Espacio de interpolación

En el campo de análisis matemático, un espacio de interpolación es aquel que se encuentra "entre" otros dos espacios de Banach. Las principales aplicaciones figuran en los espacios de Sóbolev, donde los espacios de funciones que tienen un número no entero de derivadas se interpolan a partir de los espacios de funciones con un número entero de derivadas.

Historia

La teoría de la interpolación de espacios vectoriales comenzó con una observación de Józef Marcinkiewicz, después generalizada y ahora conocida como el teorema de Riesz-Thorin. En términos simples, si una función lineal es continua en un determinado [[Espacios Lp|espacio Plantilla:Math]] y también en un determinado espacio Plantilla:Math, entonces también es continua en el espacio Plantilla:Math, para cualquier Plantilla:Mvar intermedio entre Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar. En otras palabras, Plantilla:Math es un espacio intermedio entre Plantilla:Math y Plantilla:Math.

En el desarrollo de los espacios de Sóbolev, quedó claro que los espacios de traza no eran ninguno de los espacios funcionales habituales (con un número entero de derivadas), y Jacques-Louis Lions descubrió que, de hecho, estos espacios de traza estaban constituidos por funciones que tienen un grado de diferenciabilidad no entero.

Se diseñaron muchos métodos para generar dichos espacios de funciones, incluidos la transformada de Fourier, la interpolación compleja,. interpolación real, así como otras herramientas (véase, por ejemplo, cálculo fraccional).

Ajuste de la interpolación

Se dice que un espacio de Banach Plantilla:Mvar está "incrustado continuamente" en un espacio vectorial topológico de Hausdorff Plantilla:Mvar cuando Plantilla:Mvar es un subespacio lineal de Plantilla:Mvar, de modo que la aplicación de inclusión de Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar es continua. Una pareja compatible Plantilla:Math de espacios de Banach consta de dos espacios de Banach Plantilla:Math y Plantilla:Math que están continuamente incrustados en el mismo espacio vectorial topológico de Hausdorff Plantilla:Mvar. El embebido en un espacio lineal Plantilla:Mvar permite considerar los dos subespacios lineales.

$X_0\cap X_1$

y

$X_0+X_1=\{z\in Z:z=x_0+x_1,x_0\in X_0,x_1\in X_1\}.$

La interpolación no depende únicamente de las clases de equivalencia isomorfas (ni isométricas) de Plantilla:Math y Plantilla:Math. Depende de manera esencial de la posición relativa específica que ocupan Plantilla:Math y Plantilla:Math en un espacio mayor Plantilla:Mvar.

Se pueden definir normas sobre Plantilla:Math y Plantilla:Math mediante

$\Vert x{\Vert }_{X_0\cap X_1}:=\max ({\Vert x\Vert }_{X_0},{\Vert x\Vert }_{X_1}),$

$\Vert x{\Vert }_{X_0+X_1}:=\inf \{{\Vert x_0\Vert }_{X_0}+{\Vert x_1\Vert }_{X_1}:x=x_0+x_1,x_0\in X_0,x_1\in X_1\}.$

Equipadas con estas normas, la intersección y la suma son espacios de Banach. Las siguientes inclusiones son todas continuas:

$X_0\cap X_1\subset X_0,X_1\subset X_0+X_1.$

La interpolación estudia la familia de espacios Plantilla:Mvar que son espacios intermedios entre Plantilla:Math y Plantilla:Math en el sentido de que

$X_0\cap X_1\subset X\subset X_0+X_1,$

donde las dos aplicaciones de inclusión son continuas.

Un ejemplo de esta situación es el par Plantilla:Math, donde los dos espacios de Banach están continuamente embebidos en el espacio Plantilla:Mvar de funciones medibles en la línea real, equipada con la topología de convergencia de la medida. En esta situación, los espacios Plantilla:Math, para Plantilla:Math, son intermedios entre Plantilla:Math y Plantilla:Math. Más generalmente,

$L^{p_0}(𝐑)\cap L^{p_1}(𝐑)\subset L^p(𝐑)\subset L^{p_0}(𝐑)+L^{p_1}(𝐑),\text{ cuando }1\le p_0\le p\le p_1\le \mathrm{\infty },$

con relaciones inyectivas continuas, de modo que, bajo la condición dada, Plantilla:Math es intermedio entre Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Definición. Dados dos pares compatibles Plantilla:Math y Plantilla:Math, un par de interpolación es un par Plantilla:Math de espacios de Banach con las dos propiedades siguientes:

• El espacio X es intermedio entre Plantilla:Math y Plantilla:Math, e Y es intermedio entre Plantilla:Math e Plantilla:Math.
• Si Plantilla:Math es cualquier operador lineal de Plantilla:Math a Plantilla:Math, que asigna continuamente Plantilla:Math a Plantilla:Math y Plantilla:Math a Plantilla:Math, entonces también asigna continuamente Plantilla:Math a Plantilla:Math.

Se dice que el par de interpolación Plantilla:Math es de exponente Plantilla:Mvar (con Plantilla:Math) si existe una constante Plantilla:Math tal que

$\Vert L{\Vert }_{X,Y}\le C\Vert L{\Vert }_{X_0,Y_0}^{1-\theta }\Vert L{\Vert }_{X_1,Y_1}^{\theta }$

para todos los operadores Plantilla:Mvar como se indica arriba. La notación Plantilla:Math es para la norma de Plantilla:Math como un aplicación de Plantilla:Math a Plantilla:Math. Si Plantilla:Math, se dice que Plantilla:Math es un 'par de interpolación exacto del exponente Plantilla:Mvar.

Interpolación compleja

Si los escalares son números complejos, las propiedades de las funciones analíticas complejas se utilizan para definir un espacio de interpolación. Dada una pareja compatible (X₀, X₁) de espacios de Banach, el espacio lineal $ℱ(X_0,X_1)$ consta de todas las funciones Plantilla:Math, que son analíticas en Plantilla:Math continuas en Plantilla:Math y para las cuales todos los siguientes subconjuntos están acotados:

Plantilla:Math,

Plantilla:Math,

Plantilla:Math.

Además, $ℱ(X_0,X_1)$ es un espacio de Banach según la norma

$\Vert f{\Vert }_{ℱ(X_0,X_1)}=\max \{\underset{t\in 𝐑}{\sup }\Vert f(it){\Vert }_{X_0},\underset{t\in 𝐑}{\sup }\Vert f(1+it){\Vert }_{X_1}\}.$

Definición: Para Plantilla:Math, el espacio de interpolación complejo Plantilla:Math es el subespacio lineal de Plantilla:Math que consta de todos los valores f(θ) cuando f varía en el espacio de funciones anterior,

$(X_0,X_1{)}_{\theta }=\{x\in X_0+X_1:x=f(\theta ),f\in ℱ(X_0,X_1)\}.$

La norma en el espacio de interpolación complejo Plantilla:Math está definida por

$\Vert x{\Vert }_{\theta }=\inf \{\Vert f{\Vert }_{ℱ(X_0,X_1)}:f(\theta )=x,f\in ℱ(X_0,X_1)\}.$

Equipado con esta norma, el espacio de interpolación complejo Plantilla:Math es un espacio de Banach.

Teorema: Dados dos pares compatibles de espacios de Banach Plantilla:Math e Plantilla:Math, el par Plantilla:Math es un par de interpolación exacta del exponente Plantilla:Mvar, es decir, si Plantilla:Math, es un operador lineal acotado de Plantilla:Math a Plantilla:Math, entonces Plantilla:Mvar está delimitado de Plantilla:Math a Plantilla:Math, y además, $\Vert T{\Vert }_{\theta }\le \Vert T{\Vert }_0^{1-\theta }\Vert T{\Vert }_1^{\theta }.$

La familia de espacios Plantilla:Math (que consta de funciones con valores complejos) se comporta bien en condiciones de interpolación compleja. Si Plantilla:Math es un espacio métrico arbitrario, si Plantilla:Math y Plantilla:Math, entonces

${(L^{p_0}(R,\mathrm{\Sigma },\mu ),L^{p_1}(R,\mathrm{\Sigma },\mu ))}_{\theta }=L^p(R,\mathrm{\Sigma },\mu ),\frac{1}{p}=\frac{1-\theta }{p_0}+\frac{\theta }{p_1},$

con igualdad de normas. Este hecho está estrechamente relacionado con el teorema de Riesz-Thorin.

Interpolación real

Hay dos formas de introducir el método de interpolación real. El primero y más comúnmente utilizado cuando se identifican ejemplos de espacios de interpolación es el método K. El segundo método, el método J, proporciona los mismos espacios de interpolación que el método K cuando el parámetro Plantilla:Mvar está en Plantilla:Math. Que los métodos J y K concuerden es importante para el estudio de duales de espacios de interpolación: básicamente, el dual de un espacio de interpolación construido por el método K parece ser un espacio construido a partir del par dual por el método J (véase más abajo).

Método K

El método K de interpolación real se puede utilizar para espacios de Banach sobre el cuerpo Plantilla:Math de los números reales.

Definición: Sea Plantilla:Math un par compatible de espacios de Banach. Para Plantilla:Math y cada Plantilla:Math, sea

$K(x,t;X_0,X_1)=\inf \{{\Vert x_0\Vert }_{X_0}+t{\Vert x_1\Vert }_{X_1}:x=x_0+x_1,x_0\in X_0,x_1\in X_1\}.$

Cambiar el orden de los dos espacios da como resultado:

$K(x,t;X_0,X_1)=tK(x,t^{-1};X_1,X_0).$

Sea

$\begin{array}{cccc}\Vert x{\Vert }_{\theta ,q;K}& ={\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(t^{-\theta }K(x,t;X_0,X_1))}^q\frac{dt}{t}\right)}^{\frac{1}{q}},& & 0<\theta <1,1\le q<\mathrm{\infty },\\ \Vert x{\Vert }_{\theta ,\mathrm{\infty };K}& =\underset{t>0}{\sup }{t}^{-\theta }K(x,t;X_0,X_1),& & 0\le \theta \le 1.\end{array}$

El método K de interpolación real consiste en tomar Plantilla:Math como el subespacio lineal de Plantilla:Math que consta de todos los Plantilla:Mvar tales que Plantilla:Math.

Ejemplo

Un ejemplo importante es el de la pareja Plantilla:Math, donde el funcional Plantilla:Math se puede calcular explícitamente. La medida Plantilla:Mvar se supone [[Medida sigma-finita|Plantilla:Mvar-finita]]. En este contexto, la mejor manera de separar la función Plantilla:Math como suma de dos funciones Plantilla:Math y Plantilla:Math es, para elegir algún Plantilla:Math como función de Plantilla:Mvar, dejar que Plantilla:Math esté dado para todos los Plantilla:Math por

$f_1(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& |f(x)|<s,\\ \frac{sf(x)}{|f(x)|}& \text{ en otros casos }\end{array}$

La elección óptima de Plantilla:Mvar conduce a la fórmula

$K(f,t;L^1,L^{\mathrm{\infty }})=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}^{*}(u)du,$

donde Plantilla:Math es el reordenamiento decreciente de Plantilla:Math.

Método J

Al igual que con el método K, el método J se puede utilizar para espacios de Banach reales.

Definición: Sea Plantilla:Math un par compatible de espacios de Banach. Para Plantilla:Math y para cada vector Plantilla:Math, sea :$J(x,t;X_0,X_1)=\max (\Vert x{\Vert }_{X_0},t\Vert x{\Vert }_{X_1}).$

Un vector Plantilla:Mvar en Plantilla:Math pertenece al espacio de interpolación Plantilla:Math si y solo si se puede escribir como

$x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}v(t)\frac{dt}{t},$

donde Plantilla:Math es medible con valores en Plantilla:Math y tal que

$\mathrm{\Phi }(v)={\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(t^{-\theta }J(v(t),t;X_0,X_1))}^q\frac{dt}{t}\right)}^{\frac{1}{q}}<\mathrm{\infty }.$

La norma de Plantilla:Mvar en Plantilla:Math viene dada por la fórmula

$\Vert x{\Vert }_{\theta ,q;J}:=\underset{v}{\inf }\{\mathrm{\Phi }(v):x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}v(t)\frac{dt}{t}\}.$

Relaciones entre los métodos de interpolación

Los dos métodos de interpolación real son equivalentes cuando Plantilla:Math.

Teorema: Sea Plantilla:Math un par compatible de espacios de Banach. Si Plantilla:Math y Plantilla:Math, entonces :$J_{\theta ,q}(X_0,X_1)=K_{\theta ,q}(X_0,X_1),$ con equivalencia de normas.

El teorema cubre casos degenerados que no han sido excluidos: por ejemplo, si Plantilla:Math y Plantilla:Math forman una suma directa, entonces la intersección y los espacios J son el espacio nulo, y un cálculo simple muestra que los espacios K también son nulos.

Cuando Plantilla:Math, se puede hablar, hasta una renormación equivalente, de el espacio de Banach obtenido por el método de interpolación real con los parámetros Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar. La notación para este espacio de interpolación real es Plantilla:Math. Entonces, se tiene que

$(X_0,X_1{)}_{\theta ,q}=(X_1,X_0{)}_{1-\theta ,q},0<\theta <1,1\le q\le \mathrm{\infty }.$

Para un valor dado de Plantilla:Mvar, los espacios de interpolación reales aumentan con Plantilla:Mvar: si Plantilla:Math y Plantilla:Math, se cumple la siguiente inclusión continua:

$(X_0,X_1{)}_{\theta ,q}\subset (X_0,X_1{)}_{\theta ,r}.$

Teorema: Dados Plantilla:Math, Plantilla:Math y dos pares compatibles Plantilla:Math y Plantilla:Math, el par Plantilla:Math es un par de interpolación exacta del exponente Plantilla:Mvar.

Un espacio de interpolación complejo no suele ser isomorfo a uno de los espacios dados por el método de interpolación real. Sin embargo, existe una relación general.

Teorema: Sea Plantilla:Math un par compatible de espacios de Banach. Si Plantilla:Math, entonces :$(X_0,X_1{)}_{\theta ,1}\subset (X_0,X_1{)}_{\theta }\subset (X_0,X_1{)}_{\theta ,\mathrm{\infty }}.$

Ejemplos

Cuando Plantilla:Math y Plantilla:Math, el espacio de funciones continuamente diferenciables en Plantilla:Math, el método de interpolación Plantilla:Math, para Plantilla:Math, da el espacio de Hölder Plantilla:Math del exponente Plantilla:Mvar. Esto se debe a que el K-funcional Plantilla:Math de esta pareja es equivalente a

$\sup \{|f(u)|,\frac{|f(u)-f(v)|}{1+t^{-1}|u-v|}:u,v\in [0,1]\}.$

Aquí solo son interesantes los valores Plantilla:Math.

La interpolación real entre espacios Plantilla:Math genera la familia del espacio de Lorentz. Suponiendo que Plantilla:Math y Plantilla:Math, se tiene:

${(L^1(𝐑,\mathrm{\Sigma },\mu ),L^{\mathrm{\infty }}(𝐑,\mathrm{\Sigma },\mu ))}_{\theta ,q}=L^{p,q}(𝐑,\mathrm{\Sigma },\mu ),\text{ donde }\frac{1}{p}=1-\theta ,$

con normas equivalentes. Esto se deduce de la desigualdad de Hardy y del valor dado anteriormente del K-funcional para esta pareja compatible. Cuando Plantilla:Math, el espacio de Lorentz Plantilla:Math es igual a Plantilla:Math, hasta la renormación. Cuando Plantilla:Math, el espacio de Lorentz Plantilla:Math es igual al [[Espacios Lp|espacio Plantilla:Math débil]].

Teorema de reiteración

Un espacio intermedio Plantilla:Mvar de la pareja compatible Plantilla:Math se dice que es de clase θ si

$(X_0,X_1{)}_{\theta ,1}\subset X\subset (X_0,X_1{)}_{\theta ,\mathrm{\infty }},$

con inyecciones continuas. Además de todos los espacios de interpolación reales Plantilla:Math con parámetros Plantilla:Mvar y Plantilla:Math, el espacio de interpolación complejo Plantilla:Math es un espacio intermedio de clase Plantilla:Mvar de la pareja compatible Plantilla:Math.

Los teoremas de reiteración dicen, en esencia, que interpolar con un parámetro Plantilla:Mvar se comporta, de alguna manera, como formar una combinación convexa Plantilla:Math: tomando una combinación convexa adicional de dos combinaciones convexas se obtiene otra combinación convexa.

Teorema. Sean Plantilla:Math espacios intermedios de la pareja compatible Plantilla:Math, de clase Plantilla:Math y Plantilla:Math respectivamente, con Plantilla:Math. Cuando Plantilla:Math y Plantilla:Math, se tiene que: $(A_0,A_1{)}_{\theta ,q}=(X_0,X_1{)}_{\eta ,q},\eta =(1-\theta ){\theta }_0+\theta {\theta }_1.$

Es notable que al interpolar con el método real entre Plantilla:Math y Plantilla:Math, solo importan los valores de Plantilla:Math y Plantilla:Math. Además, Plantilla:Math y Plantilla:Math pueden ser espacios de interpolación complejos entre Plantilla:Math y Plantilla:Math, con parámetros Plantilla:Math y Plantilla:Math respectivamente.

También existe un teorema de reiteración para el método complejo.

Teorema: Sea Plantilla:Math un par compatible de espacios de Banach complejos y supóngase que Plantilla:Math es denso en Plantilla:Math y en Plantilla:Math. Sean Plantilla:Math y Plantilla:Math, donde Plantilla:Math. Supóngase además que Plantilla:Math es denso en Plantilla:Math. Entonces, por cada Plantilla:Math, :${({(X_0,X_1)}_{{\theta }_0},{(X_0,X_1)}_{{\theta }_1})}_{\theta }=(X_0,X_1{)}_{\eta },\eta =(1-\theta ){\theta }_0+\theta {\theta }_1.$

La condición de densidad siempre se cumple cuando Plantilla:Math o Plantilla:Math.

Dualidad

Sea Plantilla:Math una pareja compatible y supóngase que Plantilla:Math es denso en X₀ y en X₁. En este caso, la aplicación de restricción del dual (continuo) $X{\text{'}}_j$ de Plantilla:Math, Plantilla:Math al dual de Plantilla:Math guarda una relación uno a uno. De ello se deduce que el par de duales $(X{\text{'}}_0,X{\text{'}}_1)$ es un par compatible continuamente embebido en el dual Plantilla:Math.

Para el método de interpolación complejo, se cumple el siguiente resultado de dualidad:

Teorema: Sea Plantilla:Math un par compatible de espacios de Banach complejos y supóngase que Plantilla:Math es denso en Plantilla:Math y en Plantilla:Math. Si Plantilla:Math y Plantilla:Math son reflexivos, entonces el dual del espacio de interpolación complejo se obtiene interpolando los duales, :$((X_0,X_1{)}_{\theta }{)}^{\prime }={(X{\text{'}}_0,X{\text{'}}_1)}_{\theta },0<\theta <1.$

En general, el dual del espacio Plantilla:Math es igual a ${(X{\text{'}}_0,X{\text{'}}_1)}^{\theta },$ un espacio definido por una variante del método complejo. El θ superior y el θ inferior de los distintos métodos no coinciden en general, pero sí si al menos uno de los dos espacios X₀, X₁ es reflexivo.

Para el método de interpolación real, la dualidad se cumple siempre que el parámetro q sea finito:

Teorema: Sean Plantilla:Math y Plantilla:Math un par compatible de espacios reales de Banach. Supóngase que Plantilla:Math es denso en Plantilla:Math y en Plantilla:Math. Entonces :$\left({(X_0,X_1)}_{\theta ,q}\right)={(X{\text{'}}_0,X{\text{'}}_1)}_{\theta ,q^{\prime }},$ donde $\frac{1}{q^{\prime }}=1-\frac{1}{q}.$

Definiciones discretas

Dado que la función Plantilla:Math varía regularmente (está aumentando, pero Plantilla:Math está disminuyendo), la definición de la norma Plantilla:Math de un vector Plantilla:Mvar, previamente dada por una integral, es equivalente a una definición dada por una serie. Esta serie se obtiene rompiendo Plantilla:Math en pedazos Plantilla:Math de igual tamaño para la medida Plantilla:Math,

$\Vert x{\Vert }_{\theta ,q;K}\simeq {\left(\sum _{n\in 𝐙}{\left(2^{-\theta n}K(x,2^n;X_0,X_1)\right)}^q\right)}^{\frac{1}{q}}.$

En el caso especial en el que Plantilla:Math está embebido continuamente en Plantilla:Math, se puede omitir la parte de la serie con índices negativos Plantilla:Mvar. En este caso, cada una de las funciones Plantilla:Math define una norma equivalente en Plantilla:Math.

El espacio de interpolación Plantilla:Math es un "subespacio diagonal" de una suma Plantilla:Math de una secuencia de espacios de Banach (cada uno de ellos isomorfo a Plantilla:Math). Por lo tanto, cuando Plantilla:Mvar es finito, el dual de Plantilla:Math es un cociente de la Plantilla:Math-suma de los duales, Plantilla:Math, lo que lleva a la siguiente fórmula para la norma Plantilla:Math discreta de una x funcional en el dual de Plantilla:Math:

$\Vert x^{\prime }{\Vert }_{\theta ,p;J}\simeq \inf \{{\left(\sum _{n\in 𝐙}{(2^{\theta n}\max ({\Vert x{\text{'}}_n\Vert }_{X{\text{'}}_0},2^{-n}{\Vert x{\text{'}}_n\Vert }_{X{\text{'}}_1}))}^p\right)}^{\frac{1}{p}}:x^{\prime }=\sum _{n\in 𝐙}x{\text{'}}_n\}.$

La fórmula habitual para la norma Plantilla:Math discreta se obtiene cambiando Plantilla:Mvar por Plantilla:Math.

La definición discreta facilita el estudio de varias cuestiones, entre las que destaca la ya mencionada identificación del dual. Otras cuestiones similares son la compacidad o la falta de compacidad de los operadores lineales. Lions y Peetre han demostrado que:

Teorema: Si el operador lineal Plantilla:Mvar es compacto de Plantilla:Math a un espacio de Banach Plantilla:Mvar y está acotado de Plantilla:Math a Plantilla:Mvar, entonces Plantilla:Mvar es compacto de Plantilla:Math a Plantilla:Mvar cuando Plantilla:Math, Plantilla:Math.

Davis, Figiel, Johnson y Pełczyński utilizaron la interpolación en su demostración del siguiente resultado:

Teorema: Un operador lineal acotado entre dos espacios de Banach es débilmente compacta si y solo si se factoriza a través de un espacio reflexivo.

Método de interpolación general

El espacio Plantilla:Math usado para la definición discreta se puede reemplazar por un espacio secuencial Y arbitrario con bases incondicionales, y los pesos Plantilla:Math, Plantilla:Math, que se usan para la norma Plantilla:Math, se pueden reemplazar por pesos generales

$a_n,b_n>0,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\min (a_n,b_n)<\mathrm{\infty }.$

El espacio de interpolación Plantilla:Math consta de los vectores Plantilla:Mvar en Plantilla:Math tales que

$\Vert x{\Vert }_{K(X_0,X_1)}=\underset{m\ge 1}{\sup }{\Vert \sum _{n=1}^m{a}_{n}K(x,\frac{b_n}{a_n};X_0,X_1)y_n\Vert }_Y<\mathrm{\infty },$

donde {y_n} es la base incondicional de Plantilla:Mvar. Este método abstracto se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar el siguiente resultado:

Teorema: Un espacio de Banach con base incondicional es isomorfo a un subespacio complementado de un espacio con bases simétricas.

Interpolación de los espacios de Sóbolev y Besov

Hay varios resultados de interpolación disponibles para espacios de Sóbolev y espacios de Besov en 'Rⁿ,

$\begin{array}{cccc}& H_p^s& & s\in 𝐑,1\le p\le \mathrm{\infty }\\ & B_{p,q}^s& & s\in 𝐑,1\le p,q\le \mathrm{\infty }\end{array}$

Estos espacios son de funciones medibles en Plantilla:Math cuando Plantilla:Math, y de distribuciones temperadas en Plantilla:Math cuando Plantilla:Math. Para el resto de la sección, se utilizará la siguiente configuración y notación:

$\begin{array}{cc}0& <\theta <1,\\ 1& \le p,p_0,p_1,q,q_0,q_1\le \mathrm{\infty },\\ s,& s_0,s_1\in 𝐑,\\ s_{\theta }& =(1-\theta )s_0+\theta s_1,\\ \frac{1}{p_{\theta }}& =\frac{1-\theta }{p_0}+\frac{\theta }{p_1},\\ \frac{1}{q_{\theta }}& =\frac{1-\theta }{q_0}+\frac{\theta }{q_1}.\end{array}$

La interpolación compleja funciona bien en la clase de espacios de Sóbolev $H_p^s$ (los espacios potenciales de Bessel), así como en espacios de Besov:

$\begin{array}{cccc}{(H_{p_0}^{s_0},H_{p_1}^{s_1})}_{\theta }& =H_{p_{\theta }}^{s_{\theta }},& & s_0\ne s_1,1<p_0,p_1<\mathrm{\infty }.\\ {(B_{p_0,q_0}^{s_0},B_{p_1,q_1}^{s_1})}_{\theta }& =B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},& & s_0\ne s_1.\end{array}$

La interpolación real entre espacios de Sóbolev puede dar espacios de Besov, excepto cuando Plantilla:Math,

${(H_{p_0}^s,H_{p_1}^s)}_{\theta ,p_{\theta }}=H_{p_{\theta }}^s.$

Cuando Plantilla:Math pero Plantilla:Math, la interpolación real entre espacios de Sóbolev da un espacio de Besov:

${(H_p^{s_0},H_p^{s_1})}_{\theta ,q}=B_{p,q}^{s_{\theta }},s_0\ne s_1,$

y también

$\begin{array}{cccc}{(B_{p,q_0}^{s_0},B_{p,q_1}^{s_1})}_{\theta ,q}& =B_{p,q}^{s_{\theta }},& & s_0\ne s_1.\\ {(B_{p,q_0}^s,B_{p,q_1}^s)}_{\theta ,q}& =B_{p,q_{\theta }}^s.\\ {(B_{p_0,q_0}^{s_0},B_{p_1,q_1}^{s_1})}_{\theta ,q_{\theta }}& =B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},& & s_0\ne s_1,p_{\theta }=q_{\theta }.\end{array}$

Véase también

• Teorema de Riesz-Thorin
• Teorema de interpolación de Marcinkiewicz

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Leoni, Giovanni (2017). Un primer curso en espacios de Sobolev: segunda edición. Graduate Studies in Mathematics. 181. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 734. Plantilla:ISBN.
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro