Número p-ádico

Los enteros 3-ádicos, con los caracteres correspondientes seleccionados en su grupo de dualidad de Pontriaguin

En matemáticas, el sistema numérico Plantilla:Mvar-ádico para cualquier número primo Plantilla:Mvar extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente a la extensión de los números racionales a los sistemas numéricos real y complejo. La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de cercanía o valor absoluto. En particular, se considera que dos números Plantilla:Mvar-ádicos están cerca cuando su diferencia es divisible por una potencia elevada de Plantilla:Mvar: cuanto mayor es la potencia, más cerca están. Esta propiedad permite que los números Plantilla:Mvar-ádicos codifiquen la información de congruencia de una manera que resulta tener aplicaciones de gran alcance en teoría de números, incluida, por ejemplo, la famosa demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles.

Estos números fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como el uso implícito de números Plantilla:Mvar-ádicos. Los números Plantilla:Mvar-ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de las series de potencias a la teoría de números. Su influencia ahora se extiende mucho más allá de este propósito inicial. Por ejemplo, el cuerpo del [[análisis p-ádico|análisis Plantilla:Mvar-ádico]] proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo infinitesimal.

Más formalmente, para un primo Plantilla:Mvar dado, el cuerpo ${\mathbb{Q}}_p$ de los números Plantilla:Mvar-ádicos es una compleción métrica de los números racionales en la norma o valor absoluto p-ádico $|\cdot {|}_p$. El cuerpo ${\mathbb{Q}}_p$ también recibe una topología derivada de una métrica, que a su vez se deriva del [[Valor p-ádico|orden Plantilla:Math-ádico]], una valoración alternativa en los números racionales. Este espacio métrico es completo en el sentido de que cada sucesión de Cauchy converge hasta un punto en ${\mathbb{Q}}_p$. Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo en ${\mathbb{Q}}_p$, y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica lo que le da a los sistemas numéricos Plantilla:Mvar-ádicos su gran utilidad.

La letra Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar-ádico es una variable y puede ser reemplazada por un número primo (lo que produce, por ejemplo, los números 2-ádicos) u otra expresión que represente a un número primo. El término "ádico" de "Plantilla:Mvar-ádico" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádico o triádico.

Expansión p-ádica de los números racionales

La representación decimal de un número racional $r$ positivo es su representación como series

$r=\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_{i}10^{-i},$

donde $k$ es un número entero y cada $a_i$ es también un número entero tal que $0\le a_i<10.$ Esta expansión puede ser calculada mediante la división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: si $r=\frac{n}{d}$ es un número racional tal que $10^k\le r<10^{k+1},$ hay un entero $a$ tal que $0<a<10,$ y $r=a10^k+r^{\prime },$ con $r^{\prime }<10^k.$ La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto $r^{\prime }$ que en la iteración asume el papel del número racional original $r$.

La expansión Plantilla:Mvar-ádica de un número racional se define de manera similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un número primo $p$ fijo, cada número racional distinto de cero $r$ se puede escribir únicamente como $r=p^k\frac{n}{d},$, donde $k$ es un número entero (posiblemente negativo), $n$ y $d$ son números coprimos, ambos coprimos con $p$, y $d$ es positivo. El entero $k$ es la valoración Plantilla:Mvar-ádica de $r$, denotada como $v_p(r),$ y $p^{-k}$ es su valor absoluto Plantilla:Mvar-ádico, denotado como $|r{|}_p$ (el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir

Plantilla:Anchor$r=a{p}^k+r^{\prime }$

donde $a$ es un número entero tal que $0\le a<p,$ y $r^{\prime }$ es cero o un número racional tal que $|r^{\prime }{|}_p<p^{-k}$ (es decir, $v_p(r^{\prime })>k$).

La expansión $p$-ádica de $r$ es la serie formal de potencias

$r=\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i$

obtenido repitiendo indefinidamente el paso de división explicado anteriormente en residuos sucesivos. En una expansión Plantilla:Mvar-ádica, todos los $a_i$ son enteros tales que $0\le a_i<p.$

Si $r=p^k\frac{n}{1}$ con $n>0$, el proceso finalmente se detiene con un resto cero; en este caso, la serie se completa con términos finales con coeficiente cero, y es la representación de $r$ en [[Notación posicional|base-Plantilla:Mvar]].

La existencia y el cálculo de la expansión Plantilla:Mvar-ádica de un número racional resulta de la identidad de Bézout de la siguiente manera. Si, como anteriormente, $r=p^k\frac{n}{d},$ y $d$ y $p$ son coprimos, existen los enteros $t$ y $u$ tales que $td+up=1.$ Entonces

$r=p^k\frac{n}{d}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}\frac{un}{d}.$

y además, la división euclídea de $nt$ por $p$ da

$nt=qp+a,$

con $0\le a<p.$

Esto da el paso de división como

$\begin{array}{ccc}r& =& p^k(qp+a)+p^{k+1}\frac{un}{d}\\ & =& a{p}^k+p^{k+1}\frac{qd+un}{d},\end{array}$

para que en la iteración

$r^{\prime }=p^{k+1}\frac{qd+un}{d}$

genere el nuevo número racional.

Comprobar la unicidad del paso de división y de toda la expansión Plantilla:Mvar-ádica es fácil: si $p^k{a}_1+p^{k+1}{s}_1=p^k{a}_2+p^{k+1}{s}_2,$ se tiene que $a_1-a_2=p(s_2-s_1).$ Esto significa que $p$ divide a $a_1-a_2.$ Dado que $0\le a_1<p$ y $0\le a_2<p,$ debe ser cierto que $0\le a_1$ y $a_2<p.$ Así, uno obtiene $-p<a_1-a_2<p,$ y como $p$ divide a $a_1-a_2$ eso debe ser $a_1=a_2.$

La expansión Plantilla:Mvar-ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de serie convergente con el valor absoluto Plantilla:Mvar-ádico.

En la notación estándar Plantilla:Mvar-ádica, los dígitos se escriben en el mismo orden que en el [[Notación posicional|sistema estándar en base Plantilla:Mvar]], es decir, con las potencias de la base aumentando hacia la izquierda. Esto significa que la producción de los dígitos se invierte y el límite se sitúa en el lado izquierdo.

La expansión Plantilla:Mvar-ádica de un número racional es finalmente periádica. Recíprocamente, una serie ${\sum }_{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i,$ con $0\le a_i<p$ converge (para el valor absoluto Plantilla:Mvar-ádico) a un número racional si y solo si finalmente es periódico. En este caso, la serie es la expansión Plantilla:Mvar-ádica de ese número racional. La demostración es similar al resultado similar a un número decimal periódico.

Ejemplo

Se va a calcular la expansión 5-ádica según la identidad de Bézout para $\frac{1}{3}.$ El número p es $5$ y el denominador es $3$. Por lo tanto, $2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1$ (para ejemplos más grandes, esto se puede calcular con el algoritmo de Euclides extendido). De este modo

$\frac{1}{3}=2-\frac{5}{3}.$

Para el siguiente paso, se tiene que dividir $-1/3$ (el factor 5 en el numerador de la fracción tiene que ser visto como un cambio de la valoración Plantilla:Mvar-ádica, y por lo tanto, no está involucrado en la división). Multiplicando la identidad de Bézout por $-1$ se obtiene

$-\frac{1}{3}=-2+\frac{5}{3}.$

La "parte entera" $-2$ no está en el intervalo derecho. Entonces, se tiene que usar la división euclídea por $5$ para obtener $-2=3-1\cdot 5,$ dando

$-\frac{1}{3}=3-5+\frac{5}{3}=3-\frac{10}{3},$

y

$\frac{1}{3}=2+3\cdot 5+\frac{-2}{3}\cdot 5^2.$

Del mismo modo, se tiene que

$-\frac{2}{3}=1-\frac{5}{3},$

y

$\frac{1}{3}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^2+\frac{-1}{3}\cdot 5^3.$

Como ya se ha encontrado el resto $-\frac{1}{3}$, el proceso puede continuar fácilmente, dando coeficientes $3$ para potencias impares de cinco y $1$ para potencias pares. O en la notación estándar 5-ádica

$\frac{1}{3}=\dots 1313132_5$

con los puntos suspensivos $\dots$ en el lado izquierdo.

Serie p-ádica

En este artículo, dado un número primo Plantilla:Mvar, una serie Plantilla:Mvar-ádica es una serie formal de potencias de la forma

$\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i,$

donde todo $a_i$ distinto de cero es un número racional $a_i=\frac{n_i}{d_i},$ tal que ninguno de los $n_i$ y $d_i$ es divisible por Plantilla:Mvar. Si se interpretretan los números en la serie anterior como números reales, la serie podría no converger y por eso se habla de una serie formal. Aunque si los números se interpetan como números p-ádicos $a_i,p\in {\mathbb{Q}}_p$ entonces la serie es convergente bajo el valor absoluto p-ádico $|\cdot {|}_p$. Se tienen los siguientes hechos:

• Todo número racional puede verse como una serie Plantilla:Mvar-ádica con un solo término, que consiste en su factorización de la forma $p^k\frac{n}{d},$ con Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar, ambos coprimos con Plantilla:Mvar.
• Una serie Plantilla:Mvar-ádica está normalizada si cada $a_i$ es un número entero en un intervalo $[0,p-1].$ Por lo tanto, la expansión Plantilla:Mvar-ádica de un número racional es una serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada.
• El [[Valor p-ádico|valor Plantilla:Mvar-ádico, u orden Plantilla:Mvar-ádico]] de una serie Plantilla:Mvar-ádica distinta de cero es el entero más bajo Plantilla:Mvar tal que $a_i\ne 0.$ El orden de la serie cero es infinito $\mathrm{\infty }.$
• Dos series Plantilla:Mvar-ádicas son equivalentes si tienen el mismo orden Plantilla:Mvar, y si para cada entero Plantilla:Math la diferencia entre sus sumas parciales

$\sum _{i=k}^n{a}_i{p}^i-\sum _{i=k}^n{b}_i{p}^i=\sum _{i=k}^n(a_i-b_i)p^i$

tiene un orden mayor que Plantilla:Mvar (es decir, es un número racional de la forma $p^k\frac{a}{b},$ con $k>n,$ y Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar ambos coprimos con Plantilla:Mvar).

Para cada serie Plantilla:Mvar-ádica $S$, hay una única serie normalizada $N$ tal que $S$ y $N$ son equivalentes. $N$ es la normalización de $S.$ La prueba es similar a la prueba de existencia de la expansión Plantilla:Mvar-ádica de un número racional. En particular, cada número racional puede considerarse como una serie Plantilla:Mvar-ádica con un solo término distinto de cero, y la normalización de esta serie es exactamente la representación racional del número racional.

En otras palabras, la equivalencia de la serie Plantilla:Mvar-ádica es una relación de equivalencia, y cada clase de equivalencia contiene exactamente una serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada.

Las operaciones usuales de series (suma, resta, multiplicación, división) asignan series Plantilla:Mvar-ádicas a series Plantilla:Mvar-ádicas, y son compatibles con la equivalencia de series Plantilla:Mvar-ádicas. Es decir, denotando la equivalencia con Plantilla:Math, si Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son series Plantilla:Mvar-ádicas distintas de cero tales que $S\sim T,$ se tiene que

$\begin{array}{cc}S\pm U& \sim T\pm U,\\ SU& \sim TU,\\ 1/S& \sim 1/T.\end{array}$

Además, Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar tienen el mismo orden y el mismo primer término.

Notación posicional

Es posible usar una notación posicional similar a la que se usa para representar números en base Plantilla:Mvar.

Sea ${\sum }_{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i$ una serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada, es decir, cada $a_i$ es un número entero en el intervalo $[0,p-1].$ Se puede suponer que $k\le 0$ al establecer $a_i=0$ para $0\le i<k$ (si $k>0$), y sumando los términos cero resultantes a la serie.

Si $k\ge 0,$, la notación posicional consiste en escribir $a_i$ consecutivamente, ordenados por valores decrecientes de Plantilla:Mvar, a menudo con Plantilla:Mvar apareciendo a la derecha como un índice:

$\dots a_n\dots a_1{a_0}_p$

Entonces, el cálculo del ejemplo anterior muestra que

$\frac{1}{3}=\dots 1313132_5,$

y

$\frac{25}{3}=\dots 131313200_5.$

Cuando $k<0,$ se añade un punto de separación antes de los dígitos con índice negativo y, si el índice Plantilla:Mvar está presente, aparece justo después del punto de separación. Por ejemplo,

$\frac{1}{15}=\dots 3131313{.}_{5}2,$

y

$\frac{1}{75}=\dots 1313131{.}_{5}32.$

Si una representación Plantilla:Mvar-ádica es finita por la izquierda (es decir, $a_i=0$ para valores grandes de Plantilla:Mvar), entonces tiene el valor de un número racional no negativo de la forma $n{p}^v,$ con $n,v$ enteros. Estos números racionales son exactamente los números racionales no negativos que tienen una representación finita en base Plantilla:Mvar. Para estos números racionales, las dos representaciones son iguales.

Definición

Hay varias definiciones equivalentes de números Plantilla:Mvar-ádicos. La que se da aquí es relativamente elemental, ya que no implica ningún otro concepto matemático que los introducidos en las secciones anteriores. Otras definiciones equivalentes usan la compleción de un anillo de valoración discreta (véase enteros p-ádicos), espacio métrico completo (véase propiedades topológicas), o límites inversos (véase propiedades modulares).

Un número Plantilla:Mvar-ádico se puede definir como una "serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada". Dado que hay otras definiciones equivalentes que se usan comúnmente, se dice a menudo que una serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada "representa" un número Plantilla:Mvar-ádico, en lugar de decir que "es" un número Plantilla:Mvar-ádico.

También se puede decir que cualquier serie Plantilla:Mvar-ádica representa un número Plantilla:Mvar-ádico, ya que cada serie Plantilla:Mvar-ádica es equivalente a una única serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada. Esto es útil para definir operaciones (suma, resta, multiplicación, división) de números Plantilla:Mvar-ádicos: el resultado de tal operación se obtiene normalizando el resultado de la operación correspondiente en serie. Esto define bien las operaciones sobre números Plantilla:Mvar-ádicos, ya que las operaciones en serie son compatibles con la equivalencia de series Plantilla:Mvar-ádicas.

Con estas operaciones, los números Plantilla:Mvar-ádicos forman un cuerpo llamado campo de números Plantilla:Math-ádicos y denotado como ${\mathbb{Q}}_p$ o ${𝐐}_p.$. Hay un homomorfismo de cuerpo único de los números racionales sobre los números Plantilla:Mvar-ádicos, que representa cada número por su expansión Plantilla:Mvar-ádica. La imagen de este homomorfismo se identifica comúnmente con el cuerpo de los números racionales. Esto permite considerar los números Plantilla:Math-ádicos como una extensión de los números racionales, y los números racionales como un subcampo de los números Plantilla:Math-ádicos.

La valoración de un número Plantilla:Mvar-ádico Plantilla:Mvar distinto de cero, comúnmente denominada $v_p(x),$, es el exponente de Plantilla:Mvar en el primer término distinto de cero de cada serie Plantilla:Mvar-ádica que representa a Plantilla:Mvar. Por convención, $v_p(0)=\mathrm{\infty };$ es decir, la valoración de cero es $\mathrm{\infty }.$ Esta valoración es una valoración discreta. La restricción de esta valoración a los números racionales es la valoración Plantilla:Mvar-ádica de $\mathbb{Q},$, es decir, el exponente Plantilla:Mvar en la factorización de un número racional como $\frac{n}{d}{p}^v,$ tanto con Plantilla:Mvar como con Plantilla:Mvar números coprimos con respecto a Plantilla:Mvar.

Enteros p-ádicos

Los enteros Plantilla:Mvar-ádicos son los números Plantilla:Mvar-ádicos con una valoración no negativa.

Un entero Plantilla:Mvar-ádico se puede representar como una secuencia

$x=(x_1\mathrm{mod}p,x_2\mathrm{mod}{p}^2,x_3\mathrm{mod}{p}^3,\dots )$

de residuos Plantilla:Mvar mod Plantilla:Mvar para cada entero Plantilla:Mvar, satisfaciendo las relaciones de compatibilidad $x_i\equiv x_j(\mathrm{mod}{p}^i)$ para Plantilla:Mvar.

Cada número entero es un entero Plantilla:Mvar-ádico (incluyendo cero, cuya valoración por convenio es $0<\mathrm{\infty }$). Los números racionales de la forma $\frac{n}{d}{p}^k$ con Plantilla:Mvar coprimo con respecto a Plantilla:Mvar y con $k\ge 0$ también son números enteros Plantilla:Mvar-ádicos (por la razón de que Plantilla:Mvar tiene un módulo inverso Plantilla:Mvar para cada Plantilla:Mvar).

Los enteros Plantilla:Mvar-ádicos forman un anillo conmutativo, denominado ${\mathbb{Z}}_p$ o ${𝐙}_p$, que tiene las siguientes propiedades:

• Es un dominio de integridad, ya que es un subanillo de un cuerpo, o porque el primer término de la serie representativa del producto de dos series Plantilla:Mvar-ádicas distintas de cero es el producto de sus primeros términos.
• Las unidades (elementos invertibles) de ${\mathbb{Z}}_p$ son los números Plantilla:Mvar-ádicos de valoración cero.
• Es un dominio de ideales principales, tal que cada ideal es generado por una potencia de Plantilla:Mvar.
• Es un anillo local de dimensión de Krull, ya que sus únicos ideales primos son los elementos cero y el ideal generado por Plantilla:Mvar el único ideal maximal.
• Es un anillo de valoración discreta, lo que resulta de las propiedades anteriores.
• Es la compleción del anillo local ${\mathbb{Z}}_{(p)}=\{\frac{n}{d}\mid n,d\in \mathbb{Z},d\in ̸p\mathbb{Z}\},$ que es la localización de $\mathbb{Z}$ en el ideal primo $p\mathbb{Z}.$
• El cardinal del dicho conjunto igual al de los números reales $\text{card}({\mathbb{Z}}_p)=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

La última propiedad proporciona una definición de los números Plantilla:Mvar-ádicos que es equivalente a la anterior: el cuerpo de los números Plantilla:Mvar-ádicos es el cuerpo de fracciones de la compleción de la localización de los enteros en el ideal primo generado por Plantilla:Mvar.

Propiedades topológicas

La valoración Plantilla:Mvar-ádica permite definir un valor absoluto sobre los números Plantilla:Mvar-ádicos: el valor absoluto Plantilla:Mvar-ádico de un número Plantilla:Mvar-ádico distinto de cero Plantilla:Mvar es

$|x{|}_p=p^{-v_p(x)},$

donde $v_p(x)$ es la valoración Plantilla:Mvar-ádica de Plantilla:Mvar. El valor absoluto Plantilla:Mvar-ádico de $0$ es $|0{|}_p=0.$ Este es un valor absoluto que satisface el espacio ultramétrico ya que, para cada Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar se tiene que

• $|x{|}_p=0$ si y solo si $x=0;$
• $|x{|}_p\cdot |y{|}_p=|xy{|}_p$
• $|x+y{|}_p\le \max (|x{|}_p,|y{|}_p)\le |x{|}_p+|y{|}_p.$

Además, si $|x{|}_p\ne |y{|}_p,$ se tiene que $|x+y{|}_p=\max (|x{|}_p,|y{|}_p).$

Esto hace de los números Plantilla:Mvar-ádicos un espacio métrico, e incluso un espacio ultramétrico, con la distancia Plantilla:Mvar-ádica definida por $d_p(x,y)=|x-y{|}_p.$

Como espacio métrico, los números Plantilla:Mvar-ádicos forman la completación de los números racionales equipados con el valor absoluto Plantilla:Mvar-ádico. Esto proporciona otra forma de definir los números Plantilla:Mvar-ádicos. Sin embargo, la construcción general de una terminación se puede simplificar en este caso, porque la métrica se define por una valoración discreta (en resumen, se puede extraer de cada sucesión de Cauchy una subsecuencia tal que las diferencias entre dos términos consecutivos tienen valores absolutos estrictamente decrecientes; tal subsecuencia es la secuencia de los términos de una serie Plantilla:Mvar-ádica, y por lo tanto una única serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada puede asociarse a cada clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy, por lo que para construir la completación basta considerar la serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada en lugar de las clases de equivalencia de las sucesiones de Cauchy).

Como la métrica se define a partir de una valoración discreta, cada bola es también cerrada. Más precisamente, la bola abierta $B_r(x)=\{y\mid d_p(x,y)<r\}$ es igual a la bola cerrada $B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},$ donde Plantilla:Mvar es el menor entero tal que $p^{-v}<r.$ De manera similar, $B_r[x]=B_{p^{-w}}(x),$ donde Plantilla:Mvar es el mayor entero tal que $p^{-w}>r.$ Esto implica que el espacio topológico de los números p-ádicos ${\mathbb{Q}}_p$ con la topología definida por la norma p-ádica, es un espacio completamente disconexo.

Esto implica que los números Plantilla:Mvar-ádicos forman una estructura con compacidad local; y que los enteros Plantilla:Mvar-ádicos, es decir, las bolas $B_1[0]=B_p(0)$, forman un espacio compacto.

Como espacio métrico los números p-ádicos forman un espacio métrico completo. Aunque no son un cuerpo algebraicamente cerrado. La clausura algebrica denotada como ${\overline{\mathbb{Q}}}_p$ vuelce a no ser métricamente completa. Sin embargo, se puede construir un cuerpo algebraico cerrado, que además sea un espacio métrico completo y contenga a ${\mathbb{Q}}_p$. Ese cuerpo se suele denotar como $\mathrm{\Omega }$ o bien como ${ℂ}_p$.

Propiedades modulares

El anillo cociente ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ se puede identificar con el anillo $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ de los enteros respecto al módulo $p^n.$ Esto se puede demostrar observando que todo entero Plantilla:Mvar-ádico, representado por su serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada, es congruente módulo $p^n$ con su serie ${\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i{p}^i,$ cuyo valor es un entero en el intervalo $[0,p^n-1].$ Una verificación directa muestra que esto define un homomorfismo de anillos de ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ a $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.$

El límite inverso de los anillos ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$ se define como el anillo formado por las secuencias $a_0,a_1,\dots$ tal que $a_i\in \mathbb{Z}/p^i\mathbb{Z}$ y $a_i\equiv a_{i+1}(\mathrm{mod}{p}^i)$ para cada Plantilla:Mvar.

La aplicación que hace corresponder una serie Plantilla:Mvar-ádica normalizada a la secuencia de sus sumas parciales es un isomorfismo de anillo desde ${\mathbb{Z}}_p$ hasta el límite inverso de ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p.$. Esto proporciona otra forma de definir enteros Plantilla:Mvar-ádicos (salvo un isomorfismo).

Esta definición de enteros Plantilla:Mvar-ádicos es especialmente útil para cálculos prácticos, ya que permite construir enteros Plantilla:Mvar-ádicos mediante aproximaciones sucesivas.

Por ejemplo, para calcular el inverso Plantilla:Mvar-ádico (multiplicativo) de un número entero, se puede utilizar el método de Newton, a partir del módulo inverso Plantilla:Mvar; y luego, para cada paso del método de Newton calcula el módulo inverso $p^{n^2}$ del módulo inverso $p^n.$

Se puede usar el mismo método para calcular la raíz cuadrada Plantilla:Mvar-ádica de un número entero que es un residuo cuadrático módulo Plantilla:Mvar. Este parece ser el método conocido más rápido para probar si un entero grande es un cuadrado: basta con probar si el entero dado es el cuadrado del valor encontrado en ${\mathbb{Z}}_p/p^n{\mathbb{Z}}_p$. La aplicación del método de Newton para encontrar la raíz cuadrada requiere que $p^n$ sea mayor que el doble del entero dado, lo que se satisface rápidamente.

La elevación de Hensel es un método similar que permite elevar el módulo de factorización Plantilla:Mvar de un polinomio con coeficientes enteros a un módulo de factorización $p^n$ para valores grandes de Plantilla:Mvar. Esto es comúnmente utilizado por los algoritmos de factorización de polinomios.

Notación

Hay varias convenciones diferentes para escribir expansiones Plantilla:Mvar-ádicas. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para expansiones Plantilla:Mvar-ádicas en las que las potencias de Plantilla:Mvar aumentan de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de Plantilla:Frac, por ejemplo, se escribe como

$\frac{1}{5}=\dots 121012102_3.$

Al realizar operaciones aritméticas en esta notación, los dígitos son acarreados a la izquierda. También es posible escribir expansiones Plantilla:Mvar-ádicas de modo que las potencias de Plantilla:Mvar aumenten de izquierda a derecha y los dígitos se lleven a la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión 3-ádica de Plantilla:Frac es

$\frac{1}{5}=2.01210121{\dots }_3\text{or }\frac{1}{15}=20.1210121{\dots }_3.$

Las expansiones Plantilla:Mvar-ádicas pueden escribirse con otros conjuntos de dígitos en lugar de {0, 1, ..., Plantilla:Math}. Por ejemplo, la expansión 3-ádica de ¹/₅ se puede escribir usando los dígitos en sistema ternario equilibrado {1,0,1} como

$\frac{1}{5}=\dots \underset{\_}{1}11\underset{\_}{11}11\underset{\_}{11}11{\underset{\_}{1}}_{\text{3}}.$

De hecho, cualquier conjunto de números enteros Plantilla:Mvar que estén en distintos clases de residuos módulo Plantilla:Mvar puede utilizarse como dígitos Plantilla:Mvar-ádicos. En teoría de números, las representaciones de Teichmüller a veces se usan como dígitos.

La notación con comillas es una variante de la representación Plantilla:Mvar-ádica de los números racionales que fue propuesta en 1979 por Eric Hehner y Nigel Horspool para manejar en las computadoras la aritmética (exacta) generada con estos números.

Cardinalidad

Tanto ${\mathbb{Z}}_p$ como ${\mathbb{Q}}_p$ son no numerables y poseen la cardinalidad del continuo. Para ${\mathbb{Z}}_p,$ esto resulta de la representación Plantilla:Mvar-ádica, que define una función biyectiva de ${\mathbb{Z}}_p$ sobre el conjunto de potencias $\{0,\dots ,p-1{\}}^{\mathbb{N}}.$ Para ${\mathbb{Q}}_p$ esto resulta de su expresión como conjunto numerable unión de copias de ${\mathbb{Z}}_p$:

${\mathbb{Q}}_p=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p^i}{\mathbb{Z}}_p.$

Cierre algebraico

Plantilla:Math contiene a Plantilla:Math y es un cuerpo de característica Plantilla:Math.Plantilla:Anchor Debido a que Plantilla:Math se puede escribir como suma de cuadrados, Plantilla:Math no se puede convertir en un cuerpo ordenado.

El conjunto de los números reales Plantilla:Math tiene solo una única extensión algebraica propia: los números complejos Plantilla:Math. En otras palabras, esta extensión de cuerpos ya es algebraicamente cerrada. Por el contrario, la clausura algebraica de Plantilla:Math, denotado como $\overline{{𝐐}_p},$ tiene grado infinito, es decir, Plantilla:Math tiene infinitas extensiones algebraicas no equivalentes. También contrastando el caso de los números reales, aunque existe una única extensión de la valoración Plantilla:Mvar-ádica a $\overline{{𝐐}_p},$ esta última no es (métricamente) completa. Su completación (métrica) se denomina Plantilla:Math o Plantilla:Math. Aquí se llega a una estructura completa, ya que Plantilla:Math es algebraicamente cerrado. Sin embargo, a diferencia de Plantilla:Math, este cuerpo no posee compacidad local.

Los conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math son isomorfos como anillos Plantilla:CR, por lo que se puede considerar a Plantilla:Math como Plantilla:Math dotado de una métrica exótica. La prueba de la existencia de tal isomorfismo de cuerpo se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es una demostración constructiva).

Si Plantilla:Math es una extensión de Galois finita de Plantilla:Math, el grupo de Galois $\mathrm{Gal}(𝐊/{𝐐}_p)$ es resoluble. Así, el grupo de Galois $\mathrm{Gal}(\overline{{𝐐}_p}/{𝐐}_p)$ es prorresoluble.

Grupo multiplicativo

Plantilla:Math contiene el Plantilla:Mvar-ésimo cuerpo ciclotómico (Plantilla:Math) si y solo si Plantilla:Math. Por ejemplo, el cuerpo ciclotómico Plantilla:Mvar-ésimo es un subcuerpo de Plantilla:Math si y solo si Plantilla:Math o Plantilla:Math. En particular, no existe una Plantilla:Mvar-torsión multiplicativa en Plantilla:Math, si Plantilla:Math. Además, Plantilla:Math es el único elemento de torsión no trivial en Plantilla:Math.

Dado un número natural Plantilla:Mvar, el índice del grupo multiplicativo de las Plantilla:Mvar-ésimas potencias de los elementos distintos de cero de Plantilla:Math en ${𝐐}_p^{\times }$ es finito.

El número Plantilla:Mvar, definido como la suma de recíprocos de factoriales, no es miembro de ningún cuerpo Plantilla:Mvar-ádico; pero Plantilla:Math. Para Plantilla:Math se debe tomar al menos la cuarta potencia. Por lo tanto, un número con propiedades similares a las de Plantilla:Mvar, es decir, una raíz Plantilla:Mvar-ésima de Plantilla:Math, es miembro de $\overline{{𝐐}_p}$ para todos los Plantilla:Mvar.

Principio local-global

Según el principio local-global de Helmut Hasse, una ecuación se puede resolver sobre los números racionales si y solo si se puede resolver sobre los números reales y sobre los números Plantilla:Mvar-ádicos para cada primo Plantilla:Mvar. Este principio se cumple, por ejemplo, para ecuaciones dadas por formas cuadráticas, pero falla para polinomios superiores con varias varables.

Generalizaciones y conceptos relacionados

Los números reales y los números Plantilla:Mvar-ádicos son los complementos de los números racionales; pero también es posible completar otros cuerpos de manera análoga, como por ejemplo el cuerpo de números algebraicos generales. Esta propiedad se describe a continuación.

Supóngase que D es un dominio de Dedekind y E es su cuerpo de fracciones. Elíjase un ideal primo P de D distinto de cero. Si x es un elemento distinto de cero de E, entonces xD es un ideal fraccional y se puede factorizar de forma única como un producto de potencias positivas y negativas de ideales primos distintos de cero de D. Entonces, se escribe ord_P(x) para el exponente de P en esta factorización, y para cualquier elección de número c mayor que 1 se puede establecer que

$|x{|}_P=c^{-{\mathrm{ord}}_P(x)}.$

La completación con respecto a este valor absoluto|.|_P produce un cuerpo E_P, lo que supone la generalización propia del cuerpo de los números p-ádicos respecto a esta configuración. La elección de c no cambia la completación (diferentes elecciones producen el mismo concepto de sucesión de Cauchy, por lo que se obtiene la misma completación). Es conveniente, cuando el cuerpo residuo D/P es finito, tomar c el tamaño de D/P.

Por ejemplo, cuando E es un cuerpo de números algebraicos, el teorema de Ostrowski afirma que todo valor absoluto no arquimediano no trivial en E surge como algún|.|_P. Los restantes valores absolutos no triviales de E surgen de las diferentes incrustaciones de E en los números reales o complejos. De hecho, los valores absolutos no arquimedianos pueden considerarse simplemente como las diferentes incrustaciones de E en los campos C_p, poniendo así la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un cuerpo numérico en una base común.

A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las terminaciones mencionadas anteriormente cuando E es un cuerpo numérico (o, más generalmente, un cuerpo global), que se considera que codifica información local. Esto se logra mediante los anillos adeles y los grupos ideles.

Los enteros p-ádicos se pueden extender a los solenoides p-ádicos ${𝕋}_p$. Existe una aplicación de ${𝕋}_p$ sobre el grupo circular cuyas fibras son los enteros p-ádicos ${\mathbb{Z}}_p$, en analogía a como existe una aplicación de $ℝ$ sobre el círculo cuyas fibras son $\mathbb{Z}$.

Referencias

Bibliografía

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation. — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
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Lecturas relacionadas

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Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
• Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
• An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
• Efficient p-adic arithmetic (slides)
• Introduction to p-adic numbers
• Plantilla:Citation