Funcional de Minkowski

Interpretación geométrica del funcional de Minkowski

En matemáticas, en el campo del análisis funcional, un funcional de Minkowski (en referencia al matemático alemán Hermann Minkowski) o función de calibre es una aplicación que establece una noción de distancia en un espacio lineal.

Si $K$ es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo $X$, entonces el Plantilla:Enf o Plantilla:Enf de $K$ se caracteriza como la función $p_K:X\to [0,\mathrm{\infty }]$, sobre la recta real extendida, definida por

$p_K(x):=\inf \{r\in ℝ:r>0\text{ y }x\in rK\}\text{ para todo }x\in X$,

donde el ínfimo del conjunto vacío se define como el infinito positivo $\mathrm{\infty }$, (que Plantilla:Enf es un número real, por lo que $p_K(x)$ Plantilla:Enf tendría entonces un valor real).

A menudo se supone (o se elige) que el conjunto $K$ tenga algunas propiedades determinadas, como ser un disco absorbente en $X$, lo que garantiza que $p_K$ será una seminorma de valor real en $X$.

De hecho, cada seminorma $p$ en $X$ es igual al funcional de Minkowski (es decir, $p=p_K$) de cualquier subconjunto $K$ de $X$ que satisfaga que $\{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\le 1\}$ (donde los tres conjuntos son necesariamente absorbentes en $X$ y el primero y el último también son discos).

Así, cada seminorma (que es una Plantilla:Enf definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de forma no única) con un disco absorbente (que es un Plantilla:Enf con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski (que necesariamente será una seminorma).

Estas relaciones entre seminormas, funcionales de Minkowski y discos absorbentes son una de las principales razones por las que los funcionales de Minkowski se estudian y utilizan en el análisis funcional. En particular, a través de estas relaciones, los funcionales de Minkowski permiten traducir ciertas propiedades Plantilla:Enf de un subconjunto de $X$ y asociarlas con ciertas propiedades Plantilla:Enf de una función en $X$.

La función de Minkowski siempre es no negativa (es decir, $p_K\ge 0$). Esta propiedad de ser no negativa contrasta con otras clases de funciones, como la función sublineal y el funcional lineal real, que sí permiten valores negativos. Sin embargo, es posible que $p_K$ no tenga un valor real, ya que para cualquier $x\in X$, dado, el valor $p_K(x)$ es un número real si y solo si $\{r>0:x\in rK\}$ no es vacío.

En consecuencia, generalmente se supone que $K$ tiene propiedades (como ser absorbente en $X$, por ejemplo) que garantizarán que $p_K$ tenga un valor real.

Definición

Sea $K$ un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo $X$. Se define el Plantilla:Enf de $K$ o el Plantilla:Enf asociado o inducido por $K$ como la función $p_K:X\to [0,\mathrm{\infty }]$, valorada en los números reales extendidos, definida por

$p_K(x):=\inf \{r>0:x\in rK\}$

donde se debe recordar que el ínfimo del conjunto vacío es $\mathrm{\infty }$, (es decir, $\inf \varnothing =\mathrm{\infty }$). Aquí, $\{r>0:x\in rK\}$ es la abreviatura de $\{r\in ℝ:r>0\text{ y }x\in rK\}$.

Para cualquier $x\in X$, $p_K(x)\ne \mathrm{\infty }$ si y solo si $\{r>0:x\in rK\}$ no está vacío. Las operaciones aritméticas en $ℝ$ se pueden extender para operar en $\pm \mathrm{\infty }$, donde $\frac{r}{\pm \mathrm{\infty }}:=0$ para todos los $-\mathrm{\infty }<r<\mathrm{\infty }$ reales distintos de cero. Los productos $0\cdot \mathrm{\infty }$ y $0\cdot -\mathrm{\infty }$ permanecen sin definir.

Algunas condiciones que hacen que un calibre tenga valor real

En el campo del análisis de convexidad, que la aplicación $p_K$ tome el valor de $\mathrm{\infty }$, no es necesariamente un problema. Sin embargo, en el análisis funcional $p_K$ casi siempre tiene un valor real (es decir, nunca toma el valor de $\mathrm{\infty }$,), lo que ocurre si y solo si el conjunto $\{r>0:x\in rK\}$ no está vacío para cada $x\in X$.

Para que $p_K$ tenga valor real basta con que el origen de $X$ pertenezca al Plantilla:Enf o Plantilla:Enf de $K$ en $X$.Plantilla:Sfn

Si $K$ es absorbente en $X$, debe recordarse que esto implica que $0\in K$, entonces el origen pertenece al interior algebraico de $K$ en $X$ y, por lo tanto, $p_K$ tiene un valor real.

A continuación se detallan las caracterizaciones de cuándo $p_K$ tiene un valor real.

Ejemplos motivadores

Ejemplo 1

Considérese un espacio vectorial normado $(X,\Vert \cdot \Vert )$, con la norma $\Vert \cdot \Vert$ y sea $U:=\{x\in X:\Vert x\Vert \le 1\}$ la bola unitaria en $X$. Entonces, para cada $x\in X$, $\Vert x\Vert =p_U(x)$. Por lo tanto, el funcional de Minkowski $p_U$ es solo la norma en $X$.

Ejemplo 2

Sea $X$ un espacio vectorial sin topología con campo escalar subyacente $𝕂$. Sea $f:X\to 𝕂$ cualquier funcional lineal en $X$ (no necesariamente continuo). Fijar $a>0$. Sea $K$ el conjunto

$K:=\{x\in X:|f(x)|\le a\}$

y sea $p_K$ el funcional de Minkowski de $K$.

Entonces

$p_K(x)=\frac{1}{a}|f(x)|\text{ para todo }x\in X$.

La función $p_K$ tiene las siguientes propiedades:

1. Es Plantilla:Enf: $p_K(x+y)\le p_K(x)+p_K(y)$
2. Es Plantilla:Enf: $p_K(sx)=|s|p_K(x)$ para todos los escalares $s$
3. Es Plantilla:Enf: $p_K\ge 0$

Por lo tanto, $p_K$ es una seminorma sobre $X$, con una topología inducida. Esto es característico de los funcionales de Minkowski definidos mediante conjuntos agradables. Existe una correspondencia uno a uno entre las seminormas y el funcional de Minkowski dado por tales conjuntos. Lo que se entiende precisamente por agradable se analiza en la siguiente sección.

Obsérvese que, a diferencia de un requisito más estricto para una norma, $p_K(x)=0$ no tiene por qué implicar que $x=0$. En el ejemplo anterior, se puede tomar un $x$ distinto de cero del núcleo de $f$. En consecuencia, la topología resultante no tiene por qué ser de Hausdorff.

Las condiciones comunes que garantizan los calibres son seminormas

Para garantizar que $p_K(0)=0$, se asumirá en adelante que $0\in K$.

Para que $p_K$ sea una seminorma, basta con que $K$ sea un disco (es decir, convexo y equilibrado) y absorbente en $X$, que son los supuestos más comunes que se le hacen a $K$.

De manera más general, si $K$ es convexo y el origen pertenece al interior algebraico de $K$, entonces $p_K$ es un funcional sublineal no negativo en $X$, lo que implica en particular que es subaditivo y homogéneo positivo. Si $K$ es absorbente en $X$, entonces $p_{[0,1]K}$ es homogéneo positivo, lo que significa que $p_{[0,1]K}(sx)=s{p}_{[0,1]K}(x)$ para todos los $s\ge 0$ reales donde $[0,1]K=\{tk:t\in [0,1],k\in K\}$.Plantilla:Sfn

Si $q$ es una función de valor real no negativa en $X$ que es homogénea positiva, entonces los conjuntos $U:=\{x\in X:q(x)<1\}$ y $D:=\{x\in X:q(x)\le 1\}$ satisfacen que $[0,1]U=U$ y $[0,1]D=D;$ Si además $q$ es absolutamente homogéneo, entonces tanto $U$ como $D$ son conjuntos equilibrados. Plantilla:Sfn

Calibres de discos absorbentes

Podría decirse que los requisitos más comunes impuestos a un conjunto $K$ para garantizar que $p_K$ sea una seminorma son que $K$ sea un disco absorbente en $X$. Debido a lo comunes que son estas suposiciones, a continuación se van a investigar las propiedades de un $p_K$ funcional de Minkowski cuando $K$ es un disco absorbente. Dado que todos los resultados mencionados anteriormente hacen pocas (si es que hay alguna) suposición sobre $K$, se pueden aplicar en este caso especial.

Propiedades algebraicas

Sea $X$ un espacio vectorial real o complejo y sea $K$ un disco absorbente en $X$.

• $p_K$ es una seminorma en $X$.
• $p_K$ es una norma en $X$ si y solo si $K$ no contiene un subespacio vectorial no trivial.Plantilla:Sfn
• $p_{sK}=\frac{1}{|s|}{p}_K$ para cualquier escalar $s\ne 0$.Plantilla:Sfn
• Si $J$ es un disco absorbente en $X$ y $J\subseteq K$ entonces $p_K\le p_J$.
• Si $K$ es un conjunto que satisface que $\{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\le 1\}$ entonces $K$ es absorbente en $X$ y $p=p_K$, donde $p_K$ es el funcional de Minkowski asociado con $K$, es decir, es el calibre de $K$.Plantilla:Sfn
  • En particular, si $K$ es como el anterior y $q$ es cualquier seminorma en $X$, entonces $q=p$ si y solo si $\{x\in X:q(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:q(x)\le 1\}$.Plantilla:Sfn
• Si $x\in X$ satisface que $p_K(x)<1$ entonces $x\in K$.

Propiedades topológicas

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial topológico (EVT) (real o complejo) (no necesariamente de Hausdorff o un espacio localmente convexo) y sea $K$ un disco absorbente en $X$. Entonces

${\mathrm{Int}}_{X}K\subseteq \{x\in X:p_K(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p_K(x)\le 1\}\subseteq {\mathrm{Cl}}_{X}K$

donde ${\mathrm{Int}}_{X}K$ es el interior y ${\mathrm{Cl}}_{X}K$ es la clausura topológica de $K$ en $X$.Plantilla:Sfn Es importante destacar que Plantilla:Enf se asumió que $p_K$ era continuo ni que $K$ tuviera propiedades topológicas.

Además, el funcional de Minkowski $p_K$ es continuo si y solo si $K$ es un entorno del origen en $X$.Plantilla:Sfn Si $p_K$ es continuo, entoncesPlantilla:Sfn

${\mathrm{Int}}_{X}K=\{x\in X:p_K(x)<1\}\text{ y }{\mathrm{Cl}}_{X}K=\{x\in X:p_K(x)\le 1\}$.

Requisitos mínimos en el conjunto

En esta sección se investiga el caso más general del calibre de Plantilla:Enf subconjunto $K$ de $X$. El caso especial más común en el que se supone que $K$ es un disco absorbente en $X$ se analizó anteriormente.

Propiedades

Todos los resultados de esta sección se pueden aplicar al caso en el que $K$ sea un disco absorbente.

En todo momento, $K$ es cualquier subconjunto de $X$.

Ejemplos

1. Si $ℒ$ es una colección no vacía de subconjuntos de $X$, entonces $p_{\cup ℒ}(x)=\inf \{p_L(x):L\in ℒ\}$ para todos los $x\in X$, donde $\cup ℒ\stackrel{\text{ def }}{=}\bigcup _{L\in ℒ}L$.
   • Por lo tanto, $p_{K\cup L}(x)=\min \{p_K(x),p_L(x)\}$ para todos los $x\in X$.
2. Si $ℒ$ es una colección no vacía de subconjuntos de $X$ y $I\subseteq X$ satisface

   $\{x\in X:p_L(x)<1\text{ para todo }L\in ℒ\}\subseteq I\subseteq \{x\in X:p_L(x)\le 1\text{ para todo }L\in ℒ\}$

   entonces $p_I(x)=\sup \{p_L(x):L\in ℒ\}$ para todos los $x\in X$.

Los siguientes ejemplos muestran que la inclusión $(0,R]K\subseteq \bigcap _{e>0}(0,R+e)K$ podría ser adecuada.

Ejemplo: Si $R=0$ y $K=X$ entonces $(0,R]K=(0,0]X=\varnothing X=\varnothing$ pero $\bigcap _{e>0}(0,e)K=\bigcap _{e>0}X=X$, lo que demuestra que es posible que $(0,R]K$ sea un subconjunto propio de $\bigcap _{e>0}(0,R+e)K$ cuando $R=0$. $◼$

El siguiente ejemplo muestra que la inclusión puede ser propia cuando $R=1$. El ejemplo se puede generalizar a cualquier $R>0$ real. Suponiendo que $[0,1]K\subseteq K$, el siguiente ejemplo es representativo de cómo sucede que $x\in X$ satisface $p_K(x)=1$ pero $x\in ̸(0,1]K$.

Ejemplo: Sea $x\in X$ distinto de cero y $K=[0,1)x$ para que $[0,1]K=K$ y $x\in ̸K$. De $x\in ̸(0,1)K=K$ se deduce que $p_K(x)\ge 1$. Que $p_K(x)\le 1$ se deduce de observar que para cada $e>0$, $(0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x$, que contiene a $x$. Así, $p_K(x)=1$ y $x\in \bigcap _{e>0}(0,1+e)K$. Sin embargo, $(0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K$ para que $x\in ̸(0,1]K$, sea lo deseado. $◼$

La homogeneidad positiva caracteriza a los funcionales de Minkowski

El siguiente teorema muestra que los funcionales de Minkowski son Plantilla:Enf aquellas funciones $f:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ que tienen cierta propiedad puramente algebraica que se encuentra comúnmente.

Este teorema se puede ampliar para caracterizar ciertas clases de aplicaciones con valores $[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ (por ejemplo, la función sublineal con valores reales) en términos de funcionales de Minkowski. Por ejemplo, se puede utilizar para describir cómo cada función homogénea real $f:X\to ℝ$ (como los funcionales lineales) se puede escribir en términos de un funcional de Minkowski único que tiene una determinada propiedad.

Caracterización de los funcionales de Minkowski que son seminormas

En el siguiente teorema, que se sigue inmediatamente de las afirmaciones anteriores, se supone que $K$ Plantilla:Enf es absorbente en $X$ y, en cambio, se deduce que $(0,1)K$ es absorbente cuando $p_K$ es una seminorma. Tampoco se supone que $K$ sea equilibrado (que es una propiedad que a menudo se requiere que tenga $K$). En su lugar, está la condición más débil de que $(0,1)sK\subseteq (0,1)K$ para todos los escalares $s$ que satisfacen que $|s|=1$. El requisito común de que $K$ sea convexo también se reduce a exigir únicamente que $(0,1)K$ sea convexo.

Funciones sublineales positivas y funcionales de Minkowski

Se puede demostrar que una función subaditiva $f:X\to ℝ$ con valor real en un espacio vectorial topológico $X$ arbitrario es continua en el origen si y solo si es uniformemente continua, donde si además $f$ es no negativa, entonces $f$ es continua si y solo si $V:=\{x\in X:f(x)<1\}$ es un entorno abierto en $X$.Plantilla:Sfn Si $f:X\to ℝ$ es subaditivo y satisface que $f(0)=0$, entonces $f$ es continuo si y solo si su valor absoluto $|f|:X\to [0,\mathrm{\infty })$ es continuo.

Una Plantilla:Enf es una función homogénea no negativo $f:X\to [0,\mathrm{\infty })$ que satisface la desigualdad triangular. De los resultados siguientes se deduce inmediatamente que para dicha función $f$, si $V:=\{x\in X:f(x)<1\}$ entonces $f=p_V$. Dado que $K\subseteq X$, la función de Minkowski $p_K$ es una función sublineal si y solo si es de valor real y subaditiva, lo que sucede si y solo si $(0,\mathrm{\infty })K=X$ y $(0,1)K$ son convexos.

Correspondencia entre conjuntos convexos abiertos y funciones sublineales continuas positivas

Véase también

• Norma asimétrica
• Espacio normado auxiliar
• Ecuación funcional de Cauchy
• Espacio localmente convexo
• Variedad de Finsler
• Teorema de Hadwiger
• Hugo Hadwiger
• Espacio localmente convexo
• Morfología matemática
• Norma vectorial
• Seminorma
• Espacio vectorial topológico

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro

Lecturas relacionadas

• F. Simeski, A.M.P. Boelens and M. Ihme. Modeling Adsorption in Silica Pores via Minkowski Functionals and Molecular Electrostatic Moments. Energies 13 (22) 5976 (2020). https://doi.org/10.3390/en13225976