Filtro (teoría de conjuntos)

En matemáticas, un filtro en un conjunto $X$ es una familia $ℬ$ de subconjuntos tal que:Plantilla:Sfn

1. $X\in ℬ$ y $\mathrm{\varnothing }\notin ℬ$
2. Si $A\in ℬ$ y $B\in ℬ$, entonces $A\cap B\in ℬ$
3. Si $A,B\subset X,A\in ℬ$ y $A\subset B$, entonces $B\in ℬ$

Se puede considerar que un filtro en un conjunto representa una "colección de subconjuntos grandes",Plantilla:Sfn siendo un ejemplo intuitivo de filtro de entornos. Los filtros aparecen en teoría del orden, en teoría de modelos y en teoría de conjuntos, pero también se pueden encontrar en topología, de donde se originan. La noción dual de filtro es la de ideal.

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937Plantilla:SfnPlantilla:Sfn y, como se describe en el artículo dedicado a filtros en topología, Nicolas Bourbaki los utilizó posteriormente en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción relacionada de red desarrollada en 1922 por E. H. Moore y Herman L. Smith. Los filtros de orden son generalizaciones de filtros desde conjuntos hasta conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios. Específicamente, un filtro en un conjunto es simplemente un filtro de orden adecuado en el caso especial en el que el conjunto parcialmente ordenado consiste en el conjunto potencia ordenado por el criterio de inclusión.

Preliminares, notación y nociones básicas

En este artículo, las letras romanas mayúsculas como $S\text{ y }X$ denotan conjuntos (pero no familias, a menos que se indique lo contrario) y $\mathrm{\wp }(X)$ denotará el conjunto potencia de $X.$ Un subconjunto de un conjunto potencia se llama Plantilla:Enf (o simplemente, Plantilla:Enf) donde se define sobre Plantilla:Enf si es un subconjunto de $\mathrm{\wp }(X).$ Las familias de conjuntos se indicarán con letras de caligrafía mayúsculas como $ℬ,𝒞,\text{ y }ℱ.$ Siempre que se necesiten estas suposiciones, se debe asumir que $X$ no está vacío y que $ℬ,ℱ,$ etc., son familias de conjuntos sobre $X.$

Los términos "prefiltro" y "base de filtros" son sinónimos y se utilizarán indistintamente.

Advertencia sobre definiciones y notaciones alternativas

Lamentablemente, existen varios términos en la teoría de los filtros que los distintos autores definen de forma diferente. Incluyen algunos de los términos más importantes, como "filtro", si bien las diferentes definiciones del mismo término generalmente tienen una superposición significativa, debido a la naturaleza muy técnica de los filtros (y de la topología de conjuntos de puntos). Estas diferencias en las definiciones a menudo tienen consecuencias importantes. Al trabajar con literatura matemática, se recomienda que los lectores comprueben cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros. Por esta razón, en este artículo se establecen claramente todas las definiciones tal como se utilizan. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y algunas notaciones varían mucho según cada autor (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros de un conjunto), por lo que en tales casos en este artículo se utiliza cualquier notación que se describa mejor o sea más sencilla de recordar.

La teoría de los filtros y prefiltros está bien desarrollada y tiene una gran cantidad de definiciones y notaciones, muchas de las cuales ahora se enumeran sin ceremonias para evitar que este artículo se vuelva prolijo y permitir una fácil búsqueda de notaciones y definiciones. Sus propiedades más importantes se describen más adelante.

Operaciones con conjuntos

El Plantilla:Enf o isotonización en $X$Plantilla:SfnPlantilla:Sfn de una familia de conjuntos $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ es

Plantilla:Caja de cita

y de manera similar, el Plantilla:Enf de $ℬ$ es ${ℬ}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B:B\in ℬ\}=\bigcup _{B\in ℬ}\mathrm{\wp }(B).$

Notación y definición	Nombre
$\ker ℬ=\bigcap _{B\in ℬ}B$	Plantilla:Enf de $ℬ$Plantilla:Sfn
$S\setminus ℬ:=\{S\setminus B:B\in ℬ\}=\{S\}(\setminus )ℬ$	Plantilla:Enf donde $S$ es un conjunto.Plantilla:Sfn
$ℬ{|}_S:=\{B\cap S:B\in ℬ\}=ℬ(\cap )\{S\}$	Plantilla:EnfPlantilla:Sfn o la Plantilla:Enf donde $S$ es un conjunto; a veces denotado por $ℬ\cap S$
$ℬ(\cap )𝒞=\{B\cap C:B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞\}$Plantilla:Sfn	Plantilla:Enf de Plantilla:Enf uno a uno (donde $ℬ\cap 𝒞$ denota la intersección usual)
$ℬ(\cup )𝒞=\{B\cup C:B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞\}$Plantilla:Sfn	Plantilla:Enf de Plantilla:Enf uno a uno (donde $ℬ\cup 𝒞$ denota la unión usual)
$ℬ(\setminus )𝒞=\{B\setminus C:B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞\}$	Plantilla:Enf de Plantilla:Enf uno a uno (donde $ℬ\setminus 𝒞$ denota el complemento de un conjunto usual)
${ℬ}^{\mathrm{\#}X}={ℬ}^{\mathrm{\#}}=\{S\subseteq X:S\cap B\ne \varnothing \text{ para todo }B\in ℬ\}$	Plantilla:EnfPlantilla:Sfn
$\mathrm{\wp }(X)=\{S:S\subseteq X\}$	Plantilla:Enf de un conjunto $X$Plantilla:Sfn

Plantilla:Quote box

En todo momento, $f$ es una aplicación y $S$ es un conjunto.

Notación y definición	Nombre
$f^{-1}(ℬ)=\{f^{-1}(B):B\in ℬ\}$Plantilla:Sfn	Plantilla:Enf de $ℬ\text{ bajo }{f}^{-1},$ o la Plantilla:Enf de $ℬ$ bajo $f$
$f^{-1}(S)=\{x\in \mathrm{dominio}f:f(x)\in S\}$	Plantilla:Enf de $S\text{ bajo }{f}^{-1},$ o la Plantilla:Enf de $S\text{ bajo }f$
$f(ℬ)=\{f(B):B\in ℬ\}$Plantilla:Sfn	Plantilla:Enf de $ℬ$ bajo $f$
$f(S)=\{f(s):s\in S\cap \mathrm{dominio}f\}$	Plantilla:Enf de $S\text{ bajo }f$
$\mathrm{imagen}f=f(\mathrm{dominio}f)$	Plantilla:Enf (o rango) de $f$

Las redes y sus colas

Un Plantilla:Enf es un conjunto $I$ junto con un conjunto preordenado, que se denotará por $\le$ (a menos que se indique explícitamente lo contrario), que convierte a $(I,\le )$ en un (Plantilla:Enf) Plantilla:Enf;Plantilla:Sfn esto significa que para todo $i,j\in I,$ existe algún $k\in I$ tal que $i\le k\text{ y }j\le k.$ para cualquier índices $i\text{ y }j,$ la notación $j\ge i$ se define como $i\le j$ mientras que $i<j$ se define para significar que $i\le j$ se cumple, pero Plantilla:Enf es cierto que $j\le i$ (si $\le$ es antisymmetric, entonces esto es equivalente a $i\le j\text{ y }i\ne j$).

Un Plantilla:EnfPlantilla:Sfn es un mapa de un conjunto dirigido no vacío en $X.$ La notación $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ se utilizará para indicar una red con dominio $I.$

Notatción y definición	Nombre
$I_{\ge i}=\{j\in I:j\ge i\}$	Plantilla:Enf o Plantilla:Enf donde $(I,\le )$ es un conjunto dirigido.
$x_{\ge i}=\{x_j:j\ge i\text{ y }j\in I\}$	Plantilla:Enf o Plantilla:Enf
$\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)=\{x_{\ge i}:i\in I\}$	Plantilla:Enf o Plantilla:Enf/Plantilla:Enf de $x_{\bullet }.$ También llamado Plantilla:Enf generada por (las colas de) $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}.$ Si $x_{\bullet }$ es una sucesión, entonces $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ también se llama Plantilla:Enf.Plantilla:Sfn
$\mathrm{Filtrodecolas}\left(x_{\bullet }\right)=\mathrm{Colas}{\left(x_{\bullet }\right)}^{\uparrow X}$	Plantilla:Enf final de/generado por (colas de) $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$Plantilla:Sfn
$f\left(I_{\ge i}\right)=\{f(j):j\ge i\text{ y }j\in I\}$	Plantilla:Enf o Plantilla:EnfPlantilla:Sfn donde $(I,\le )$ es un conjunto dirigido.

Advertencia sobre el uso de la comparación estricta

Si $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ es una red y $i\in I$, entonces es posible que el conjunto $x_{>i}=\{x_j:j>i\text{ y }j\in I\},$ que se llama la Plantilla:Enf, esté vacío (por ejemplo, esto sucede si $i$ es una cota superior del conjunto dirigido $I$). En este caso, la familia $\{x_{>i}:i\in I\}$ contendría el conjunto vacío, lo que impediría que fuera un prefiltro (definido más adelante). Esta es la razón (importante) para definir $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ como $\{x_{\ge i}:i\in I\}$ en lugar de $\{x_{>i}:i\in I\}$ o incluso $\{x_{>i}:i\in I\}\cup \{x_{\ge i}:i\in I\}$ y es por esta razón que en general, cuando se trata del prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta $<$ no puede usarse indistintamente con la desigualdad $\le .$

Filtros y prefiltros

La siguiente es una lista de propiedades que puede poseer una familia $ℬ$ de conjuntos y que forman las propiedades definitorias de filtros, prefiltros y subbases de filtros. Siempre que sea necesario, se debe asumir que $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X).$

Muchas de las propiedades de $ℬ$ definidas arriba y abajo, como ser "propia" o "dirigida hacia abajo", no dependen de $X,$ por lo que mencionar el conjunto $X$ es opcional cuando se utilizan dichos términos. Las definiciones que implican estar Plantilla:Nowrap como la de "filtrar en $X,$" dependen de $X$, por lo que se debe mencionar el conjunto $X$ si no queda claro por el contexto.

$\text{Filtros}(X)=\text{Ideales-Duales}(X)\setminus \{\mathrm{\wp }(X)\}\subseteq \text{Prefiltros}(X)\subseteq \text{Subbases-de-filtros}(X).$

No hay prefiltros en $X=\varnothing$ (ni hay redes valoradas en $\varnothing$), por lo que este artículo, como la mayoría de los autores, asumirá automáticamente sin comentarios que $X\ne \varnothing$ siempre que esta suposición sea necesaria.

Ejemplos básicos

Ejemplos nombrados

• El conjunto unitario $ℬ=\{X\}$ se llama Plantilla:Enf o Plantilla:EnfPlantilla:SfnPlantilla:Sfn Es el único filtro Plantilla:Enf en $X$ porque es un subconjunto de cada filtro en $X$. Sin embargo, no es necesario que sea un subconjunto de cada prefiltro en $X.$
• El ideal dual $\mathrm{\wp }(X)$ también se llama Plantilla:EnfPlantilla:Sfn (a pesar de no ser realmente un filtro). Es el único ideal dual en $X$ que no es un filtro en $X.$
• Si $(X,\tau )$ es un espacio topológico y $x\in X,$ entonces el filtro de entornos $𝒩(x)$ en $x$ es un filtro en $X.$ Por definición, una familia $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ se llama Plantilla:Enf (respectivamente Plantilla:Enf) en $x\text{ para }(X,\tau )$ si y solo si $ℬ$ es un prefiltro (respectivamente $ℬ$ es una subbase de filtro) y el filtro en $X$ que genera $ℬ$ es igual al filtro de entornos $𝒩(x).$ La subfamilia $\tau (x)\subseteq 𝒩(x)$ de entornos abiertos es una base de filtro para $𝒩(x).$ Ambos prefiltros $𝒩(x)\text{ y }\tau (x)$ también forman base para topologías en $X,$ siendo la topología generada $\tau (x)$ más gruesa que $\tau .$ Este ejemplo generaliza inmediatamente desde entornos de puntos a entornos de subconjuntos no vacíos $S\subseteq X.$
• $ℬ$ es un Plantilla:Enf si $ℬ=\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ para alguna secuencia $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\text{ en }X.$
• $ℬ$ es un Plantilla:Enf o un Plantilla:Enf sobre $X$Plantilla:Sfn si $ℬ$ es un filtro sobre $X$ generado por algún prefiltro elemental. El filtro de colas generado por una secuencia que finalmente no es constante Plantilla:Enf es necesariamente un ultrafiltro.Plantilla:Sfn Cada filtro principal en un conjunto numerable es secuencial al igual que cada filtro cofinito en un conjunto numerablemente infinito.Plantilla:Sfn La intersección de un número finito de filtros secuenciales es nuevamente secuencial.Plantilla:Sfn
• El conjunto $ℱ$ de todos los subconjuntos cofinitos de $X$ (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en $X$ es finito) es propio si y solo si $ℱ$ es infinito (o equivalentemente, $X$ es infinito), en cuyo caso $ℱ$ es un filtro en $X$ conocido como [[filtro de Fréchet|Plantilla:Enf o Plantilla:Enf]] en $X.$Plantilla:SfnPlantilla:Sfn Si $X$ es finito, entonces $ℱ$ es igual al ideal dual $\mathrm{\wp }(X),$ que no es un filtro. Si $X$ es infinito, entonces la familia $\{X\setminus \{x\}:x\in X\}$ de complementos de conjuntos unitarios es una subbase de filtros que genera el filtro de Fréchet en $X.$ Como ocurre con cualquier familia de conjuntos sobre $X$ que contiene $\{X\setminus \{x\}:x\in X\},$ el núcleo del filtro de Fréchet en $X$ es el conjunto vacío: $\ker ℱ=\varnothing .$
• La intersección de todos los elementos en cualquier familia $𝔽\subseteq \mathrm{Filtros}(X)$ no vacía es en sí misma un filtro en $X$ llamado Plantilla:Enf o Plantilla:Enf de $𝔽\text{ en }\mathrm{Filtros}(X),$ por lo que puede denotarse como $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigwedge }ℱ.$ Dicho de otra manera, $\ker 𝔽=\bigcap _{ℱ\in 𝔽}ℱ\in \mathrm{Filtros}(X).$ Debido a que cada filtro en $X$ tiene $\{X\}$ como subconjunto, esta intersección nunca está vacía. Por definición, el mínimo es el filtro más fino/más grande (en relación con $\subseteq \text{ y }\le$) contenido como un subconjunto de cada miembro de $𝔽.$Plantilla:Sfn.
  • Si $ℬ\text{ y }ℱ$ son filtros, entonces su mínimo en $\mathrm{Filtros}(X)$ es el filtro $ℬ(\cup )ℱ.$Plantilla:Sfn. Si $ℬ\text{ y }ℱ$ son prefiltros, entonces $ℬ(\cup )ℱ$ es un prefiltro que es más grueso (con respecto a $\le$) que ambos $ℬ\text{ y }ℱ$ (es decir, $ℬ(\cup )ℱ\le ℬ\text{ y }ℬ(\cup )ℱ\le ℱ$); de hecho, es uno de los prefiltros más finos, lo que significa que si $𝒮$ es un prefiltro tal que $𝒮\le ℬ\text{ y }𝒮\le ℱ$, entonces necesariamente $𝒮\le ℬ(\cup )ℱ.$Plantilla:Sfn Más generalmente, si $ℬ\text{ y }ℱ$ son familias no vacías y si $𝕊:=\{𝒮\subseteq \mathrm{\wp }(X):𝒮\le ℬ\text{ y }𝒮\le ℱ\}$, entonces $ℬ(\cup )ℱ\in 𝕊$ y $ℬ(\cup )ℱ$ son elemento más grande (con respecto a $\le$) de $𝕊.$Plantilla:Sfn
• Sea $\varnothing \ne 𝔽\subseteq \mathrm{Ideales-Duales}(X)$ y sea $\cup 𝔽=\bigcup _{ℱ\in 𝔽}ℱ.$ El Plantilla:Enf o Plantilla:Enf de $𝔽\text{ en }\mathrm{IdealesDuales}(X),$ denotado por $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ,$ es el ideal dual más pequeño (en relación con $\subseteq$) en $X$ que contiene cada elemento de $𝔽$ como un subconjunto. Es decir, es el ideal dual más pequeño (en relación con $\subseteq$) en $X$ que contiene a $\cup 𝔽$ como subconjunto. Este ideal dual es $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ=\pi {(\cup 𝔽)}^{\uparrow X},$ donde $\pi (\cup 𝔽):=\{F_1\cap \cdots \cap F_n:n\in \mathbb{N}\text{ y todo }{F}_i\text{ pertenece a algún }ℱ\in 𝔽\}$ es el sistema Π generado por $\cup 𝔽.$ Al igual que con cualquier familia de conjuntos no vacía, $\cup 𝔽$ está contenida en Plantilla:Enf filtro en $X$ si y solo si es una subbase de filtros, o de manera equivalente, si y solo si $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ=\pi {(\cup 𝔽)}^{\uparrow X}$ es un filtro en $X,$ en cuyo caso esta familia es el filtro más pequeño (respecto a $\subseteq$) en $X$ que contiene cada elemento de $𝔽$ como un subconjunto y necesariamente $𝔽\subseteq \mathrm{Filtros}(X).$
• Sea $\varnothing \ne 𝔽\subseteq \mathrm{Filtros}(X)$ y sea $\cup 𝔽=\bigcup _{ℱ\in 𝔽}ℱ.$ El Plantilla:Enf o Plantilla:Enf de $𝔽\text{ en }\mathrm{Filtros}(X),$ indicado por $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ$, si existe, es por definición el filtro más pequeño (en relación con $\subseteq$) en $X$ que contiene cada elemento de $𝔽$ como un subconjunto. Si existe, entonces necesariamente $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ=\pi {(\cup 𝔽)}^{\uparrow X}$Plantilla:Sfn (como se definió anteriormente) y $\underset{ℱ\in 𝔽}{\bigvee }ℱ$ también serán iguales a la intersección de todos los filtros en $X$ que contengan $\cup 𝔽.$ Este supremo de $𝔽\text{ en }\mathrm{Filtros}(X)$ existe si y solo si el ideal dual $\pi {(\cup 𝔽)}^{\uparrow X}$ es un filtro en $X.$ Es posible que el límite superior mínimo de una familia de filtros $𝔽$ no sea un filtro.Plantilla:Sfn De hecho, si $X$ contiene al menos 2 elementos distintos, entonces existen filtros $ℬ\text{ y }𝒞\text{ en }X$ para los cuales Plantilla:Enf existe un filtro $ℱ\text{ en }X$ que contiene a ambos $ℬ\text{ y }𝒞.$ Si $\cup 𝔽$ no es una subbase de filtros, entonces el supremo de $𝔽\text{ en }\mathrm{Filtros}(X)$ no existe y lo mismo ocurre con su supremo en $\mathrm{Prefiltros}(X)$, pero su supremo en el conjunto de todos los ideales duales en $X$ existirá (siendo el filtro degenerado $\mathrm{\wp }(X)$).Plantilla:Sfn
  • Si $ℬ\text{ y }ℱ$ son prefiltros (respectivamente filtros en $X$), entonces $ℬ(\cap )ℱ$ es un prefiltro (respectivamente un filtro) si y solo si no es degenerado (o dicho de otra manera, si y solo si $ℬ\text{ y }ℱ$ concuerdan), en cuyo caso es Plantilla:Enf de los prefiltros más gruesos (respectivamente, el filtro más grueso) en $X$ (con respecto a $\le$) que es más fino (con respecto a $\le$) que ambos $ℬ\text{ y }ℱ;$, esto significa que si $𝒮$ es cualquier prefiltro (respectivamente cualquier filtro) tal que $ℬ\le 𝒮\text{ y }ℱ\le 𝒮$, entonces necesariamente $ℬ(\cap )ℱ\le 𝒮,$Plantilla:Sfn, en cuyo caso se denota como $ℬ\vee ℱ.$Plantilla:Sfn
• Sean $I\text{ y }X$ conjuntos no vacíos y para cada $i\in I$ sea ${𝒟}_i$ un ideal dual en $X.$ Si $ℐ$ es cualquier ideal dual en $I$, entonces $\bigcup _{\mathrm{\Xi }\in ℐ}\bigcap _{i\in \mathrm{\Xi }}{𝒟}_i$ es un ideal dual en $X$ llamado Plantilla:Enf o Plantilla:Enf.Plantilla:Sfn
• El filtro club de un conjunto no numerable de cardinal regular es el filtro de todos los conjuntos que contienen un subconjunto club de $\kappa .$ Es un filtro $\kappa$ completo cerrado bajo intersección diagonal.

Otros ejemplos

• Sea $X=\{p,1,2,3\}$ y considérese que $ℬ=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},$ lo que convierte a $ℬ$ en un prefiltro y una subbase de filtros que no está cerrada bajo intersecciones finitas. Debido a que $ℬ$ es un prefiltro, el prefiltro más pequeño que contiene a $ℬ$ es $ℬ.$ El sistema Π generado por $ℬ$ es $\{\{p,1\}\}\cup ℬ.$ En particular, el prefiltro más pequeño que contiene la subbase de filtros $ℬ$ Plantilla:Enf es igual al conjunto de todas las intersecciones finitas de conjuntos en $ℬ.$ El filtro en $X$ generado por $ℬ$ es ${ℬ}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T:T\subseteq \{1,2,3\}\}.$ Los tres $ℬ,$ que genera el sistema Π $ℬ$ y ${ℬ}^{\uparrow X}$ son ejemplos de prefiltros fijos, principales y ultra que son principales en el punto $p;{ℬ}^{\uparrow X}$ y que también son un ultrafiltro en $X.$
• Sea $(X,\tau )$ un espacio topológico, $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X),$ y se define $\overline{ℬ}:=\{{\mathrm{cl}}_{X}B:B\in ℬ\},$ donde $ℬ$ es necesariamente más fino que $\overline{ℬ}.$Plantilla:Sfn Si $ℬ$ no está vacío (respectivamente, no degenerado, una subbase de filtro, un prefiltro, cerrado bajo uniones finitas), entonces lo mismo se aplica a $\overline{ℬ}.$ Si $ℬ$ es un filtro en $X$, entonces $\overline{ℬ}$ es un prefiltro pero no necesariamente un filtro en $X$, aunque ${\left(\overline{ℬ}\right)}^{\uparrow X}$ es un filtro en $X$ equivalente a $\overline{ℬ}.$
• El conjunto $ℬ$ de todos los subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico (no vacío) $X$ es un sistema Π propio y, por lo tanto, también un prefiltro. Si el espacio es un espacio de Baire, entonces el conjunto de todas las intersecciones numerables de subconjuntos abiertos densos es un sistema Π y un prefiltro que es más fino que $ℬ.$ Si $X={ℝ}^n$ (con $1\le n\in \mathbb{N}$), entonces el conjunto ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ de todos los $B\in ℬ$ tal que $B$ tiene medida de Lebesgue finita es un sistema Π propio y un prefiltro libre que también es un subconjunto de $ℬ.$ Los prefiltros ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ y $ℬ$ son equivalentes y, por lo tanto, generan el mismo filtro en $X.$ El prefiltro ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ está propiamente contenido en el prefiltro que consta de todos los subconjuntos densos de $ℝ$, y no es equivalente a él. Dado que $X$ es un espacio de Baire, cada intersección numerable de conjuntos en ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ es densa en $X$ (y también exigua y no escasa), por lo que el conjunto de todas las intersecciones contables de elementos de ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$ es un prefiltro y un sistema Π; que también es más fino que ${ℬ}_{\mathrm{LebFinito}}$
y no es equivalente a él.
• Una subbase de filtros sin $\subseteq$, el prefiltro más pequeño que la contenga: en general, si una subbase de filtros $𝒮$ no es un sistema Π, entonces una intersección $S_1\cap \cdots \cap S_n$ de $n$ conjuntos de $𝒮$ generalmente requerirá una descripción que incluya $n$ variables que no se pueden reducir hasta solo dos (considérese, por ejemplo, $\pi (𝒮)$ cuando $𝒮=\{(-\mathrm{\infty },r)\cup (r,\mathrm{\infty }):r\in ℝ\}$). Este ejemplo ilustra una clase atípica de subbases de filtros ${𝒮}_R$, donde todos los conjuntos tanto en ${𝒮}_R$ como en su sistema Π generado pueden describirse como conjuntos de la forma $B_{r,s},$ de modo que, en particular, no se necesitan más de dos variables (específicamente, $r\text{ y }s$) para describir el sistema Π generado. Para todos los $r,s\in ℝ,$ sea

  $B_{r,s}=(r,0)\cup (s,\mathrm{\infty }),$

  donde $B_{r,s}=B_{\min (r,s),s}$ siempre se cumple, por lo que no se pierde generalidad al agregar el supuesto de que $r\le s.$ Para todos los $r\le s\text{ y }u\le v,$ reales, si $s\text{ o }v$ no es negativo, entonces $B_{-r,s}\cap B_{-u,v}=B_{-\min (r,u),\max (s,v)}.$ Para cada conjunto $R$ de reales positivos, sea

  ${𝒮}_R:=\{B_{-r,r}:r\in R\}=\{(-r,0)\cup (r,\mathrm{\infty }):r\in R\}\text{ y }{ℬ}_R:=\{B_{-r,s}:r\le s\text{ con }r,s\in R\}=\{(-r,0)\cup (s,\mathrm{\infty }):r\le s\text{ en }R\}.$

  Sea $X=ℝ$, y supóngase que $\varnothing \ne R\subseteq (0,\mathrm{\infty })$ no es un conjunto unitario. Entonces, ${𝒮}_R$ es una subbase de filtros pero no un prefiltro y ${ℬ}_R=\pi \left({𝒮}_R\right)$ es el sistema Π que genera, de modo que ${ℬ}_R^{\uparrow X}$ es el único filtro más pequeño en $X=ℝ$ que contiene a ${𝒮}_R.$ Sin embargo, ${𝒮}_R^{\uparrow X}$ Plantilla:Enf es un filtro en $X$ (ni es un prefiltro, porque es no dirigido hacia abajo, aunque es una subbase de filtros) y ${𝒮}_R^{\uparrow X}$ es un subconjunto propio del filtro ${ℬ}_R^{\uparrow X}.$ Si $R,S\subseteq (0,\mathrm{\infty })$ son intervalos no vacíos, entonces las subbases de filtros ${𝒮}_R\text{ y }{𝒮}_S$ generan el mismo filtro en $X$ si y solo si $R=S.$

  Si $𝒞$ es un prefiltro que satisface ${𝒮}_{(0,\mathrm{\infty })}\subseteq 𝒞\subseteq {ℬ}_{(0,\mathrm{\infty })}$, entonces para cualquier $C\in 𝒞\setminus {𝒮}_{(0,\mathrm{\infty })},$ la familia $𝒞\setminus \{C\}$ también es un prefiltro que satisface ${𝒮}_{(0,\mathrm{\infty })}\subseteq 𝒞\setminus \{C\}\subseteq {ℬ}_{(0,\mathrm{\infty })}.$ Esto demuestra que no puede existir un prefiltro mínimo/más pequeño (con respecto a $\subseteq$) que contenga a ${𝒮}_{(0,\mathrm{\infty })}$ y sea un subconjunto del sistema Π. generado por ${𝒮}_{(0,\mathrm{\infty })}.$ Esto sigue siendo cierto incluso si se elimina el requisito de que el prefiltro sea un subconjunto de ${ℬ}_{(0,\mathrm{\infty })}=\pi \left({𝒮}_{(0,\mathrm{\infty })}\right)$; es decir (en marcado contraste con los filtros) Plantilla:Enf existe un Plantilla:Enffiltro mínimo (con respecto a $\subseteq$) que contenga la subbase de filtros ${𝒮}_{(0,\mathrm{\infty })}.$

Ultrafiltros

Hay muchas otras caracterizaciones de "ultrafiltro" y "ultra prefiltro", que se enumeran en el artículo sobre [Ultrafiltro (teoría de conjuntos)|Ultrafiltro]]. En ese artículo también se describen propiedades importantes de los ultrafiltros.

$\begin{array}{cc}\text{Ultrafiltros}(X)& =\text{Filtros}(X)\cap \text{Ultra-Prefiltros}(X)\\ & \subseteq \text{Ultra-Prefiltros}(X)=\text{Subbases-de-Ultra-Filtros}(X)\\ & \subseteq \text{Prefiltros}(X)\\ \end{array}$

Cualquier familia no degenerada que tenga un conjunto unitario como elemento es ultra, en cuyo caso será un prefiltro ultra si y solo si también tiene la propiedad de intersección finita. El filtro trivial $\{X\}\text{ en }X$ es ultra si y solo si $X$ es un conjunto unitario.

El lema del ultrafiltro

El siguiente teorema importante se debe a Alfred Tarski (1930).Plantilla:Sfn

Una consecuencia del lema de los ultrafiltros es que cada filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen.Plantilla:Sfn Suponiendo los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF), el lema del ultrafiltro se deriva del axioma de elección (en particular, del lema de Zorn) pero es estrictamente más débil que él. El lema del ultrafiltro implica el axioma de elección para conjuntos finitos. Si Plantilla:Enf se trata con espacios de Hausdorff, entonces la mayoría de los resultados básicos (como los que se encuentran en los cursos introductorios) en topología (como el teorema de Tíjonov para espacios compactos de Hausdorff y subbases) y en análisis funcional (como el teorema de Hahn–Banach) se pueden probar usando solo el lema del ultrafiltro; podría no ser necesaria toda la fuerza del axioma de elección.

Núcleos

El núcleo es útil para clasificar propiedades de prefiltros y otras familias de conjuntos.

Si $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ entonces para cualquier punto $x,x\in ̸\ker ℬ\text{ si y solo si }X\setminus \{x\}\in {ℬ}^{\uparrow X}.$

Propiedades de los núcleos

Si $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ entonces $\ker \left({ℬ}^{\uparrow X}\right)=\ker ℬ$ y este conjunto también es igual al núcleo del sistema Π generado por $ℬ.$ En particular, si $ℬ$ es una subbase de filtro, entonces los núcleos de todos los siguientes conjuntos son iguales:

(1) $ℬ,$ (2) el sistema Π generado por $ℬ,$ y (3) el filtro generado por $ℬ.$

Si $f$ es un mapa, entonces $f(\ker ℬ)\subseteq \ker f(ℬ)$ y $f^{-1}(\ker ℬ)=\ker f^{-1}(ℬ).$ Si $ℬ\le 𝒞$ entonces $\ker 𝒞\subseteq \ker ℬ$ mientras que si $ℬ$ y $𝒞$ son equivalentes entonces $\ker ℬ=\ker 𝒞.$ Las familias equivalentes tienen núcleos iguales. Dos familias principales son equivalentes si y solo si sus núcleos son iguales; es decir, si $ℬ$ y $𝒞$ son principales entonces son equivalentes si y solo si $\ker ℬ=\ker 𝒞.$

Clasificación de familias por sus núcleos

Si $ℬ$ es un filtro principal en $X$, entonces $\varnothing \ne \ker ℬ\in ℬ$ y

$ℬ=\{\ker ℬ{\}}^{\uparrow X}=\{S\cup \ker ℬ:S\subseteq X\setminus \ker ℬ\}=\mathrm{\wp }(X\setminus \ker ℬ)(\cup )\{\ker ℬ\}$

donde $\{\ker ℬ\}$ es también el prefiltro más pequeño que genera $ℬ.$

Familia de ejemplos: Para cualquier $C\subseteq ℝ,$ no vacío la familia ${ℬ}_C=\{ℝ\setminus (r+C):r\in ℝ\}$ es libre pero es una subbase de filtro si y solo si ninguna unión finita de la forma $(r_1+C)\cup \cdots \cup (r_n+C)$ cubre $ℝ,$ en cuyo caso el filtro que genere también será libre. En particular, ${ℬ}_C$ es una subbase de filtro si $C$ es contable (por ejemplo, $C=\mathbb{Q},\mathbb{Z},$ los primos), un conjunto exiguo en $ℝ,$ es un conjunto de medidas finitas o un subconjunto acotado de $ℝ.$ Si $C$ es un conjunto unitario, entonces ${ℬ}_C$ es una subbase para Filtro Fréchet en $ℝ.$

Para cada filtro $ℱ\text{ en }X$ existe un par único de ideales duales ${ℱ}^{*}\text{ y }{ℱ}^{\bullet }\text{ en }X$ tal que ${ℱ}^{*}$ es libre, ${ℱ}^{\bullet }$ es principal y ${ℱ}^{*}\wedge {ℱ}^{\bullet }=ℱ,$ y ${ℱ}^{*}\text{ y }{ℱ}^{\bullet }$ no se entrelazan (es decir, ${ℱ}^{*}\vee {ℱ}^{\bullet }=\mathrm{\wp }(X)$). El ideal dual ${ℱ}^{*}$ se llama Plantilla:Enf de $ℱ$, mientras que ${ℱ}^{\bullet }$ se llama Plantilla:EnfPlantilla:Sfn donde al menos uno de estos ideales duales es un filtro. Si $ℱ$ es principal, entonces ${ℱ}^{\bullet }:=ℱ\text{ y }{ℱ}^{*}:=\mathrm{\wp }(X);$; de lo contrario, ${ℱ}^{\bullet }:=\{\ker ℱ{\}}^{\uparrow X}$ y ${ℱ}^{*}:=ℱ\vee \{X\setminus (\ker ℱ){\}}^{\uparrow X}$ son un filtro libre (no degenerado).Plantilla:Sfn

Prefiltros finitos y conjuntos finitos

Si una subbase de filtros $ℬ$ es finita, entonces es fija (es decir, no libre); esto se debe a que $\ker ℬ=\bigcap _{B\in ℬ}B$ es una intersección finita y la subbase de filtros $ℬ$ tiene la propiedad de la intersección finita. Un prefiltro finito es necesariamente principal, aunque no tiene por qué estar cerrado bajo intersecciones finitas.

Si $X$ es finito, entonces todas las conclusiones anteriores son válidas para cualquier $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X).$ En particular, en un conjunto finito $X,$ no hay subbases de filtros libres (y por lo tanto, no hay prefiltros libres) todos los prefiltros son principales y todos los filtros en $X$ son filtros principales generados por sus núcleos (no vacíos).

El filtro trivial $\{X\}$ es siempre un filtro finito en $X$ y si $X$ es infinito, entonces es el único filtro finito porque un filtro finito no trivial en un conjunto $X$ es posible si y solo si $X$ es finito. Sin embargo, en cualquier conjunto infinito existen subbases de filtros y prefiltros no triviales que son finitos (aunque no pueden ser filtros). Si $X$ es un conjunto unitario, entonces el filtro trivial $\{X\}$ es el único subconjunto propio de $\mathrm{\wp }(X)$ y, además, este conjunto $\{X\}$ es un ultraprefiltro principal y cualquier superconjunto $ℱ\supseteq ℬ$ (donde $ℱ\subseteq \mathrm{\wp }(Y)\text{ y }X\subseteq Y$) con la propiedad de intersección finita, también será un ultraprefiltro principal (incluso si $Y$ es infinito).

Caracterización de ultra prefiltros fijos

Si una familia de conjuntos $ℬ$ es fija (es decir, $\ker ℬ\ne \varnothing$), entonces $ℬ$ es ultra si y solo si algún elemento de $ℬ$ es un conjunto unitario, en cuyo caso $ℬ$ será necesariamente un prefiltro. Cada prefiltro principal es fijo, por lo que un prefiltro principal $ℬ$ es ultra si y solo si $\ker ℬ$ es un conjunto unitario.

Cada filtro en $X$ que es principal en un solo punto es un ultrafiltro, y si además $X$ es finito, entonces no hay ultrafiltros en $X$ aparte de estos.Plantilla:Sfn

El siguiente teorema demuestra que cada ultrafiltro cae en una de dos categorías: o es libre o es un filtro principal generado por un solo punto.

Más fino/más grueso, subordinación y concordancia

El preorden $\le$ que se define a continuación es de fundamental importancia para el uso de prefiltros (y filtros) en topología. Por ejemplo, este preorden se utiliza para definir el equivalente de prefiltro de "subsecuencia",Plantilla:Sfn donde "$ℱ\ge 𝒞$" puede interpretarse como "$ℱ$ es una subsecuencia de $𝒞$" (por lo que "subordinado a" es el equivalente de prefiltro de "subsecuencia de") . También se utiliza para definir la convergencia del prefiltro en un espacio topológico. La definición de $ℬ$ concuerda con $𝒞,$ que está estrechamente relacionada con el preorden $\le ,$ y se utiliza en topología para definir puntos de acumulación.

Dos familias de conjuntos $ℬ\text{ y }𝒞$ Plantilla:EnfPlantilla:Sfn y Plantilla:Enf, se indica escribiendo $ℬ\mathrm{\#}𝒞,$ si $B\cap C\ne \varnothing \text{ para todo }B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞.$ Si $ℬ\text{ y }𝒞$ no concuerdan, entonces están Plantilla:Enf. Si $S\subseteq X\text{ y }ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$, entonces $ℬ\text{ y }S$ se dice que Plantilla:Enf si $ℬ\text{ y }\{S\}$ concuerdan, o equivalentemente, si es la Plantilla:Enf de $ℬ\text{ en }S,$ que es la familia

$ℬ{|}_S=\{B\cap S:B\in ℬ\},$

que no contiene el conjunto vacío, donde la traza también se denomina Plantilla:Enf de $ℬ\text{ en }S.$

Ejemplo: Si $x_{i_{\bullet }}={\left(x_{i_n}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ es una subsucesión de $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ entonces $\mathrm{Colas}\left(x_{i_{\bullet }}\right)$ está subordinado a $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right);$ lo que expresado con símbolos es: $\mathrm{Colas}\left(x_{i_{\bullet }}\right)⊢\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ y también $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)\le \mathrm{Colas}\left(x_{i_{\bullet }}\right).$

Dicho en términos sencillos, el prefiltro de colas de una subsucesión siempre está subordinado al de la sucesión original. Para ver esto, supóngase que $C:=x_{\ge i}\in \mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ sea arbitrario (o, equivalentemente, que $i\in \mathbb{N}$ sea arbitrario) y queda por demostrar que este conjunto contiene algo de $F:=x_{i_{\ge n}}\in \mathrm{Colas}\left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Para que el conjunto $x_{\ge i}=\{x_i,x_{i+1},\dots \}$ contenga a $x_{i_{\ge n}}=\{x_{i_n},x_{i_{n+1}},\dots \},$ es suficiente tener que $i\le i_n.$ Dado que $i_1<i_2<\cdots$ son números enteros estrictamente crecientes, existe un $n\in \mathbb{N}$ tal que $i_n\ge i,$ y, por lo tanto, $x_{\ge i}\supseteq x_{i_{\ge n}}$ se cumple, tal como se desea. En consecuencia, $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}{\mathrm{e}}_{\mathrm{F}}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\left(x_{\bullet }\right)\subseteq \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}{\mathrm{s}}_{\mathrm{d}}{\mathrm{e}}_{\mathrm{F}}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\left(x_{i_{\bullet }}\right).$ El lado izquierdo será un subconjunto Plantilla:Enf del lado derecho si (por ejemplo) cada punto de $x_{\bullet }$ es único (es decir, cuando $x_{\bullet }:\mathbb{N}\to X$ es inyectivo) y $x_{i_{\bullet }}$ es la subsecuencia $(x_2,x_4,x_6,\dots )$ con índice par porque, en estas condiciones, cada cola $x_{i_{\ge n}}=\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\dots \}$ (para cada $n\in \mathbb{N}$) de la subsecuencia pertenecerá al filtro del lado derecho pero no al filtro del lado izquierdo.

En otro ejemplo, si $ℬ$ es cualquier familia, entonces $\varnothing \le ℬ\le ℬ\le \{\varnothing \}$ siempre se mantiene y, además, $\{\varnothing \}\le ℬ\text{ si y solo si }\varnothing \in ℬ.$

Supóngase que $𝒞\text{ y }ℱ$ son familias de conjuntos que satisfacen que $ℬ\le ℱ\text{ y }𝒞\le ℱ.$ Entonces, $\ker ℱ\subseteq \ker 𝒞,$ y $𝒞\ne \varnothing \text{ implica que }ℱ\ne \varnothing ,$ y también $\varnothing \in 𝒞\text{ implica que }\varnothing \in ℱ.$ Si además de $𝒞\le ℱ,ℱ$ es una Plantilla:Enfbase de filtros y $𝒞\ne \varnothing ,$ entonces $𝒞$ es una subbase de filtrosPlantilla:Sfn y también concuerdan $𝒞\text{ y }ℱ$.Plantilla:Sfn

De manera más general, si tanto $\varnothing \ne ℬ\le ℱ\text{ y }\varnothing \ne 𝒞\le ℱ$ como la intersección de dos elementos cualesquiera de $ℱ$ no están vacíos, entonces $ℬ\text{ y }𝒞$ concuerdan. Cada subbase de filtros es más gruesa que el sistema Π y que el filtro generados.Plantilla:Sfn

Si $𝒞\text{ y }ℱ$ son familias tales que $𝒞\le ℱ,$ la familia $𝒞$ es ultra, y $\varnothing \in ̸ℱ,$ entonces $ℱ$ es necesariamente ultra. De ello se deduce que cualquier familia que sea equivalente a una familia ultra Plantilla:Enf ultra. En particular, si $𝒞$ es un prefiltro, entonces tanto $𝒞$ como el filtro ${𝒞}^{\uparrow X}$ que genera son ultra o ninguno es ultra. Si una subbase de filtros es ultra, entonces necesariamente es un prefiltro, en cuyo caso el filtro que genera también será ultra. Una subbase de filtros $ℬ$ que no sea un prefiltro no puede ser ultra; pero aun así es posible que el prefiltro y el filtro generados por $ℬ$ sean ultra. Si $S\subseteq X\text{ y }ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ está cerrado hacia arriba en $X$, entonces $S\in ̸ℬ\text{ si y solo si }(X\setminus S)\mathrm{\#}ℬ.$Plantilla:Sfn

Propiedades relacionales de la subordinación

La relación $\le$ es reflexiva y transitiva, lo que la convierte en un preorden en $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X)).$Plantilla:Sfn La relación $\le \text{ en }\mathrm{Filtros}(X)$ es antisimétrica, pero si $X$ tiene más de un punto, entonces Plantilla:Enf es simétrica.

Plantilla:Enf: Para cualquier $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X),ℬ\le \{X\}\text{ si y solo si }\{X\}=ℬ.$ Entonces, el conjunto $X$ tiene más de un punto si y solo si la relación $\le \text{ en }\mathrm{Filtros}(X)$ Plantilla:Enf es simétrica.

Plantilla:Enf: Si $ℬ\subseteq 𝒞\text{ entonces }ℬ\le 𝒞$ pero si bien lo contrario no se cumple en general, sí se cumple si $𝒞$ está cerrado hacia arriba (por ejemplo, si $𝒞$ es un filtro). Dos filtros son equivalentes si y solo si son iguales, lo que hace que la restricción de $\le$ a $\mathrm{Filtros}(X)$ sea antisimétrica. Pero en general, $\le$ Plantilla:Enf es antisimétrica en $\mathrm{Prefiltros}(X)$ ni en $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X))$; es decir, $𝒞\le ℬ\text{ y }ℬ\le 𝒞$ Plantilla:Enf implica necesariamente que $ℬ=𝒞$; ni siquiera si ambos $𝒞\text{ y }ℬ$ son prefiltros.Plantilla:Sfn Por ejemplo, si $ℬ$ es un prefiltro pero no un filtro, entonces $ℬ\le {ℬ}^{\uparrow X}\text{ y }{ℬ}^{\uparrow X}\le ℬ\text{ pero }ℬ\ne {ℬ}^{\uparrow X}.$

Familias equivalentes de conjuntos

El preorden $\le$ induce su relación de equivalencia canónica en $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X)),$ donde para todo $ℬ,𝒞\in \mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X)),$ $ℬ$ es Plantilla:Enf a $𝒞$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:Plantilla:SfnPlantilla:Sfn

1. $𝒞\le ℬ\text{ y }ℬ\le 𝒞.$
2. Los cierres hacia arriba de $𝒞\text{ y }ℬ$ son iguales.

Dos subconjuntos cerrados hacia arriba (en $X$) de $\mathrm{\wp }(X)$ son equivalentes si y solo si son iguales.Plantilla:Sfn Si $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$, entonces necesariamente $\varnothing \le ℬ\le \mathrm{\wp }(X)$ y $ℬ$ es equivalente a ${ℬ}^{\uparrow X}.$ Cada clase de equivalencia distinta de $\{\varnothing \}$ contiene un representante único (es decir, un elemento de la clase de equivalencia) que está cerrado hacia arriba en $X.$Plantilla:Sfn

Propiedades preservadas entre familias equivalentes

Sea $ℬ,𝒞\in \mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X))$ arbitrario y $ℱ$ cualquier familia de conjuntos. Si $ℬ\text{ y }𝒞$ son equivalentes (lo que implica que $\ker ℬ=\ker 𝒞$), entonces para cada una de las afirmaciones/propiedades enumeradas a continuación, o es verdadera para Plantilla:Enf $ℬ\text{ y }𝒞$ o es falsa para Plantilla:Enf $ℬ\text{ y }𝒞$:Plantilla:Sfn

1. No vacío
2. Propio (es decir, $\varnothing$ no es un elemento)
   • Además, dos familias degeneradas cualesquiera son necesariamente equivalentes.
3. Subbase de filtros
4. Prefiltro
   • En cuyo caso $ℬ\text{ y }𝒞$ generan el mismo filtro en $X$ (es decir, sus cierres hacia arriba en $X$ son iguales).
5. Libre
6. Principal
7. Ultra
8. Igual al filtro trivial $\{X\}$
   • En otras palabras, esto significa que el único subconjunto de $\mathrm{\wp }(X)$ que es equivalente al filtro trivial Plantilla:Enf el filtro trivial. En general, esta conclusión de igualdad no se extiende a filtros no triviales (una excepción es cuando ambas familias son filtros).
9. Concuerda con $ℱ$
10. Más fino que $ℱ$
11. Más grueso que $ℱ$
12. Es equivalente a $ℱ$

En la lista anterior falta la palabra "filtro" porque esta propiedad Plantilla:Enf se conserva por equivalencia. Sin embargo, si $ℬ\text{ y }𝒞$ son filtros en $X,$ entonces son equivalentes si y solo si son iguales; esta caracterización Plantilla:Enf se extiende a los prefiltros.

Equivalencia de prefiltros y subbases de filtros

Si $ℬ$ es un prefiltro en $X$, entonces las siguientes familias siempre son equivalentes entre sí:

1. $ℬ$;
2. El sistema Π generado por $ℬ$;
3. El filtro en $X$ generado por $ℬ$;

y además, estas tres familias generan el mismo filtro en $X$ (es decir, los cierres hacia arriba en $X$ de estas familias son iguales).

En particular, cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Por transitividad, dos prefiltros son equivalentes si y solo si generan el mismo filtro.Plantilla:Sfn Cada prefiltro equivale exactamente a un filtro en $X,$ que es el filtro que genera (es decir, el cierre hacia arriba del prefiltro). Dicho de otra manera, cada clase de equivalencia de prefiltros contiene exactamente un representante que es un filtro. De esta manera, los filtros pueden considerarse simplemente elementos diferenciados de estas clases de equivalencia de prefiltros.Plantilla:Sfn

Una subbase de filtros que Plantilla:Enf sea también un prefiltro, puede Plantilla:Enf ser equivalente al prefiltro (o filtro) que genera. En cambio, cada prefiltro equivale al filtro que genera. Esta es la razón por la que los prefiltros pueden, en general, usarse indistintamente con los filtros que generan, mientras que esto no se puede hacer con las subbases de filtros. Cada filtro es a la vez un sistema Π y un anillo de conjuntos.

Ejemplos de determinación de equivalencia/no equivalencia

Ejemplos: Sea $X=ℝ$ y $E$ el conjunto $\mathbb{Z}$ de números enteros (o el conjunto $\mathbb{N}$). Definir los conjuntos

$ℬ=\{[e,\mathrm{\infty }):e\in E\}\text{ y }{𝒞}_{\mathrm{abierto}}=\{(-\mathrm{\infty },e)\cup (1+e,\mathrm{\infty }):e\in E\}\text{ y }{𝒞}_{\mathrm{cerrado}}=\{(-\mathrm{\infty },e]\cup [1+e,\mathrm{\infty }):e\in E\}.$

Los tres conjuntos son subbases de filtros, pero ninguno es un filtro en $X$ y solo $ℬ$ es un prefiltro (de hecho, $ℬ$ es incluso libre y cerrado bajo intersecciones finitas). El conjunto ${𝒞}_{\mathrm{cerrado}}$ es fijo, mientras que ${𝒞}_{\mathrm{abierto}}$ es libre (a menos que $E=\mathbb{N}$). Satisfacen que ${𝒞}_{\mathrm{cerrado}}\le {𝒞}_{\mathrm{abierto}}\le ℬ,$ pero no hay dos de estas familias equivalentes. Además, no hay dos filtros generados por estas tres subbases de filtros que sean equivalentes/iguales. Se puede llegar a esta conclusión demostrando que los sistemas Π que generan no son equivalentes. A diferencia de ${𝒞}_{\mathrm{abierto}},$ cada conjunto en el sistema Π generado por ${𝒞}_{\mathrm{cerrado}}$ contiene $\mathbb{Z}$ como un subconjunto, que es lo que impide que sus sistemas Π generados (y, por lo tanto, sus filtros generados) sean equivalentes. Si $E$ fuera $\mathbb{Q}\text{ o }ℝ$, entonces las tres familias serían libres y, aunque los conjuntos ${𝒞}_{\mathrm{cerrado}}\text{ y }{𝒞}_{\mathrm{abierto}}$ seguirían siendo Plantilla:Enf equivalentes entre sí, sus sistemas Π generados serían equivalentes y, en consecuencia, generarían el mismo filtro en $X$. Sin embargo, este filtro común seguiría siendo estrictamente más grueso que el filtro generado por $ℬ.$

Propiedades y construcciones en teoría de conjuntos

Traza y concordancia

Si $ℬ$ es un prefiltro (respectivamente filtro) en $X\text{ y }S\subseteq X$, entonces la traza de $ℬ\text{ en }S,$ que es la familia $ℬ{|}_S:=ℬ(\cap )\{S\},$ es un prefiltro (respectivamente un filtro) si y solo si concuerdan $ℬ\text{ y }S$ (es decir, $\varnothing \in ̸ℬ(\cap )\{S\}$),Plantilla:Sfn en cuyo caso se dice que la traza de $ℬ\text{ en }S$ es Plantilla:Enf. Si $ℬ$ es ultra y si $ℬ\text{ y }S$ concuerdan, entonces la traza $ℬ{|}_S$ es ultra. Si $ℬ$ es un ultrafiltro en $X$, entonces la traza de $ℬ\text{ en }S$ es un filtro en $S$ si y solo si $S\in ℬ.$

Por ejemplo, supóngase que $ℬ$ es un filtro en $X\text{ y }S\subseteq X$ y es tal que $S\ne X\text{ y }X\setminus S\in ̸ℬ.$ Entonces, $ℬ\text{ y }S$ concuerdan y $ℬ\cup \{S\}$ genera un filtro en $X$ que es estrictamente más fino que $ℬ.$Plantilla:Sfn

Concordancia de prefiltros

Dadas las familias no vacías $ℬ\text{ y }𝒞,$ la familia

$ℬ(\cap )𝒞:=\{B\cap C:B\in ℬ\text{ y }C\in 𝒞\}$

satisface que $𝒞\le ℬ(\cap )𝒞$ y $ℬ\le ℬ(\cap )𝒞.$ Si $ℬ(\cap )𝒞$ es propio (respectivamente un prefiltro, una subbase de filtros), entonces esto también es cierto para $ℬ\text{ y }𝒞.$ Para hacer deducciones significativas sobre $ℬ(\cap )𝒞$ a partir de $ℬ\text{ y }𝒞,ℬ(\cap )𝒞$ es necesario que sea propio (es decir, $\varnothing \in ̸ℬ(\cap )𝒞,$, que es la motivación para la definición de "concordancia". En este caso, $ℬ(\cap )𝒞$ es un prefiltro (o subbase de filtros) si y solo si esto es cierto para $ℬ\text{ y }𝒞.$ Dicho de otra manera, si $ℬ\text{ y }𝒞$ son prefiltros, entonces concuerdan si y solo si $ℬ(\cap )𝒞$ es un prefiltro. La generalización da una caracterización bien conocida de "concordancia" enteramente en términos de subordinación (es decir, $\le$):

Plantilla:In5Dos prefiltros (respectivamente, subbases de filtros) $ℬ\text{ y }𝒞$ concuerdan entre sí, si y solo si existe un prefiltro (respectivamente, subbase de filtros) $ℱ$ tal que $𝒞\le ℱ$ y $ℬ\le ℱ.$

Si el límite superior mínimo de dos filtros $ℬ\text{ y }𝒞$ existe en $\mathrm{Filtros}(X)$, entonces este límite superior mínimo es igual a $ℬ(\cap )𝒞.$Plantilla:Sfn

Imágenes y preimágenes bajo funciones

En todo momento, $f:X\to Y\text{ y }g:Y\to Z$ son aplicaciones entre conjuntos no vacíos.

Imágenes de prefiltros

Sea $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(Y).$ Muchas de las propiedades que $ℬ$ pueda tener se conservan bajo imágenes de aplicaciones. Las excepciones notables incluyen estar cerrado hacia arriba, estar cerrado bajo intersecciones finitas y ser un filtro, que no necesariamente se conservan.

Explícitamente, si una de las siguientes propiedades es cierta para $ℬ\text{ en }Y,$, entonces necesariamente también será cierta para $g(ℬ)\text{ en }g(Y)$ (aunque posiblemente no en el codominio $Z$ a menos que la aplicación $g$ sea sobreyectiva):Plantilla:SfnPlantilla:SfnPlantilla:SfnPlantilla:SfnPlantilla:SfnPlantilla:Sfn

• Propiedades del filtro: ultra, ultrafiltro, filtro, prefiltro, subbase de filtro, ideal dual, cerrado hacia arriba, propio/no degenerado.
• Propiedades ideales: ideal, cerrado bajo uniones finitas, cerrado hacia abajo, dirigido hacia arriba.

Además, si $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(Y)$ es un prefiltro, también lo son $g(ℬ)\text{ y }{g}^{-1}(g(ℬ)).$Plantilla:Sfn. La imagen bajo una aplicación $f:X\to Y$ de un conjunto ultra $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ es nuevamente ultra y si $ℬ$ es un prefiltro ultra, entonces también lo es $f(ℬ).$

Si $ℬ$ es un filtro, entonces $g(ℬ)$ es un filtro en el rango $g(Y),$ pero es un filtro en el codominio $Z$ si y solo si $g$ es sobreyectiva.Plantilla:Sfn De lo contrario, es solo un prefiltro en $Z$ y su cierre hacia arriba debe tomarse en $Z$ para obtener un filtro. El cierre hacia arriba de $g(ℬ)\text{ en }Z$ es

$g(ℬ{)}^{\uparrow Z}=\{S\subseteq Z:B\subseteq g^{-1}(S)\text{ para algún }B\in ℬ\}$

donde si $ℬ$ está cerrado hacia arriba en $Y$ (es decir, es un filtro), esto se simplifica a:

$g(ℬ{)}^{\uparrow Z}=\{S\subseteq Z:g^{-1}(S)\in ℬ\}.$

Si $X\subseteq Y$, entonces tomar $g$ como la relación de inclusión, $X\to Y$ muestra que cualquier prefiltro (respectivamente, ultra prefiltro, subbase de filtro) en $X$ también es un prefiltro (respectivamente, ultra prefiltro, subbase de filtro) en $Y.$Plantilla:Sfn

Preimágenes de prefiltros

Sea $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(Y).$ Bajo el supuesto de que $f:X\to Y$ es sobreyectiva:

Plantilla:In5$f^{-1}(ℬ)$ es un prefiltro (respectivcamente, subbase de filtro, sistema Π, cerrado bajo uniones finitas, propiamente dicho) si y solo si esto es cierto para $ℬ.$

Sin embargo, si $ℬ$ es un ultrafiltro en $Y$, incluso si $f$ es sobreyectiva (lo que convertiría a $f^{-1}(ℬ)$ en un prefiltro), aún es posible que el prefiltro $f^{-1}(ℬ)$ no sea ni ultra ni un filtro en $X$Plantilla:HspPlantilla:Sfn (consúltese esta nota al pie de página para ver un ejemplo).

Si $f:X\to Y$ no es sobreyectivo, entonces denótese la traza de $ℬ\text{ sobre }f(X)$ por $ℬ{|}_{f(X)},$ donde en este caso particular la traza satisface:

$ℬ{|}_{f(X)}=f(f^{-1}(ℬ))$

y en consecuencia también:

$f^{-1}(ℬ)=f^{-1}\left(ℬ{|}_{f(X)}\right).$

Esta última igualdad y el hecho de que la traza $ℬ{|}_{f(X)}$ sea una familia de conjuntos sobre $f(X)$ significa que para sacar conclusiones sobre $f^{-1}(ℬ),$ se puede utilizar la traza $ℬ{|}_{f(X)}$ en lugar de $ℬ$ y la Plantilla:Enf $f:X\to f(X)$ se puede utilizar en lugar de $f:X\to Y.$ Por ejemplo:Plantilla:SfnPlantilla:SfnPlantilla:Sfn

Plantilla:In5$f^{-1}(ℬ)$ es un prefiltro (respectivamente subbase de filtro, sistema Π, propio) si y solo si esto es cierto para $ℬ{|}_{f(X)}.$

De esta manera, el caso en el que $f$ no es (necesariamente) sobreyectivo se puede reducir al caso de una función sobreyectiva (que es un caso que se describió al comienzo de esta subsección).

Incluso si $ℬ$ es un ultrafiltro en $Y,$ y si $f$ no es sobreyectiva, es posible que $\varnothing \in ℬ{|}_{f(X)},$ lo que haría que $f^{-1}(ℬ)$ también degenere. La siguiente caracterización muestra que la degeneración es el único obstáculo. Si $ℬ$ es un prefiltro, entonces lo siguiente es equivalente:Plantilla:SfnPlantilla:SfnPlantilla:Sfn

1. $f^{-1}(ℬ)$ es un prefiltro;
2. $ℬ{|}_{f(X)}$ es un prefiltro;
3. $\varnothing \in ̸ℬ{|}_{f(X)}$;
4. $ℬ$ se entrelaza con $f(X)$

y además, si $f^{-1}(ℬ)$ es un prefiltro, entonces también lo es $f(f^{-1}(ℬ)).$Plantilla:SfnPlantilla:Sfn

Si $S\subseteq Y$ y $\mathrm{In}:S\to Y$ denotan la relación de inclusión, entonces la traza de $ℬ\text{ en }S$ es igual a ${\mathrm{In}}^{-1}(ℬ).$Plantilla:Sfn Esta observación permite que los resultados de esta subsección se apliquen a la investigación de la traza de un conjunto.

Biyecciones, inyecciones y sobreyecciones

Todas las propiedades que involucran filtros se conservan bajo biyecciones. Esto significa que si $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(Y)\text{ y }g:Y\to Z$ es una biyección, entonces $ℬ$ es un prefiltro (respectivamente ultra, ultra prefiltro, filtro en $X,$ ultrafiltro en la subbase de filtros $X,$ sistema Π, ideal en $X,$ etc.) si y solo si lo mismo es cierto para $g(ℬ)\text{ en }Z.$Plantilla:Sfn

Una aplicación $g:Y\to Z$ es inyectiva si y solo si para todos los prefiltros $ℬ\text{ en }Y,ℬ$ es equivalente a $g^{-1}(g(ℬ)).$Plantilla:Sfn La imagen de una familia de conjuntos ultra bajo una inyección es nuevamente ultra.

La aplicación $f:X\to Y$ es sobreyectiva si y solo si siempre que $ℬ$ sea un prefiltro en $Y$. Lo mismo ocurre con $f^{-1}(ℬ)\text{ en }X$ (este resultado no requiere el lema del ultrafiltro).

La subordinación es preservada por imágenes y preimágenes

La relación $\le$ se conserva tanto en imágenes como en preimágenes de familias de conjuntos.Plantilla:Sfn Esto significa que para Plantilla:Enf familias $𝒞\text{ y }ℱ,$Plantilla:Sfn

$𝒞\le ℱ\text{ implica que }g(𝒞)\le g(ℱ)\text{ y }{f}^{-1}(𝒞)\le f^{-1}(ℱ).$

Además, las siguientes relaciones siempre se cumplen para Plantilla:Enf familia de conjuntos $𝒞$:Plantilla:Sfn

$𝒞\le f(f^{-1}(𝒞))$

donde la igualdad se mantendrá si $f$ es sobreyectiva.Plantilla:Sfn Además,

$f^{-1}(𝒞)=f^{-1}\left(f(f^{-1}(𝒞))\right)\text{ y }g(𝒞)=g(g^{-1}(g(𝒞))).$

Si $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X)\text{ y }𝒞\subseteq \mathrm{\wp }(Y)$, entoncesPlantilla:Sfn

$f(ℬ)\le 𝒞\text{ si y solo si }ℬ\le f^{-1}(𝒞)$

y $g^{-1}(g(𝒞))\le 𝒞$,Plantilla:Sfn donde se mantendrá la igualdad si $g$ es inyectiva.Plantilla:Sfn

Productos de prefiltros

Supóngase que $X_{\bullet }={\left(X_i\right)}_{i\in I}$ es una familia de uno o más conjuntos no vacíos, cuyo producto se denotará por $\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}{X}_i,$ y para cada índice $i\in I,$ sea

$\mathrm{Pr}{}_{X_i}:\prod X_{\bullet }\to X_i$

denota la proyección canónica.

Sean ${ℬ}_{\bullet }:={\left({ℬ}_i\right)}_{i\in I}$ familias no vacías, también indexadas por $I,$ de modo que ${ℬ}_i\subseteq \mathrm{\wp }\left(X_i\right)$ para cada $i\in I.$ El Plantilla:Enf de las familias ${ℬ}_{\bullet }$Plantilla:Sfn se define de manera idéntica a cómo se definen los subconjuntos abiertos básicos de la topología producto (si todos estos ${ℬ}_i$ hubieran sido topologías). Es decir, tanto las notaciones

$\prod _{}{ℬ}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{ℬ}_i$

denota la familia de todos los subconjuntos de cilindros $\prod _{i\in I}{S}_i\subseteq \prod _{}{X}_{\bullet }$ tal que $S_i=X_i$ para todos excepto un número finito de $i\in I$ y donde $S_i\in {ℬ}_i$ para cualquiera de estas excepciones finitas (es decir, para cualquier $i$ tal que $S_i\ne X_i,$ necesariamente $S_i\in {ℬ}_i$). Cuando cada ${ℬ}_i$ es una subbase de filtros, entonces la familia $\bigcup _{i\in I}\mathrm{Pr}{}_{X_i}^{-1}\left({ℬ}_i\right)$ es una subbase de filtros para el filtro en $\prod X_{\bullet }$ generado por ${ℬ}_{\bullet }.$Plantilla:Sfn Si $\prod {ℬ}_{\bullet }$ es una subbase de filtros, entonces el filtro en $\prod X_{\bullet }$ que genera se llama Plantilla:Enf.Plantilla:Sfn Si cada ${ℬ}_i$ es un prefiltro en $X_i$, entonces $\prod {ℬ}_{\bullet }$ será un prefiltro en $\prod X_{\bullet }$ y, además, este prefiltro es igual al prefiltro más grueso $ℱ\text{ en }\prod X_{\bullet }$, de modo que $\mathrm{Pr}{}_{X_i}(ℱ)={ℬ}_i$ por cada $i\in I.$Plantilla:Sfn Sin embargo, es posible que $\prod {ℬ}_{\bullet }$ no sea un filtro en $\prod X_{\bullet }$ incluso si cada ${ℬ}_i$ es un filtro en $X_i.$Plantilla:Sfn

Resta de conjuntos y algunos ejemplos

Conjunto restando un subconjunto al núcleo

Si $ℬ$ es un prefiltro en $X,S\subseteq \ker ℬ,\text{ y }S\in ̸ℬ$, entonces $\{B\setminus S:B\in ℬ\}$ es un prefiltro, donde este último conjunto es un filtro si y solo si $ℬ$ es un filtro y $S=\varnothing .$ En particular, si $ℬ$ es una base de entornos en un punto $x$ en un espacio topológico que tiene $X$ al menos en 2 puntos, entonces $\{B\setminus \{x\}:B\in ℬ\}$ es un prefiltro en $X.$ Esta construcción se utiliza para definir $\underset{\stackrel{x\to x_0}{x\ne x_0}}{\lim }f(x)\to y$ en términos de convergencia de prefiltros.

Usar la dualidad entre ideales e ideales duales

Existe una relación dual Plantilla:Enf o Plantilla:Enf que se define para significar que cada $B\in ℬ$ Plantilla:Enf algún $C\in 𝒞.$ Explícitamente, esto significa que para cada $B\in ℬ$, hay algún $C\in 𝒞$ tal que $B\subseteq C.$ Esta relación es dual con $\le$ en el sentido de que $ℬ⊲𝒞$ si y solo si $(X\setminus ℬ)\le (X\setminus 𝒞).$Plantilla:Sfn La relación $ℬ⊲𝒞$ está estrechamente relacionada con el cierre hacia abajo de una familia, de manera similar a cómo $\le$ se relaciona con la familia del cierre hacia arriba.

Para ver un ejemplo que utiliza esta dualidad, supóngase que $f:X\to Y$ es una aplicación y $\mathrm{\Xi }\subseteq \mathrm{\wp }(Y).$ Defínase

${\mathrm{\Xi }}_f:=\{I\subseteq X:f(I)\in \mathrm{\Xi }\}$

que contiene el conjunto vacío si y solo si $\mathrm{\Xi }$ lo contiene. Es posible que $\mathrm{\Xi }$ sea un ultrafiltro y que ${\mathrm{\Xi }}_f$ esté vacío o no cerrado bajo intersecciones finitas (véase nota al pie, por ejemplo). Aunque ${\mathrm{\Xi }}_f$ no conserva muy bien las propiedades de los filtros, si $\mathrm{\Xi }$ está cerrado hacia abajo (o cerrado bajo uniones finitas, un ideal), entonces esto también será cierto para ${\mathrm{\Xi }}_f.$ El uso de la dualidad entre ideales e ideales duales permite una construcción del siguiente filtro.

Plantilla:In5Supóngase que $ℬ$ es un filtro en $Y$ y sea $\mathrm{\Xi }:=Y\setminus ℬ$ su dual en $Y.$ Si $X\in ̸{\mathrm{\Xi }}_f$, entonces el dual ${\mathrm{\Xi }}_f$ de $X\setminus {\mathrm{\Xi }}_f$ será un filtro.

Otros ejemplos

Ejemplo: El conjunto $ℬ$ de todos los subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico es un sistema Π propio y un prefiltro. Si el espacio es un espacio de Baire, entonces el conjunto de todas las intersecciones numerables de subconjuntos abiertos densos es un sistema Π y un prefiltro que es más fino que $ℬ.$

Ejemplo: La familia ${ℬ}_{\mathrm{abierto}}$ de todos los conjuntos abiertos densos de $X=ℝ$ que tienen medida de Lebesgue finita es un sistema Π adecuado y un prefiltro libre. El prefiltro ${ℬ}_{\mathrm{abierto}}$ está correctamente contenido en el prefiltro que consta de todos los subconjuntos abiertos densos de $ℝ$, y que no es equivalente a él. Dado que $X$ es un espacio de Baire, cada intersección numerable de conjuntos en ${ℬ}_{\mathrm{abierto}}$ es densa en $X$ (y también exigua y no escasa), por lo que el conjunto de todas las intersecciones contables de elementos de ${ℬ}_{\mathrm{abierto}}$ es un prefiltro y un sistema Π; que también es más fino que ${ℬ}_{\mathrm{abierto}}$ y no es equivalente a él.

Filtros y redes

Esta sección describe las relaciones entre prefiltros y redes con gran detalle debido a lo importantes que son estos detalles al aplicar filtros a la topología, particularmente al pasar de utilizar redes a utilizar filtros y viceversa, y porque facilita la comprensión posterior de por qué las subredes (con sus definiciones más utilizadas) generalmente no son equivalentes a "subprefiltros".

Redes para prefiltros

Un red $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}\text{ en }X$ está asociado canónicamente con su prefiltro de colas $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right).$ Si $f:X\to Y$ es una aplicación y $x_{\bullet }$ es una red en $X$, entonces $\mathrm{Colas}\left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f(\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)).$Plantilla:Sfn

Prefiltros para redes

Un Plantilla:Enf es un par $(S,s)$ que consta de un conjunto $S$ no vacío y de un elemento $s\in S.$ Para cualquier familia $ℬ,$ sea

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ):=\{(B,b):B\in ℬ\text{ y }b\in B\}.$

Définase un conjunto preordenado $\le$ canónico en conjuntos puntuados declarando que

$(R,r)\le (S,s)\text{ si y solo si }R\supseteq S.$

Si $s_0,s_1\in S\text{ entonces }(S,s_0)\le (S,s_1)\text{ y }(S,s_1)\le (S,s_0)$, incluso si $s_0\ne s_1,$ entonces este preorden no es antisimétrico y dada cualquier familia de conjuntos $ℬ,$ $(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ),\le )$ está parcialmente ordenada si y solo si $ℬ\ne \varnothing$ consta completamente de conjuntos unitarios. Si $\{x\}\in ℬ\text{ entonces }(\{x\},x)$ es un elemento máximo de $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{p}}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ)$. Además, todos los elementos máximos tienen esta forma. Si $(B,b_0)\in \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{p}}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ)\text{ entonces }(B,b_0)$ es el elemento mayor si y solo si $B=\ker ℬ,$ en cuyo caso $\{(B,b):b\in B\}$ es el conjunto de todos los elementos mayores. Sin embargo, un elemento mayor $(B,b)$ es un elemento máximo si y solo si $B=\{b\}=\ker ℬ,$ por lo que hay como máximo un elemento que es a la vez máximo y mayor.

Existe una aplicación canónica ${\mathrm{Punto}}_{ℬ}:\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{p}}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ)\to X$ definido por $(B,b)\mapsto b.$

Aunque $(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{s}}_{\mathrm{p}}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ),\le )$ no es, en general, un conjunto parcialmente ordenado, es un conjunto dirigido si (y solo si) $ℬ$ es un prefiltro. Entonces, la opción más inmediata para la definición de "la red en $X$ inducida por un prefiltro $ℬ$" es la asignación $(B,b)\mapsto b$ de $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ)$ sobre $X.$

Si $ℬ$ es un prefiltro en $X\text{ entonces }{\mathrm{Red}}_{ℬ}$ es una red en $X$ y el prefiltro asociado con ${\mathrm{Red}}_{ℬ}$ es $ℬ$; es decir:

$\mathrm{Colas}\left({\mathrm{Red}}_{ℬ}\right)=ℬ.$

Esto no sería necesariamente cierto si ${\mathrm{Red}}_{ℬ}$ se hubiera definido en un subconjunto propio de $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ).$ Por ejemplo, supóngase que $X$ tiene al menos dos elementos distintos, $ℬ:=\{X\}$ es el filtro no discreto y $x\in X)$ es arbitrario. Si ${\mathrm{Red}}_{ℬ}$ se hubiera definido en el conjunto unitario $D:=\{(X,x)\},$ donde la restricción de ${\mathrm{Red}}_{ℬ}$ a $D$ se denotará temporalmente por ${\mathrm{Red}}_D:D\to X,$ entonces el prefiltro de colas asociado con ${\mathrm{Red}}_D:D\to X$ sería el prefiltro principal $\{\{x\}\}$ en lugar del filtro original $ℬ=\{X\}$. Esto significa que la igualdad $\mathrm{Colas}\left({\mathrm{Red}}_D\right)=ℬ$ es Plantilla:Enf, por lo que a diferencia de ${\mathrm{Red}}_{ℬ},$ el prefiltro $ℬ$ Plantilla:Enf se puede recuperar de ${\mathrm{Red}}_D.$ Peor aún, mientras que $ℬ$ es el filtro Plantilla:Enf único en $X,$ el prefiltro $\mathrm{Colas}\left({\mathrm{Red}}_D\right)=\{\{x\}\}$ genera un filtro Plantilla:Enf (es decir, un ultrafiltro) en $X.$

Sin embargo, si $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ es una red en $X$, entonces en general Plantilla:Enf es cierto que ${\mathrm{Red}}_{\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)}$ es igual a $x_{\bullet }$ porque, por ejemplo, el dominio de $x_{\bullet }$ puede tener una cardinalidad completamente diferente a la de ${\mathrm{Red}}_{\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)}$ (ya que, a diferencia del dominio de ${\mathrm{Red}}_{\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)},$ el dominio de una red arbitraria en $X$ podría tener Plantilla:Enf cardinalidad).

Ultrarredes y ultra prefiltros

Una red $x_{\bullet }\text{ en }X$ se llama Plantilla:Enf o Plantilla:Enf en $X$ si para cada subconjunto $S\subseteq X,x_{\bullet }$ está finalmente en $S$ o finalmente está en $X\setminus S$. Esto sucede si y solo si $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ es un ultra prefiltro. Un prefiltro $ℬ\text{ en }X$ es un ultra prefiltro si y solo si ${\mathrm{Red}}_{ℬ}$ es una ultrarred en $X.$

Red parcialmente ordenada

El dominio de la red canónica ${\mathrm{Red}}_{ℬ}$ en general no está parcialmente ordenado. Sin embargo, en 1955 Bruns y Schmidt descubrieron una construcción que permite que la red canónica tenga un dominio parcialmente ordenado y dirigido; esto fue redescubierto de forma independiente por Albert Wilansky en 1970.Plantilla:Sfn Comienza con la construcción de un conjunto parcialmente ordenado (lo que significa transitivo y reflexivo) $<$ en un subconjunto de $ℬ\times \mathbb{N}\times X$ que es similar al orden lexicográfico en $ℬ\times \mathbb{N}$ de los órdenes parciales estrictos $(ℬ,⊋)\text{ y }(\mathbb{N},<).$ Para cualquier $i=(B,m,b)\text{ y }j=(C,n,c)$ en $ℬ\times \mathbb{N}\times X,$ se declara que $i<j$ si y solo si

$B\supseteq C\text{and either: }\text{(1) }B\ne C\text{ o si no (2) }B=C\text{ y }m<n,$

o equivalentemente, si y solo si $\text{(1) }B\supseteq C,\text{ y (2) si }B=C\text{ entonces }m<n.$

El orden parcial no estricto asociado con $<,$ denotado por $\le ,$ se define declarando que $i\le j\text{ si y solo si }i<j\text{ o }i=j.$ Desarrollando estas definiciones, se obtiene la siguiente caracterización:

lo que muestra que $\le$ es solo el orden lexicográfico en $ℬ\times \mathbb{N}\times X$ inducido por $(ℬ,\supseteq ),(\mathbb{N},\le ),\text{ y }(X,=),$ donde $X$ está parcialmente ordenado por la igualdad $=.$ Ambos $<\text{ y }\le$ son seriales y ninguno posee un elemento mayor o un elemento máximo. Esto sigue siendo cierto si cada uno de ellos está restringido al subconjunto de $ℬ\times \mathbb{N}\times X$ definido por

$\begin{array}{cc}{\mathrm{Poset}}_{ℬ}& :=\{(B,m,b)\in ℬ\times \mathbb{N}\times X:b\in B\},\\ \end{array}$

donde se supondrá que están en adelante. Denótese la asignación $i=(B,m,b)\mapsto b$ de este subconjunto por:

$\begin{array}{cccccc}{\mathrm{PosetNet}}_{ℬ}:& & {\mathrm{Poset}}_{ℬ}& & \to & X\\ & & (B,m,b)& & \mapsto & b\\ \end{array}$

Si $i_0=(B_0,m_0,b_0)\in {\mathrm{Poset}}_{ℬ}$, al igual que con ${\mathrm{Red}}_{ℬ}$ antes, la cola de ${\mathrm{PosetNet}}_{ℬ}$ que comienza en $i_0$ es igual a $B_0.$ Si $ℬ$ es un prefiltro en $X$ entonces ${\mathrm{PosetNet}}_{ℬ}$ es una red en $X$ cuyo dominio ${\mathrm{Poset}}_{ℬ}$ es un conjunto parcialmente ordenado y además, $\mathrm{Colas}\left({\mathrm{R}\mathrm{e}{\mathrm{d}}_{\mathrm{P}}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}_{ℬ}\right)=ℬ.$Plantilla:Sfn Debido a que las colas de ${\mathrm{R}\mathrm{e}{\mathrm{d}}_{\mathrm{p}}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}}_{ℬ}\text{ y }{\mathrm{Red}}_{ℬ}$ son idénticas (ya que ambas son iguales al prefiltro $ℬ$), normalmente no se pierde nada al suponer que el dominio de la red asociado con un prefiltro es Plantilla:Enf y parcialmente ordenado.Plantilla:Sfn Si el conjunto $\mathbb{N}$ se reemplaza con números racionales positivos, entonces el orden parcial estricto $<$ también será un orden denso.

Filtros subordinados y subredes

La noción de "$ℬ$ está subordinada a $𝒞$" (escrito $ℬ⊢𝒞$) es para filtros y prefiltros lo que "$x_{n_{\bullet }}={\left(x_{n_i}\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, una subsucesión de $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$" es para sucesiones.Plantilla:Sfn Por ejemplo, si $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)=\{x_{\ge i}:i\in \mathbb{N}\}$ denota el conjunto de colas de $x_{\bullet }$ y si $\mathrm{Colas}\left(x_{n_{\bullet }}\right)=\{x_{n_{\ge i}}:i\in \mathbb{N}\}$ denota el conjunto de colas de la subsecuencia $x_{n_{\bullet }}$ (donde $x_{n_{\ge i}}:=\{x_{n_i}:i\in \mathbb{N}\}$), entonces $\mathrm{Colas}\left(x_{n_{\bullet }}\right)⊢\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)$ (es decir, $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)\le \mathrm{Colas}\left(x_{n_{\bullet }}\right)$) es verdadero, pero $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)⊢\mathrm{Colas}\left(x_{n_{\bullet }}\right)$ es en general falso.

No equivalencia de subredes y filtros subordinados

Un subconjunto $R\subseteq I$ de un espacio preordenado $(I,\le )$ es Plantilla:Enf o Plantilla:Enf en $I$ si para cada $i\in I$ existe algún $r\in R\text{ tal que }i\le r.$ Si $R\subseteq I$ contiene una cola de $I$, entonces se dice que $R$ es Plantilla:Enf en $I$}}. Explícitamente, esto significa que existe algún $i\in I\text{ tal que }{I}_{\ge i}\subseteq R$ (es decir, $j\in R\text{ para todo }j\in I\text{ satisficiendo que }i\le j$). Un conjunto final no necesariamente está vacío. Un subconjunto es final si y solo si su complemento no es frecuente (lo que se denomina Plantilla:Enf).Plantilla:Sfn Una aplicación $h:A\to I$ entre dos conjuntos reservados se dice que Plantilla:Enf si siempre que $a,b\in A\text{ satisface que }a\le b,\text{ entonces }h(a)\le h(b).$

Las subredes en el sentido de Willard y las subredes en el sentido de Kelley son las definiciones más utilizadas de "subred".Plantilla:Sfn La primera definición de subred fue introducida por John L. Kelley en 1955.Plantilla:Sfn Stephen Willard introdujo su propia variante de la definición de subred de Kelley en 1970.Plantilla:Sfn Las subredes AA fueron introducidas de forma independiente por Smiley (1957), Aarnes y Andenaes (1972) y Murdeshwar (1983). Aarnes y Andenaes estudiaron con gran detalle las subredes AA, pero no se utilizan con frecuencia.Plantilla:Sfn

Kelley no requirió que la aplicación $h$ preservara el orden, mientras que la definición de una subred de AA elimina por completo cualquier aplicación entre los dominios de las dos redes y en su lugar se centra completamente en $X$, el codominio común de las redes. Cada subred de Willard es una subred de Kelley y ambas son subredes AA.Plantilla:Sfn En particular, si $y_{\bullet }={\left(y_a\right)}_{a\in A}$ es una subred de Willard o una subred de Kelley de $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$, entonces $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)\le \mathrm{Colas}\left(y_{\bullet }\right).$

• Ejemplo: Sea $I=\mathbb{N}$, sea $x_{\bullet }$ una secuencia constante, y póngase por caso que $x_{\bullet }={\left(0\right)}_{i\in \mathbb{N}}.$ Considérese que $s_1=0$ y $A=\{1\}$ de modo que $s_{\bullet }={\left(s_a\right)}_{a\in A}=\left(s_1\right)$ sea una red en $A.$ Entonces $s_{\bullet }$ es una subred AA de $x_{\bullet }$ porque $\mathrm{Colas}\left(x_{\bullet }\right)=\{\{0\}\}=\mathrm{Colas}\left(s_{\bullet }\right).$ Pero $s_{\bullet }$ no es una subred de Willard de $x_{\bullet }$ porque no existe ninguna aplicación $h:A\to I$ cuya imagen sea un subconjunto cofinal de $I=\mathbb{N}.$ Tampoco $s_{\bullet }$ es una subred de Kelley de $x_{\bullet }$ porque si $h:A\to I$ es cualquier mapa entonces $E:=I\setminus \{h(1)\}$ es un subconjunto cofinal de $I=\mathbb{N}$ pero $h^{-1}(E)=\varnothing$ finalmente no está en $A.$

Las subredes AA tienen una caracterización definitoria que muestra inmediatamente que son totalmente intercambiables con filtros subordinados.Plantilla:Sfn Explícitamente, lo que se quiere decir es que la siguiente afirmación es cierta para las subredes AA:

Plantilla:In5Si $ℬ\text{ y }ℱ$ son prefiltros, entonces $ℬ\le ℱ\text{ si y solo si }{\mathrm{Red}}_{ℱ}$ es una subred AA de ${\mathrm{Red}}_{ℬ}.$

Si "subred AA" se reemplaza por "subred de Willard" o "subred de Kelley", la declaración anterior se convierte en Plantilla:Enf. En particular, el problema es que la siguiente afirmación es en general falsa:

Plantilla:In5Plantilla:Enf: si $ℬ\text{ y }ℱ$ son prefiltros de modo que $ℬ\le ℱ\text{ entonces }{\mathrm{Red}}_{ℱ}$ sea una subred Kelley de ${\mathrm{Red}}_{ℬ}.$

Dado que cada subred de Willard es una subred de Kelley, esta afirmación sigue siendo falsa si la palabra "subred de Kelley" se reemplaza por "subred de Willard".

• Contraejemplo (subordinación que las subredes de Kelley no pueden expresar): para todos los $n\in \mathbb{N},$ deje $B_n=\{1\}\cup {\mathbb{N}}_{\ge n}.$ Deje $ℬ=\{B_n:n\in \mathbb{N}\},$ que es un sistema Π propio, y sea $ℱ=\{\{1\}\}\cup ℬ,$ donde ambas familias son prefiltros en los números naturales $X:=\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}.$ Porque $ℬ\le ℱ,ℱ$ es a $ℬ$ como una subsecuencia es a una secuencia. Entonces, idealmente, $S={\mathrm{Red}}_{ℱ}$ debería ser una subred de $B={\mathrm{Red}}_{ℬ}.$ Sea $I:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℬ)$ el dominio de ${\mathrm{Red}}_{ℬ},$ por lo que $I$ contiene un subconjunto cofinal que es de orden isomorfo a $\mathbb{N}$ y, en consecuencia, no contiene ni un elemento máximo ni mayor. Sea $A:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}(ℱ)=\{M\}\cup I,\text{ donde }M:=(1,\{1\})$ un elemento máximo y mayor de $A.$ El conjunto dirigido $A$ también contiene un subconjunto que es de orden isomorfo a $\mathbb{N}$ (porque contiene $I,$ que contiene dicho subconjunto), pero ningún subconjunto de ese tipo puede ser cofinal en $A$ debido al elemento máximo $M.$ En consecuencia, cualquier aplicación $h:A\to I$ que preserve el orden debe ser finalmente constante (con valor $h(M)$), donde $h(M)$ es entonces el elemento mayor del rango $h(A).$ Debido a esto, no puede haber una aplicación $h:A\to I$ que preserve el orden y que satisfaga las condiciones requeridas para que ${\mathrm{Red}}_{ℱ}$ sea una subred Willard de ${\mathrm{Red}}_{ℬ}$ (porque el rango de dicha aplicación $h$ no puede ser cofinal en $I$). Supóngase, en aras de la contradicción, que existe una aplicación $h:A\to I$ tal que $h^{-1}\left(I_{\ge i}\right)$ está finalmente en $A$ para todo $i\in I.$ Porque $h(M)\in I,$ existe $n,n_0\in \mathbb{N}$ tal que $h(M)=(n_0,B_n)\text{ con }{n}_0\in B_n.$ Para cada $i\in I,$ porque $h^{-1}\left(I_{\ge i}\right)$ finalmente está en $A,$ es necesario que $h(M)\in I_{\ge i}.$ En particular, si $i:=(n+2,B_{n+2})$ entonces $h(M)\ge i=(n+2,B_{n+2}),$ que por definición es equivalente a $B_n\subseteq B_{n+2},$ que es falso. En consecuencia, ${\mathrm{Red}}_{ℱ}$ no es una subred de Kelley de ${\mathrm{Red}}_{ℬ}.$.

Si "subred" se define como una subred de Willard o de Kelley, entonces las redes y los filtros no son completamente intercambiables porque existen relaciones filtro-filtro subordinadas que no se pueden expresar en términos de una relación red-subred entre las dos redes inducidas. En particular, el problema es que las subredes de Kelley y de Willard y Plantilla:Enf son completamente intercambiables con filtros subordinados. Si no se utiliza la noción de "subred" o si "subred" se define como subred AA, entonces esto deja de ser un problema y, por lo tanto, resulta correcto decir que las redes y los filtros son intercambiables. A pesar de que las subredes AA no tienen el problema que tienen las subredes de Willard y de Kelley, no se utilizan ni se conocen ampliamente.Plantilla:Sfn

Véase también

• Filtro (matemáticas)
• Filtros en topología
• Filtración (álgebra abstracta)
• Filtro de Fréchet
• Ultrafiltro

Notas

Demostraciones Plantilla:Reflist

Bibliografía

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• Plantilla:Cite web (Proporciona una revisión introductoria de filtros en topología y espacios métricos).
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