Conjuntos prevalentes y cautos

En matemáticas, las nociones de prevalente y cauto son conceptos similares a "casi en todas partes" y "medida cero", que se adaptan bien al estudio de los espacios de dimensión infinita y que hacen uso de la invariancia a la traslación de la medida de Lebesgue en espacios reales de dimensión finita. El término "cauto" (originalmente shy en inglés) fue sugerido por el matemático estadounidense John Milnor.

Definiciones

Prevalencia y cautela

Sea $V$ un espacio vectorial topológico real y sea $S$ un subconjunto de $V$ con medida de Borel. Se dice que $S$ es prevalente si existe un subespacio de dimensión finita $P$ de $V,$ llamado conjunto sonda, tal que para todo $v\in V$ se tiene que $v+p\in S$ para casi todo ${\lambda }_P$ $p\in P,$ donde ${\lambda }_P$ denota la medida de Lebesgue dimensional $\dim (P)$ en $P.$ Dicho de otra manera, para cada $v\in V$ de Lebesgue: casi todos los puntos del hiperplano $v+P$ se encuentran en $S.$

Se dice que un subconjunto que no es de Borel de $V$ es prevalente, si contiene un subconjunto de Borel prevalente.

Se dice que un subconjunto de Borel de $V$ es cauto si su complemento es prevalente; se dice que un subconjunto de $V$ que no es de Borel es cauto si está contenido dentro de un subconjunto de Borel cauto.

Una definición alternativa, y un poco más general, es definir un conjunto $S$ como cauto si existe una medida transversal para $S$ (que no sea una medida trivial).

Prevalencia local y cautela

Se dice que un subconjunto $S$ de $V$ es localmente cauto si cada punto $v\in V$ tiene un entorno $N_v$ cuya intersección con $S$ es un conjunto cauto. Se dice que $S$ es localmente prevalente si su complemento es localmente cauto.

Teoremas sobre prevalencia y cautela

• Si $S$ es cauto, también lo es cada subconjunto de $S$ y cada traslación de $S.$
• Todo conjunto cauto de Borel $S$ admite una medida transversal que es finita y tiene soporte compacto. Además, esta medida se puede elegir de modo que su soporte tenga un diámetro arbitrariamente pequeño.
• Cualquier conjunto numerable finito o unión de conjuntos cautos también es cauto. De manera análoga, prevalece la intersección contable de conjuntos prevalentes.
• Cualquier conjunto cauto también lo es localmente. Si $V$ es un espacio separable, entonces cada subconjunto localmente cauto de $V$ también lo es.
• Un subconjunto $S$ de un espacio euclídeo $n$-dimensional ${ℝ}^n$ es cauto si y solo si tiene medida de Lebesgue cero.
• Cualquier subconjunto prevalente $S$ de $V$ es denso en $V.$
• Si $V$ es de dimensión infinita, entonces cada subconjunto compacto de $V$ es cauto.

En lo sucesivo, se entiende por "casi todos" que la propiedad indicada se cumple en un subconjunto predominante del espacio en cuestión.

• Casi todas las funciones continuas desde el intervalo $[0,1]$ hasta la recta real $ℝ$ son funciones diferenciables; aquí el espacio $V$ es $C([0,1];ℝ)$ con la topología inducida por la norma del supremo.
• Casi todas las funciones $f$ en un espacio $L^p$ $L^1([0,1];ℝ)$ tienen la propiedad de que

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\ne 0.$ Claramente, la misma propiedad se cumple para los espacios de funciones $k$-veces diferenciables $C^k([0,1];ℝ).$

• Para $1<p\le +\mathrm{\infty },$ casi todas las secuencias $a={\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }^p$ tienen la propiedad de que la serie

$\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n$

diverge.

• Versión de prevalencia del teorema de embebido de Whitney: Sea $M$ una variedad compacta de clase $C^1$ y dimensión $d$, contenida en ${ℝ}^n.$ Para $1\le k\le +\mathrm{\infty },$, casi todas las funciones de $C^k$, $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^{2d+1}$ es un encaje de $M.$
• Si $A$ es un subconjunto compacto de ${ℝ}^n$ con dimensión de Hausdorff-Besicovitch $d,$ $m\ge ,$ y $1\le k\le +\mathrm{\infty },$ entonces, para casi todas las funciones $C^k$, $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m,$ $f(A)$ también tiene dimensión de Hausdorff $d.$
• Para $1\le k\le +\mathrm{\infty },$ casi todas las funciones $C^k$ $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ tienen la propiedad de que todos sus puntos periódicos son hiperbólicos. En particular, lo mismo es válido para todos los puntos del período $p$, para cualquier número entero $p.$

Bibliografía

• Plantilla:Cite journal
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