n(R)\propto R^n.$

La constante de proporcionalidad es el volumen de la bola unidad.

Este es un caso especial de un hecho general sobre los volúmenes en el espacio Plantilla:Math-dimensional: si Plantilla:Math es un cuerpo (conjunto medible) en ese espacio y Plantilla:Math es el cuerpo obtenido al expandirlo en todas las direcciones por el factor Plantilla:Math, entonces el volumen de Plantilla:Math es igual a Plantilla:Math multiplicado por el volumen de Plantilla:Math. Esta es una consecuencia directa del cambio de variables en las fórmulas:

$V(RK)=\underset{RK}{\int }dx=\underset{K}{\int }{R}^{n}dy=R^{n}V(K)$

donde se realizó Plantilla:Math y la sustitución Plantilla:Math.

Otra prueba de la relación anterior, que evita la integración multidimensional, utiliza la inducción: el caso base es Plantilla:Math, donde la proporcionalidad es obvia. Para el caso inductivo, supóngase que la proporcionalidad es verdadera en la dimensión Plantilla:Math. Téngase en cuenta que la intersección de una Plantilla:Math-bola con un hiperplano es una Plantilla:Math-bola. Cuando el volumen de la Plantilla:Math-bola se escribe como una integral de los volúmenes de las Plantilla:Math-bolas:

$V_n(R)=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}{V}_{n-1}\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)dx,$

Es posible por la suposición inductiva eliminar un factor de Plantilla:Math del radio de la bola Plantilla:Math para obtener:

$V_n(R)=R^{n-1}\underset{-R}{\overset{R}{\int }}{V}_{n-1}\left(\sqrt{1-{\left(\frac{x}{R}\right)}^2}\right)dx.$

Hacer el cambio de variables Plantilla:Math conduce a:

$V_n(R)=R^n\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{V}_{n-1}\left(\sqrt{1-t^2}\right)dt=R^n{V}_n(1),$

que demuestra la relación de proporcionalidad en la dimensión Plantilla:Math. Por inducción, la relación de proporcionalidad es verdadera en todas las dimensiones.

Fórmula de recursión bidimensional

Se puede proporcionar una prueba de la fórmula de recursión que relaciona el volumen de la Plantilla:Math-bola y de una Plantilla:Math-bola utilizando la fórmula de proporcionalidad anterior y la integración en coordenadas cilíndricas. Disponiendo un plano a través del centro de la bola, Plantilla:Math denota la distancia entre un punto en el plano y el centro de la esfera, y Plantilla:Math denota el acimut. La intersección de la Plantilla:Math-bola con el plano Plantilla:Math-dimensional definido mediante la fijación de un radio y un acimut da una Plantilla:Math-bola de radio Plantilla:Math. Por lo tanto, el volumen de la bola puede escribirse como una integral iterada de los volúmenes de las Plantilla:Math-bolas sobre los posibles radios y acimutes:

$V_n(R)=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{R}{\int }}{V}_{n-2}\left(\sqrt{R^2-r^2}\right)rdrd\theta ,$

La coordenada azimutal se puede integrar de inmediato. La aplicación de la relación de proporcionalidad muestra que el volumen es igual a:

$V_n(R)=2\pi V_{n-2}(R)\underset{0}{\overset{R}{\int }}{(1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2)}^{\frac{n-2}{2}}rdr.$

La integral se puede evaluar haciendo la sustitución Plantilla:Math para obtener:

$\begin{array}{cc}{V}_n(R)& =2\pi V_{n-2}(R)\cdot {[-\frac{R^2}{n}{(1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2)}^{\frac{n}{2}}]}_{r=0}^{r=R}\\ & =\frac{2\pi R^2}{n}{V}_{n-2}(R),\end{array}$

que es la fórmula de recursión en dos dimensiones.

Se puede usar la misma técnica para proporcionar una prueba inductiva de la fórmula del volumen. Los casos base de la inducción son la 0-bola y la 1-bola, que pueden verificarse directamente utilizando los hechos de que Plantilla:Math y Plantilla:Math. El paso inductivo es similar al anterior, pero en lugar de aplicar la proporcionalidad a los volúmenes de las Plantilla:Math-bolas, se aplica el supuesto inductivo.

Fórmula de recursión unidimensional

La relación de proporcionalidad también se puede usar para probar la fórmula de recursión que relaciona los volúmenes de una Plantilla:Math-bola y de una Plantilla:Math-bola. Como en la prueba de la fórmula de proporcionalidad, el volumen de una Plantilla:Math-bola se puede escribir como una integral sobre los volúmenes de las Plantilla:Math-bolas. Sin embargo, en lugar de hacer una sustitución, la relación de proporcionalidad se puede aplicar a los volúmenes de las Plantilla:Math-bolas en el integrando:

$V_n(R)=V_{n-1}(R)\underset{-R}{\overset{R}{\int }}{(1-{\left(\frac{x}{R}\right)}^2)}^{\frac{n-1}{2}}dx.$

El integrando es una función par, por lo que, por simetría, el intervalo de integración puede restringirse a Plantilla:Math. En el intervalo Plantilla:Math, es posible aplicar la sustitución Plantilla:Math. Esto transforma la expresión en:

$V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-u{)}^{\frac{n-1}{2}}{u}^{-\frac{1}{2}}du$

La integral es un valor de una función especial conocida llamada función beta Plantilla:Math, y el volumen en términos de la función beta es:

$V_n(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \mathrm{B}(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}).$

La función beta se puede expresar en términos de la función gamma de la misma manera que los factoriales están relacionados con el coeficiente binomial. Aplicar esta relación da:

$V_n(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}.$

El uso del valor Plantilla:Math proporciona la fórmula de recursión unidimensional:

$V_n(R)=R\sqrt{\pi }\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{V}_{n-1}(R).$

Al igual que con la fórmula recursiva de dos dimensiones, se puede utilizar la misma técnica para proporcionar una prueba inductiva de la fórmula del volumen.

Integración directa en coordenadas esféricas

El volumen del n-ball $V_n(R)$ puede calcularse integrando el elemento de volumen en spherical coordinates. El sistema de coordenadas esféricas tiene una coordenada radial Plantilla:Math y coordenadas angulares Plantilla:Math, donde el dominio de cada Plantilla:Math excepto Plantilla:Math es Plantilla:Math, y el dominio de Plantilla:Math es Plantilla:Math. El elemento de volumen esférico es:

$dV=r^{n-1}{\sin }^{n-2}({\phi }_1){\sin }^{n-3}({\phi }_2)\cdots \sin ({\phi }_{n-2})drd{\phi }_{1}d{\phi }_2\cdots d{\phi }_{n-1},$

y el volumen es la integral de esta cantidad sobre Plantilla:Math entre 0 y Plantilla:Math y todos los ángulos posibles:

$V_n(R)=\underset{0}{\overset{R}{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{r}^{n-1}{\sin }^{n-2}({\phi }_1)\cdots \sin ({\phi }_{n-2})d{\phi }_{n-1}\cdots d{\phi }_{1}dr.$

Cada uno de los factores en el integrando depende de una sola variable y, por lo tanto, la integral iterada se puede escribir como un producto de integrales:

$V_n(R)=\left(\underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^{n-1}dr\right)(\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n-2}({\phi }_1)d{\phi }_1)\cdots \left(\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d{\phi }_{n-1}\right).$

La integral sobre el radio es Plantilla:Math. Los intervalos de integración en las coordenadas angulares pueden, por simetría, cambiarse a Plantilla:Math:

$V_n(R)=\frac{R^n}{n}(2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n-2}({\phi }_1)d{\phi }_1)\cdots \left(4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}d{\phi }_{n-1}\right).$

Cada una de las integrales restantes ahora es un valor particular de la función beta:

$V_n(R)=\frac{R^n}{n}\mathrm{B}(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2})\mathrm{B}(\frac{n-2}{2},\frac{1}{2})\cdots \mathrm{B}(1,\frac{1}{2})\cdot 2\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$

Las funciones beta se pueden reescribir en términos de funciones gamma:

$V_n(R)=\frac{R^n}{n}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-2}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)}\cdots \frac{\mathrm{\Gamma }\left(1\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)}\cdot 2\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(1\right)}.$

Esta expresión es un producto telescópico. Combinando esto con los valores Plantilla:Math y Plantilla:Math y con la ecuación funcional Plantilla:Math conduce a:

$V_n(R)=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{n\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}.$

Integrales gaussianas

La fórmula del volumen se puede probar directamente usando integrales de Gauss. Considérese la función:

$f(x_1,\dots ,x_n)=\exp (-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{x}_i^2).$

Esta función es rotacionalmente invariante y producto de funciones de una variable cada una. Usando el hecho de que es un producto y la fórmula para la integral gaussiana da:

$\underset{{𝐑}^n}{\int }fdV=\prod _{i=1}^n(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2}{x}_i^2)d{x}_i)=(2\pi {)}^{\frac{n}{2}},$

donde Plantilla:Math es el elemento de volumen Plantilla:Math-dimensional. Usando la invariancia rotacional, la misma integral se puede calcular en coordenadas esféricas:

$\underset{{𝐑}^n}{\int }fdV=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{S^{n-1}(r)}{\int }\exp (-\frac{1}{2}{r}^2)dAdr,$

donde Plantilla:Math es una Plantilla:Math-esfera de radio Plantilla:Math y Plantilla:Math es el elemento de área (equivalentemente, el elemento de volumen Plantilla:Math-dimensional). El área de la superficie de la esfera satisface una ecuación de proporcionalidad similar a la del volumen de una bola: si Plantilla:Math es el área de superficie de una esfera Plantilla:Math de radio Plantilla:Math, entonces:

$A_{n-1}(r)=r^{n-1}{A}_{n-1}(1).$

Aplicando esto a la integral anterior da la expresión:

$A_{n-1}(1)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2}{r}^2)r^{n-1}dr.$

Al sustituir Plantilla:Math, la expresión se transforma en:

$A_{n-1}(1)2^{\frac{n-2}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{\frac{n-2}{2}}dt.$

Esta es la función gamma evaluada en Plantilla:Math.

La combinación de las dos integraciones muestra que:

$A_{n-1}(1)=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}.$

Para deducir el volumen de una Plantilla:Math-bola de radio Plantilla:Math a partir de esta fórmula, se integra el área de la superficie de una esfera de radio Plantilla:Math para Plantilla:Math y se aplica la ecuación funcional Plantilla:Math:

$V_n(R)=\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{r}^{n-1}dr=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{n\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{R}^n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n.$

Demostración geométrica

Las relaciones $V_{n+1}(R)=\frac{R}{n+1}{A}_n(R)$ y $A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_n(R)$ y, por lo tanto, los volúmenes de n-bolas y las áreas de n-esferas también se pueden deducir geométricamente. Como se señaló anteriormente, debido a que una bola de radio $R$ se obtiene de una bola unitaria $B_n$ reescalando todas las direcciones por $R$, $V_n(R)$ es proporcional a $R^n$, lo que implica que $\frac{d{V}_n(R)}{dR}=\frac{n}{R}{V}_n(R)$. Además, $A_{n-1}(R)=\frac{d{V}_n(R)}{dR}$ porque una bola es una unión de esferas concéntricas y el radio creciente en ε corresponde a una carcasa de espesor ε . Por lo tanto, $V_n(R)=\frac{R}{n}{A}_{n-1}(R)$; equivalentemente, $V_{n+1}(R)=\frac{R}{n+1}{A}_n(R)$.

$A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_n(R)$ se deduce de la existencia de una biyección que preserva el volumen entre la esfera unidad $S_{n+1}$ y $S_1\times B_n$:

$(x,y,\overrightarrow{z})\to (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\overrightarrow{z})$

($\overrightarrow{z}$ es una n-tupla; $|(x,y,\overrightarrow{z})|=1$; se ignoran los conjuntos de medida 0). El volumen se conserva porque en cada punto, la diferencia con isometría es un estiramiento en el plano xy ($1/\sqrt{x^2+y^2}$ veces en la dirección de $x^2+y^2$ constante) que coincide exactamente con la compresión en la dirección del gradiente de $|\overrightarrow{z}|$ en $S_n$ (los ángulos relevantes son iguales). Para $S_2$, Arquímedes utilizó originalmente un argumento similar en su obra Sobre la Esfera y el Cilindro.

Bolas en las normas Plantilla:Math

También hay expresiones explícitas para los volúmenes de bolas en [[Espacios Lp|normas Plantilla:Math]]. La norma Plantilla:Math del vector Plantilla:Math en Plantilla:Math es:

${(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}},$

y una Plantilla:Math-bola es el conjunto de todos los vectores cuya norma Plantilla:Math es menor o igual a un número fijo llamado radio de la bola. El caso Plantilla:Math es la función de distancia euclidiana estándar, pero otros valores de Plantilla:Math se presentan en diversos contextos, como en la teoría de la información, la teoría de códigos y en la regularización dimensional.

El volumen de una Plantilla:Math-bola de radio Plantilla:Math es:

$V_n^p(R)=\frac{{\left(2\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{p}+1)R\right)}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{p}+1)}.$

Estos volúmenes satisfacen una relación de recurrencia similar a la recurrencia de una dimensión para Plantilla:Math:

$V_n^p(R)=\left(2\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{p}+1)R\right)\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n-1}{p}+1)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{p}+1)}{V}_{n-1}^p(R).$

Para Plantilla:Math, se recupera la recurrencia del volumen de una bola euclidiana porque Plantilla:Math.

Por ejemplo, en los casos Plantilla:Math (la geometría del taxista) y Plantilla:Math (la norma del supremo), los volúmenes son:

$\begin{array}{cc}{V}_n^1(R)& =\frac{2^n}{n!}{R}^n,\\ V_n^{\mathrm{\infty }}(R)& =(2R{)}^n.\end{array}$

Estos concuerdan con los cálculos elementales de los volúmenes de politopo de cruce y hipercubo.

Relación con el área de la superficie

Para la mayoría de los valores de Plantilla:Math, el área de la superficie $A_n^p(R)$, de una Plantilla:Math-esfera de radio Plantilla:Math (el límite de una Plantilla:Math-bola de radio Plantilla:Math) no puede calcularse diferenciando el volumen de una Plantilla:Math-bola con respecto a su radio. Si bien el volumen se puede expresar como una integral sobre el área de la superficie utilizando la fórmula del coárea, la fórmula del área contiene un factor de corrección que explica cómo la norma Plantilla:Math varía de un punto a otro. Para Plantilla:Math y Plantilla:Math, este factor es uno. Sin embargo, si Plantilla:Math, entonces el factor de corrección es Plantilla:Math: el área de la superficie de una Plantilla:Math-esfera de radio Plantilla:Math en Plantilla:Math es Plantilla:Math multiplicado por la derivada del volumen de una Plantilla:Math-bola. Esto se puede ver simplemente aplicando el teorema de la divergencia al campo vectorial Plantilla:Math para obtener

$n{V}_n^1(R)=$ $\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV=$ $S$ $(𝐅\cdot 𝐧)dS$ $=$ $S$ $\frac{1}{\sqrt{n}}(|x_1|+cdots+|x_n|)dS$ $=\frac{R}{\sqrt{n}}$ $S$ $dS$ $=\frac{R}{\sqrt{n}}{A}_n^1(R)$.

Para otros valores de Plantilla:Math, la constante es una integral muy complicada.

Generalizaciones

La fórmula del volumen puede generalizarse aún más. Para números reales positivos Plantilla:Math, defina la unidad de bola Plantilla:Math como:

$B_{p_1,\dots ,p_n}=\{x=(x_1,\dots ,x_n)\in {𝐑}^n:|x_1{|}^{p_1}+\cdots +|x_n{|}^{p_n}\le 1\}.$

El volumen de esta bola se conoce desde la época de Dirichlet:

$V(B_{p_1,\dots ,p_n})=2^n\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{p_1})\cdots \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{p_n})}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{p_1}+\cdots +\frac{1}{p_n})}.$

Véase también

• [[N-esfera|Plantilla:Math-esfera]]
• Empaquetamiento de esferas
• Contorno de Hamming

Enlaces externos

• Derivation in hyperspherical coordinates Plantilla:Fr
• Plantilla:Mathworld
• Volume of the Hypersphere at Math Reference