Variedad de Stiefel

En matemáticas, la variedad de Stiefel $V_k({ℝ}^n)$ es el conjunto de todos los k-marcos ortonormales en ${ℝ}^n,$ es decir, es el conjunto de las k-tuplas de vectores ortonormales ordenados en ${ℝ}^n.$ Lleva el nombre del matemático suizo Eduard Stiefel. Del mismo modo, se puede definir la variedad de Stiefel compleja $V_k({ℂ}^n)$ de k-marcos ortonormales en ${ℂ}^n$ y la variedad de Stiefel cuaterniónica $V_k({ℍ}^n)$ de k-marcos ortonormales en ${ℍ}^n$. De manera más general, la construcción se aplica a cualquier espacio prehilbertiano real, complejo o cuaterniónico.

En algunos contextos, una variedad de Stiefel no compacta se define como el conjunto de todos los k-marcos linealmente independientes en ${ℝ}^n,{ℂ}^n,$ o en ${ℍ}^n;$ resultando una equivalencia homotópica, ya que la variedad de Stiefel compacta es una retracción de deformación de la no compacta, mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Las afirmaciones sobre la forma no compacta corresponden a las de la forma compacta, reemplazando grupo ortogonal (o unitario o grupo simpléctico) por grupo lineal general.

Topología

Sea $𝔽$ el equivalente de $ℝ,ℂ,$ o $ℍ.$. La variedad de Stiefel $V_k({𝔽}^n)$ puede considerarse como un conjunto de matrices n × k expresando un k-marco como una matriz vector columna de orden k en ${𝔽}^n.$ La condición de ortonormalidad se expresa mediante A*A = $I_k$, donde A* denota la matriz traspuesta conjugada de A y $I_k$ denota la matriz identidad de orden k × k. Entonces, se tiene que

$V_k({𝔽}^n)=\{A\in {𝔽}^{n\times k}:A^{*}A=I_k\}.$

La topología en $V_k({𝔽}^n)$ es la topología del subespacio heredada de ${𝔽}^{n\times k}.$ Con esta topología, $V_k({𝔽}^n)$ es una variedad compacta cuya dimensión viene dada por

$\begin{array}{cc}\dim V_k({ℝ}^n)& =nk-\frac{1}{2}k(k+1)\\ \dim V_k({ℂ}^n)& =2nk-k^2\\ \dim V_k({ℍ}^n)& =4nk-k(2k-1)\end{array}$

Como un espacio homogéneo

Cada una de las variedades de Stiefel $V_k({𝔽}^n)$ puede verse como un espacio homogéneo para la acción de un grupo clásico de forma natural.

Cada transformación ortogonal de un k-marco en ${ℝ}^n$ da como resultado otro k-marco, y dos k-marcos cualesquiera están relacionados mediante alguna transformación ortogonal. En otras palabras, el grupo ortogonal O(n) actúa transitivamente sobre $V_k({ℝ}^n).$ La acción de un marco dado es el subgrupo isomorfo O(n−k) que actúa de manera no trivial sobre el complemento ortogonal del espacio abarcado por ese marco.

Asimismo, el grupo unitario U(n) actúa transitivamente sobre $V_k({ℂ}^n)$ con el subgrupo estabilizador U(n−k) y el grupo simpléctico Sp(n) actúa transitivamente sobre $V_k({ℍ}^n)$ con el subgrupo estabilizador Sp(n-k).

En cada caso, $V_k({𝔽}^n)$ puede verse como un espacio homogéneo:

$\begin{array}{cc}{V}_k({ℝ}^n)& \cong \text{O}(n)/\text{O}(n-k)\\ V_k({ℂ}^n)& \cong \text{U}(n)/\text{U}(n-k)\\ V_k({ℍ}^n)& \cong \text{Sp}(n)/\text{Sp}(n-k)\end{array}$

Cuando k = n, la acción correspondiente es libre, de modo que la variedad de Stiefel $V_n({𝔽}^n)$ es un espacio homogéneo principal para el grupo clásico correspondiente.

Cuando k es estrictamente menor que n, entonces el grupo ortogonal SO(n) también actúa transitivamente sobre $V_k({ℝ}^n)$ con un subgrupo estabilizador isomorfo a SO(n−k), de modo que

$V_k({ℝ}^n)\cong \text{SO}(n)/\text{SO}(n-k)\text{ para }k<n.$

Lo mismo se aplica a la acción del grupo unitario especial sobre $V_k({ℂ}^n)$

$V_k({ℂ}^n)\cong \text{SU}(n)/\text{SU}(n-k)\text{ para }k<n.$

Así, para k = n − 1, la variedad de Stiefel es un espacio principal homogéneo para el correspondiente grupo clásico especial.

Medida uniforme

La variedad de Stiefel puede equiparse con una medida uniforme, es decir, una medida de Borel que es invariante bajo la acción de los grupos mencionados anteriormente. Por ejemplo, $V_1({ℝ}^2)$, que es isomorfo al círculo unitario en el plano euclídeo, tiene como medida uniforme la medida uniforme obvia (longitud de arco) en la circunferencia. Es sencillo muestrear esta medida en $V_k({𝔽}^n)$ usando matrices aleatorias gaussianas: si $A\in {𝔽}^{n\times k}$ es una matriz aleatoria con entradas independientes distribuidas idénticamente según una distribución normal en $𝔽$ y A=QR es la factorización QR de A, entonces las matrices, $Q\in {𝔽}^{n\times k},R\in {𝔽}^{k\times k}$ son independientes y Q se distribuye según la medida uniforme en $V_k({𝔽}^n).$ Este resultado es consecuencia del teorema de descomposición de Bartlett.

Casos especiales

Un 1-marco en ${𝔽}^n$ no es más que un vector unitario, por lo que la variedad de Stiefel $V_1({𝔽}^n)$ es solo la 1-esfera en ${𝔽}^n.$. Por lo tanto:

$\begin{array}{cc}{V}_1({ℝ}^n)& =S^{n-1}\\ V_1({ℂ}^n)& =S^{2n-1}\\ V_1({ℍ}^n)& =S^{4n-1}\end{array}$

Dado un 2-marco en ${ℝ}^n,$ considerar que el primer vector defina un punto en Sⁿ⁻¹ y el segundo un vector unitario tangente a la esfera en ese punto. De esta manera, la variedad de Stiefel $V_2({ℝ}^n)$ puede identificarse con el paquete tangente unitario Plantilla:Nowrap

Cuando k = n o n−1, se vio en la sección anterior que $V_k({𝔽}^n)$ es un espacio principal homogéneo, y por lo tanto difeomorfo con respecto al grupo clásico correspondiente:

$\begin{array}{cc}{V}_{n-1}({ℝ}^n)& \cong \mathrm{S}\mathrm{O}(n)\\ V_{n-1}({ℂ}^n)& \cong \mathrm{S}\mathrm{U}(n)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{V}_n({ℝ}^n)& \cong \mathrm{O}(n)\\ V_n({ℂ}^n)& \cong \mathrm{U}(n)\\ V_n({ℍ}^n)& \cong \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\end{array}$

Funcionalidad

Dada una inclusión ortogonal entre espacios vectoriales $X\hookrightarrow Y,$, la imagen de un conjunto de k vectores ortonormales es ortonormal, por lo que hay una inclusión cerrada inducida de variedades de Stiefel, $V_k(X)\hookrightarrow V_k(Y),$ y este es un funtor. Más sutilmente, dado un espacio vectorial X de n, la construcción de una base dual proporciona una biyección entre las bases de X y las bases del espacio dual $X^{*},$ que es continua y, por lo tanto, produce un homeomorfismo de las variedades superiores de Stiefel $V_n(X)\stackrel{\sim }{\to }{V}_n(X^{*}).$ Esto también es un functor para isomorfismos de espacios vectoriales.

Como paquete principal

Existe una proyección natural

$p:V_k({𝔽}^n)\to G_k({𝔽}^n)$

desde la variedad de Stiefel $V_k({𝔽}^n)$ sobre el grasmaniano de k-planos en ${𝔽}^n$, que envía un k-marco al subespacio abarcado por ese marco. La fibra sobre un punto dado P en $G_k({𝔽}^n)$ es el conjunto de todos los k-marcos ortonormales contenidos en el espacio P.

Esta proyección tiene la estructura del fibrado principal G, donde G es el grupo clásico asociado de grado k. Tómese el caso real para facilitar la concreción del desarrollo. Existe una acción a derecha natural de O(k) en $V_k({ℝ}^n)$ que rota un k-marco en el espacio que abarca. Esta acción es libre pero no transitiva. Las órbitas de esta acción son precisamente los k-marcos ortonormales que abarcan un subespacio de dimensión k dado; es decir, son las fibras de la aplicación p. Argumentos similares son válidos en los casos complejo y cuaterniónico.

Entonces, se tiene una secuencia de paquetes principales:

$\begin{array}{cc}\mathrm{O}(k)& \to V_k({ℝ}^n)\to G_k({ℝ}^n)\\ \mathrm{U}(k)& \to V_k({ℂ}^n)\to G_k({ℂ}^n)\\ \mathrm{S}\mathrm{p}(k)& \to V_k({ℍ}^n)\to G_k({ℍ}^n)\end{array}$

Los fibrados vectoriales asociados de estos paquetes principales a través de la acción natural de G sobre ${𝔽}^k$ son solo los paquetes tautológicos sobre los Grassmannianos. En otras palabras, la variedad de Stiefel $V_k({𝔽}^n)$ es el paquete de marcos ortogonal, unitario o simpléctico asociado al paquete tautológico en un Grassmanniano.

Cuando se pasa al límite $n\to \mathrm{\infty }$, estos paquetes se convierten en los paquetes universales para los grupos clásicos.

Homotopía

Las variedades de Stiefel encajan en una familia de fibraciones:

$V_{k-1}({ℝ}^{n-1})\to V_k({ℝ}^n)\to S^{n-1},$

por tanto, el primer grupo de homotopía no trivial del espacio $V_k({ℝ}^n)$ es de dimensión n − k. Además,

${\pi }_{n-k}{V}_k({ℝ}^n)\simeq \{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& n-k\text{ par o }k=1\\ {\mathbb{Z}}_2& n-k\text{ impar y }k>1\end{array}$

Este resultado se utiliza en la definición teórica de la obstrucción de las clases de Stiefel-Whitney.

Véase también

• Variedad bandera
• Matriz de distribución de Langevin

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Springer