Teoría de la representación del grupo de Lorentz

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Hendrik Antoon Lorentz (derecha), de quien lleva el nombre el grupo de Lorentz; y Albert Einstein, cuya teoría de la relatividad especial es su principal fuente de aplicación. Foto tomada por Paul Ehrenfest 1921

El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de simetrías del espacio-tiempo de la teoría de la relatividad especial. Este grupo se puede realizar como una colección de matrices, aplicaciones lineales o también operadores unitarios en algunos espacios de Hilbert; y posee distintas representaciones. Este grupo es significativo porque la relatividad especial junto con mecánica cuántica son las dos teorías físicas más completamente establecidas, y la conjunción de estas dos teorías es el estudio de las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz. Estas representaciones tienen tanto importancia histórica en la física convencional, como conexiones con teorías actuales más especulativas.

Desarrollo

La teoría completa de las representaciones de dimensión finita del álgebra de Lie del grupo de Lorentz se deduce utilizando el marco general de la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples. Las representaciones de dimensión finita del componente conectado $\text{SO}(3;1{)}^{+}$ del grupo de Lorentz completo Plantilla:Math se obtienen empleando la correspondencia de Lie y la exponencial de una matriz. Se obtiene la teoría completa de representación de dimensión finita del grupo de recubrimiento universal (y también del grupo espinorial, en un doble recubrimiento) $\text{SL}(2,ℂ)$ de $\text{SO}(3;1{)}^{+}$, y se da explícitamente en términos de acción en un espacio funcional en representaciones de $\text{SL}(2,ℂ)$ y de $𝔰𝔩(2,ℂ)$. Las representaciones de la inversión del tiempo y de la inversión del espacio se dan en el epígrafe inversión del espacio e inversión del tiempo, completando la teoría de dimensión finita para el grupo de Lorentz completo. Se describen las propiedades de las representaciones (m, n) generales. Se considera la acción sobre espacios funcionales, y la acción sobre los armónicos esféricos y las funciones P de Riemann aparecen como ejemplos. El caso de dimensión infinita de las representaciones unitarias irreducibles se detalla para $\text{SL}(2,ℂ)$, la serie principal y la serie complementaria. Finalmente, se proporciona Fórmula de Plancherel para $\text{SL}(2,ℂ)$, y las representaciones de Plantilla:Math se clasifican y se realizan para álgebras de Lie.

El desarrollo de la teoría de la representación ha seguido históricamente el desarrollo de la teoría más general de la teoría de la representación de grupos reductivos, en gran parte debida a Élie Cartan y a Hermann Weyl, pero el grupo de Lorentz también ha recibido especial atención debido a su importancia en física. Autores de aportaciones notables fueron el físico Eugene Paul Wigner y el matemático Valentine Bargmann, con su Programa de Bargmann-Wigner, una de cuyas conclusiones es, aproximadamente, que una clasificación de todas las representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz equivale a una clasificación de todas las posibles ecuaciones de ondas relativistas. La clasificación de las representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz fue establecida por el estudiante de doctorado en física teórica de Paul Dirac, Harish-Chandra, más tarde convertido en matemático, en 1947. La clasificación correspondiente para $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℂ)$ fue publicada de forma independiente por Bargmann e Israel Guelfand junto con Mark Naimark en el mismo año.

Aplicaciones

Muchas de las representaciones, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita, son importantes en la física teórica. Las representaciones aparecen en la descripción de campos en la teoría clásica de campos, siendo el más importante el campo electromagnético, y de partículas en mecánica cuántica relativista, así como de partículas y campos cuánticos en la teoría cuántica de campos y de otros objetos en la teoría de cuerdas y más allá. La teoría de la representación también proporciona la base teórica para el concepto de spin. La teoría entra en relatividad general en el sentido de que en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, la física es la de la relatividad especial.

Las representaciones no unitarias irreducibles de dimensión finita junto con las representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita del grupo no homogéneo de Lorentz, el grupo de Poincaré, son las representaciones que tienen relevancia física directa.

Las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz aparecen por restricción de las representaciones unitarias de dimensión infinita irreducibles del grupo de Poincaré que actúan sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica relativista y de la teoría cuántica de campos. Pero estos también son de interés matemático y de relevancia física directa potencial con otros cometidos además del de la mera restricción. Hubo teorías especulativas, (los tensores y los espinores tienen infinitas contrapartes en los expansores de Dirac y los expinores de Harish-Chandra) consistentes con la relatividad y la mecánica cuántica, pero no han encontrado ninguna aplicación física probada. Las teorías especulativas modernas tienen potencialmente ingredientes similares, según se detalla a continuación.

Teoría clásica de campos

Si bien el campo electromagnético junto con el campo gravitatorio son los únicos campos clásicos que proporcionan descripciones precisas de la naturaleza, otros tipos de campos clásicos también son importantes. En el enfoque de la teoría cuántica de campos (TCC), denominado segunda cuantización, el punto de partida es uno o más campos clásicos, donde, por ejemplo, las funciones de onda que resuelven la ecuación de Dirac se consideran campos clásicos antes de la (segunda) cuantificación. Si bien la segunda cuantificación y el formalismo Lagrangiano asociado a ella no es un aspecto fundamental de la teoría cuántica de campos, es cierto que hasta ahora todas las teorías cuánticas de campos pueden abordarse de esta manera, incluido el modelo estándar de la física de partículas. En estos casos, existen versiones clásicas de las ecuaciones de campo que siguen las ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas del lagrangiano usando el principio de mínima acción. Estas ecuaciones de campo deben ser relativistas invariantes y sus soluciones (que se calificarán como funciones de onda relativistas según a la definición siguiente) debe transformarse bajo alguna representación del grupo de Lorentz.

La acción del grupo de Lorentz en el espacio de configuraciones de campo (una configuración de campo es la historia espacio-temporal de una solución particular, por ejemplo, el campo electromagnético en todo el espacio durante todo el tiempo es una configuración de un campo) se asemeja a la acción sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica, excepto en que los conmutadores son reemplazados por los corchetes de Poisson teóricos del campo.

Mecánica cuántica relativista

Para los presentes propósitos se hace la siguiente definición: una función de onda relativista es un conjunto de funciones Plantilla:Mvar Plantilla:Math en el espacio-tiempo que se transforma bajo una transformación arbitraria propia de Lorentz Plantilla:Math como

$\psi {\text{'}}^{\alpha }(x)=D{[\mathrm{\Lambda }{]}^{\alpha }}_{\beta }{\psi }^{\beta }\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}x\right),$

donde Plantilla:Math es una matriz Plantilla:Math dimensional representativa de Plantilla:Math que pertenece a alguna suma directa de las representaciones Plantilla:Math que se presentarán a continuación.

Las teorías de una partícula de la mecánica cuántica relativista más útiles (no existen teorías de este tipo totalmente consistentes) son la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac en su configuración original. Son relativistamente invariantes y sus soluciones se transforman bajo el grupo de Lorentz como escalares de Lorentz (Plantilla:Math) y los biespinores (Plantilla:Math) respectivamente. El campo electromagnético es una función de onda relativista según esta definición, que se transforma bajo Plantilla:Math.

Las representaciones de dimensión infinita se pueden utilizar en el análisis de la dispersión.

Teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos entra el cumplimiento de la invariancia relativista, entre otras cosas en el sentido de que la matriz S necesariamente debe ser invariante de Poincaré. Esto tiene la implicación de que hay una o más representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz que actúan sobre un espacio de Fock. Una forma de garantizar la existencia de tales representaciones es la existencia de una descripción lagrangiana (con algunos requisitos básicos impuestos, véase la referencia) del sistema utilizando el formalismo canónico, del que se puede deducir una realización de los generadores del grupo de Lorentz.

Las transformaciones de los operadores de campo ilustran el papel complementario desempeñado por las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz y las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré, testimoniando la profunda unidad entre las matemáticas y la física. A modo de ilustración, considérese la definición de un operador de campo de Plantilla:Mvar componentes: Un operador de campo relativista es un conjunto de Plantilla:Mvar funciones valoradas por el operador en el espacio-tiempo que se transforma bajo las transformaciones de Poincaré propias Plantilla:Math según

${\mathrm{\Psi }}^{\alpha }(x)\to \mathrm{\Psi }{\text{'}}^{\alpha }(x)=U[\mathrm{\Lambda },a]{\mathrm{\Psi }}^{\alpha }(x)U^{-1}[\mathrm{\Lambda },a]=D{{\left[{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right]}^{\alpha }}_{\beta }{\mathrm{\Psi }}^{\beta }(\mathrm{\Lambda }x+a)$

Aquí, Plantilla:Math es el operador unitario que representa Plantilla:Math en el espacio de Hilbert en el que se define Plantilla:Math, y Plantilla:Mvar es una representación Plantilla:Mvar dimensional del grupo de Lorentz. La regla de transformación es el segundo axioma de Wightman de la teoría cuántica de campos.

Por consideraciones de restricciones diferenciales a las que debe estar sujeto el operador de campo para describir una sola partícula con masa definida Plantilla:Mvar y espín Plantilla:Mvar (o helicidad), se deduce que Plantilla:NumBlk donde Plantilla:Math se interpretan como los operadores de creación y aniquilación respectivamente. El operador de creación Plantilla:Math se transforma según

$a^{†}(𝐩,\sigma )\to a{\text{'}}^{†}(𝐩,\sigma )=U[\mathrm{\Lambda }]a^{†}(𝐩,\sigma )U\left[{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right]=a^{†}(\mathrm{\Lambda }𝐩,\rho )D^{(s)}{{[R(\mathrm{\Lambda },𝐩{)}^{-1}]}^{\rho }}_{\sigma },$

y lo mismo ocurre con el operador de aniquilación. El punto a destacar es que el operador de campo se transforma según una representación no unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz, mientras que el operador de creación se transforma bajo la representación unitaria de dimensión infinita del grupo de Poincaré caracterizado por la masa y el espín Plantilla:Math de la partícula. La conexión entre ambos son las funciones de onda, también conocidas como funciones de coeficientes

$u^{\alpha }(𝐩,\sigma )e^{ip\cdot x},v^{\alpha }(𝐩,\sigma )e^{-ip\cdot x}$

que portan tanto los índices Plantilla:Math operados por las transformaciones de Lorentz como los índices Plantilla:Math operados por las transformaciones de Poincaré. A esto se le puede llamar conexión Lorentz-Poincaré. Para exhibir la conexión, se debe someter a ambos lados de la ecuación Plantilla:EquationNote a una transformación de Lorentz que resulte, por ejemplo, en la variable Plantilla:Mvar,

${D[\mathrm{\Lambda }{]}^{\alpha }}_{{\alpha }^{\prime }}{u}^{{\alpha }^{\prime }}(𝐩,\lambda )={D^{(s)}[R(\mathrm{\Lambda },𝐩){]}^{{\lambda }^{\prime }}}_{\lambda }{u}^{\alpha }(\mathrm{\Lambda }𝐩,{\lambda }^{\prime }),$

donde Plantilla:Mvar es el grupo de Lorentz no unitario representativo de Plantilla:Math; y Plantilla:Math es un representante unitario de la llamada rotación de Wigner Plantilla:Mvar asociado a Plantilla:Math y a Plantilla:Math que se deduce de la representación del grupo de Poincaré, y Plantilla:Mvar es el espín de la partícula.

Todas las fórmulas anteriores, incluida la definición del operador de campo en términos de operadores de creación y aniquilación, así como las ecuaciones diferenciales satisfechas por el operador de campo para una partícula con masa y espín específicos y la representación Plantilla:Math bajo la cual se supone la transformación y también la de la función de onda pueden derivarse únicamente de consideraciones teóricas de grupo una vez que se conocen los marcos de la mecánica cuántica y de la relatividad especial.

Teorías especulativas

En aquellas teorías en las que el espacio-tiempo puede tener más de Plantilla:Math dimensiones, los grupos generalizados de Lorentz Plantilla:Math de la dimensión apropiada toman el lugar de Plantilla:Math.

El requisito de la invariancia de Lorentz adquiere quizás su efecto más llamativo en la teoría de cuerdas. Las cuerdas relativistas clásicas se pueden manejar en el marco lagrangiano utilizando la acción de Nambu-Goto. Esto da como resultado una teoría relativistamente invariante en cualquier dimensión del espacio-tiempo. Pero resulta que las teorías de cuerdas bosónicas abiertas y cerradas (las teorías de cuerdas más simples) son imposibles de cuantificar de tal manera que el grupo de Lorentz esté representado en el espacio de estados (un espacio de Hilbert) a menos que la dimensión del espacio-tiempo sea 26. El resultado correspondiente para la teoría de supercuerdas se deduce nuevamente exigiendo la invariancia de Lorentz, pero ahora con supersimetría. En estas teorías, el grupo de Poincaré se reemplaza por un álgebra supersimétrica que es un [[álgebra de Lie graduada|álgebra de Lie graduada Plantilla:Math]] que extiende el álgebra de Poincaré. La estructura de tal álgebra está fijada en gran medida por las exigencias de la invariancia de Lorentz. En particular, los operadores fermiónicos (de grado Plantilla:Math) pertenecen a un espacio de representación Plantilla:Math o Plantilla:Math del álgebra de Lie (ordinaria) de Lorentz. La única dimensión posible del espacio-tiempo en tales teorías es 10.

Representaciones de dimensión finita

La teoría de la representación de grupos en general, y de los grupos de Lie en particular, es un tema muy rico. El grupo de Lorentz tiene algunas propiedades que lo hacen agradable y otras que lo hacen no muy agradable dentro del contexto de la teoría de la representación. El grupo es simple y, por lo tanto, semisimple, pero no es conexa y ninguno de sus componentes es simplemente conexo. Además, el grupo de Lorentz no es compacto.

Para representaciones de dimensión finita, la presencia de la semisimplicidad significa que el grupo de Lorentz puede abordarse de la misma manera que otros grupos semisimples utilizando una teoría bien desarrollada. Además, todas las representaciones se construyen a partir de las representaciones irreducibles, ya que el álgebra de Lie posee la propiedad de reducibilidad completa. Pero la falta de compacidad del grupo de Lorentz, en combinación con su falta de conectividad simple, no puede abordarse en todos los aspectos como en el marco simple que se aplica a grupos compactos y simplemente conexos. La no compacidad implica, para un grupo de Lie simple conexo, que no existen representaciones unitarias de dimensión finita no triviales. La falta de conexión simple da lugar a las representaciones de espín del grupo. La falta de conexión significa que, para las representaciones del grupo Lorentz completo, la inversión del tiempo y inversión de la orientación espacial deben tratarse por separado.

Historia

El desarrollo de la teoría de la representación de dimensión finita del grupo de Lorentz sigue principalmente al de la teoría de la representación en general. La que sería conocida como teoría de Lie se originó en 1873 con Sophus Lie. En 1888, la clasificación de álgebras de Lie simples fue esencialmente completada por Wilhelm Killing. En 1913, el teorema del peso máximo completó el trabajo de Élie Cartan sobre las representaciones de álgebras de Lie simples, el camino que se sigue aquí. Richard Brauer fue durante el período 1935-1938 en gran parte responsable del desarrollo de las matrices de Weyl-Brauer, que describen cómo las representaciones de espín del álgebra de Lie de Lorentz pueden integrarse en el álgebra de Clifford. El grupo de Lorentz también ha recibido históricamente especial atención en la teoría de la representación, véase la historia de las representaciones unitarias de dimensión infinita a continuación, debido a su importancia excepcional en la física. Los matemáticos Hermann Weyl y Harish-Chandra y los físicos Eugene Paul Wigner y Valentine Bargmann hicieron contribuciones sustanciales tanto a la teoría de la representación general como al grupo de Lorentz en particular. El físico Paul Dirac fue quizás el primero en unir todo claramente en una aplicación práctica de gran importancia duradera con la ecuación de Dirac en 1928.

Álgebra de Lie

Archivo:Wilhelm Karl Joseph Killing.jpeg

Wilhelm Killing descubrió independientemente las álgebras de Lie. Las álgebras de Lie simples fueron clasificadas por primera vez por él en 1888

Esta sección aborda las representaciones lineales complejas irreducibles de la complejificación $𝔰𝔬(3;1{)}_{ℂ}$ del álgebra de Lie $𝔰𝔬(3;1)$ del grupo de Lorentz. Una base conveniente para $𝔰𝔬(3;1)$ viene dada por los tres generadores Plantilla:Math del movimiento de rotación y los tres generadores Plantilla:Math del impulso. Se dan explícitamente en convenciones y bases del álgebra de Lie.

El álgebra de Lie es complejizado, y se cambia la base a los componentes de sus dos ideales

$𝐀=\frac{𝐉+i𝐊}{2},𝐁=\frac{𝐉-i𝐊}{2}.$

Los componentes de Plantilla:Math y Plantilla:Math satisfacen por separado las relaciones de conmutación del álgebra de Lie $𝔰𝔲(2)$ y, además, conmutan entre sí,

$[A_i,A_j]=i{\epsilon }_{ijk}{A}_k,[B_i,B_j]=i{\epsilon }_{ijk}{B}_k,[A_i,B_j]=0,$

donde Plantilla:Math son índices, cada uno de los cuales toma valores Plantilla:Math, y Plantilla:Math es el símbolo de Levi-Civita tridimensional. Sean ${𝐀}_{ℂ}$ y ${𝐁}_{ℂ}$ los generadores complejos de Plantilla:Math y Plantilla:Math respectivamente.

Se tienen los isomorfismos Plantilla:NumBlk donde $𝔰𝔩(2,ℂ)$ es la complejización de $𝔰𝔲(2)\cong 𝐀\cong 𝐁.$

La utilidad de estos isomorfismos proviene del hecho de que se conocen todas las representaciones de $𝔰𝔲(2)$ irreducibles y, por lo tanto, todas las representaciones lineales complejas irreducibles de $𝔰𝔩(2,ℂ),$. La representación lineal compleja irreducible de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ es isomorfa a una de las representaciones de peso mayor, que se describen explícitamente en representaciones lineales complejas de $𝔰𝔩(2,ℂ).$

El truco unitario

Archivo:Hermann Weyl ETH-Bib Portr 00890.jpg

Hermann Weyl, inventor del truco unitario. Hay varios conceptos y fórmulas en la teoría de la representación que llevan el nombre de Weyl, como por ejemplo, el grupo de Weyl y la fórmula del caracter de Weyl

El álgebra de Lie $𝔰𝔩(2,ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℂ)$ cumple que $\text{SL}(2,ℂ)\times \text{SL}(2,ℂ).$ Contiene el subgrupo compacto Plantilla:Math con el álgebra de Lie $𝔰𝔲(2)\oplus 𝔰𝔲(2).$ Este último es una forma real compacta de $𝔰𝔩(2,ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℂ).$ Por lo tanto, desde el primer enunciado del truco unitario, las representaciones de Plantilla:Math están en correspondencia uno a uno con representaciones holomorfas de $\text{SL}(2,ℂ)\times \text{SL}(2,ℂ).$

Por compacidad, el teorema de Peter-Weyl se aplica a Plantilla:Math, y, por lo tanto, se puede apelar a la ortonormalidad de la teoría de caracteres.

Las representaciones unitarias irreducibles de Plantilla:Math son precisamente los productos tensoriales de representaciones unitarias irreducibles de Plantilla:Math.

Apelando a la simple conexión, se aplica la segunda afirmación del truco unitario. Los objetos de la siguiente lista están en correspondencia uno a uno:

• Representaciones holomorfas de $\text{SL}(2,ℂ)\times \text{SL}(2,ℂ)$
• Representaciones fluidas de Plantilla:Math
• Representaciones lineales reales de $𝔰𝔲(2)\oplus 𝔰𝔲(2)$
• Representaciones lineales complejas de $𝔰𝔩(2,ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℂ)$

Los productos tensoriales de representaciones aparecen en el nivel de álgebra de Lie como Plantilla:NumBlk donde Plantilla:Math es el operador identidad. Aquí se considera la última interpretación, que se deriva de Plantilla:EquationNote. Las representaciones de mayor peso de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ están indexadas por Plantilla:Mvar para Plantilla:Math (los pesos más altos son en realidad Plantilla:Math, pero la notación aquí está adaptada a la de $𝔰𝔬(3;1)$). Los productos tensoriales de dos factores lineales complejos forman las representaciones lineales complejas irreducibles de $𝔰𝔩(2,ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℂ).$

Finalmente, las representaciones $ℝ$ lineales de formas reales del lado de más a la izquierda, $𝔰𝔬(3;1)$, y del lado más a la derecha, $𝔰𝔩(2,ℂ),$ en Plantilla:EquationNote se obtienen a partir de las representaciones lineales $ℂ$ de $𝔰𝔩(2,ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℂ)$ caracterizadas en el párrafo anterior.

Representaciones (µ, ν) de sl(2, C)

Las representaciones lineales complejas de la complejización de $𝔰𝔩(2,ℂ),𝔰𝔩(2,ℂ{)}_{ℂ},$ obtenidas mediante isomorfismos en Plantilla:EquationNote se corresponden uno a uno con las representaciones lineales reales de $𝔰𝔩(2,ℂ).$. El conjunto de todas las representaciones irreducibles lineales reales de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ están, por tanto, indexadas por un par de parámetros Plantilla:Math. Las representaciones lineales complejas, que corresponden precisamente a la complejización de las representaciones lineales reales $𝔰𝔲(2)$, son de la forma Plantilla:Math, mientras que las representaciones lineales conjugadas tienen la forma Plantilla:Math. Todas las demás son únicamente representaciones lineales reales. Las propiedades de linealidad se derivan de la inyección canónica, el término más a la derecha Plantilla:EquationNote, de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ en su complejización. Las representaciones en la forma Plantilla:Math o Plantilla:Math están dadas por matrices reales (estas últimas no son irreducibles). Explícitamente, las representaciones Plantilla:Math lineales reales de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ son

${\phi }_{\mu ,\nu }(X)=({\phi }_{\mu }\otimes \overline{{\phi }_{\nu }})(X)={\phi }_{\mu }(X)\otimes {\mathrm{Id}}_{\nu +1}+{\mathrm{Id}}_{\mu +1}\otimes \overline{{\phi }_{\nu }(X)},X\in 𝔰𝔩(2,ℂ)$

donde ${\phi }_{\mu },\mu =0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\dots$ son las representaciones lineales irreducibles complejas de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ y $\overline{{\phi }_{\nu }},\nu =0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\dots$ sus representaciones conjugadas complejas (la notación en la literatura matemática suele ser Plantilla:Math, pero aquí se eligen semienteros para ajustarse a la notación del álgebra de Lie $𝔰𝔬(3,1)$), y el producto tensorial se interpreta en el sentido anterior de Plantilla:EquationNote. Estas representaciones son concretamente realizadas a continuación.

Representaciones (m, n) de so(3; 1)

A través de los isomorfismos mostrados en Plantilla:EquationNote y el conocimiento de las representaciones lineales complejas irreducibles de $𝔰𝔩(2,ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℂ)$ al resolver para Plantilla:Math y Plantilla:Math, se obtienen todas las representaciones irreducibles de $𝔰𝔬(3;1{)}_{ℂ},$ y, por restricción, las de $𝔰𝔬(3;1)$. Las representaciones de $𝔰𝔬(3;1)$ obtenidas de esta manera son lineales reales (y no lineales complejas ni conjugadas) porque el álgebra no está cerrada tras la conjugación, pero siguen siendo irreducibles. Dado que $𝔰𝔬(3;1)$ es semisimple, todas sus representaciones pueden construirse como suma directa de las representaciones irreducibles.

Así, las representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de Lorentz se clasifican mediante un par ordenado de semienteros Plantilla:Math y Plantilla:Math, escritos convencionalmente como una de las formas

$(m,n)\equiv {\pi }_{(m,n)}:𝔰𝔬(3;1)\to 𝔤𝔩(V),$

donde Plantilla:Mvar es un espacio vectorial de dimensión finita. Estos son, exceptuando transformaciones de semejanza, dados únicamente por Plantilla:NumBlk donde Plantilla:Math es el Plantilla:Mvar dimensional unit matrix y

${𝐉}^{(n)}=(J_1^{(n)},J_2^{(n)},J_3^{(n)})$

son las representaciones irreducibles de dimensión Plantilla:Math de $𝔰𝔬(3)\cong 𝔰𝔲(2)$, también denominadas matrices de espín o matrices de momento angular, que se dan explícitamente como

$\begin{array}{cc}{\left(J_1^{(j)}\right)}_{a^{\prime }a}& =\frac{1}{2}(\sqrt{(j-a)(j+a+1)}{\delta }_{a^{\prime },a+1}+\sqrt{(j+a)(j-a+1)}{\delta }_{a^{\prime },a-1})\\ {\left(J_2^{(j)}\right)}_{a^{\prime }a}& =\frac{1}{2i}(\sqrt{(j-a)(j+a+1)}{\delta }_{a^{\prime },a+1}-\sqrt{(j+a)(j-a+1)}{\delta }_{a^{\prime },a-1})\\ {\left(J_3^{(j)}\right)}_{a^{\prime }a}& =a{\delta }_{a^{\prime },a}\end{array}$

donde Plantilla:Math denota la delta de Kronecker. En componentes, con Plantilla:Math, Plantilla:Math, las representaciones vienen dadas por

$\begin{array}{cc}{\left({\pi }_{(m,n)}\left(J_i\right)\right)}_{a^{\prime }{b}^{\prime },ab}& ={\delta }_{b^{\prime }b}{\left(J_i^{(m)}\right)}_{a^{\prime }a}+{\delta }_{a^{\prime }a}{\left(J_i^{(n)}\right)}_{b^{\prime }b}\\ {\left({\pi }_{(m,n)}\left(K_i\right)\right)}_{a^{\prime }{b}^{\prime },ab}& =-i({\delta }_{b^{\prime }b}{\left(J_i^{(m)}\right)}_{a^{\prime }a}-{\delta }_{a^{\prime }a}{\left(J_i^{(n)}\right)}_{b^{\prime }b})\end{array}$

Representaciones comunes

Representaciones irreducibles para Plantilla:Math pequeñas. Dimensión entre paréntesis

	Plantilla:Math	Plantilla:Math	Plantilla:Math	Plantilla:Math
Plantilla:Math	Escalar (1)	Espinor de Weyl levógiro (2)	2-forma autodual (3)	(4)
Plantilla:Math	Espinor de Weyl dextrógiro (2)	4-vector (4)	(6)	(8)
Plantilla:Math	2-forma anti autodual (3)	(6)	Tensor simétrico sin traza (9)	(12)
Plantilla:Math	(4)	(8)	(12)	(16)

• La representación Plantilla:Math es la representación trivial unidimensional y la llevan a cabo las teorías relativistas de campo escalar.
• Los generadores de supersimetría fermiónicos se transforman bajo una de las representaciones Plantilla:Math o Plantilla:Math (espinores de Weyl).
• El cuadrimomento de una partícula (física) (ya sea sin masa o con masa) se transforma bajo la representación Plantilla:Math, en un cuadrivector.
• Un ejemplo físico de un campo tensorial simétrico sin traza (1,1) es la parte sin traza del tensor de energía-impulso Plantilla:Mvar.

Sumas directas fuera de la diagonal

Dado que para cualquier representación irreducible para la que Plantilla:Math es esencial operar sobre el cuerpo de los números complejos, la suma directa, Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen particular relevancia para la física, ya que permiten utilizar aplicaciones lineales sobre los números reales.

• Plantilla:Math es la representación del biespinor. Consúltese también espinor de Dirac y espinores y biespinores de Weyl a continuación.
• Plantilla:Math es la representación del campo de Rarita–Schwinger.
• Plantilla:Math sería la simetría del hipotético gravitino. Se puede obtener de la representación Plantilla:Math.
• Plantilla:Math es la representación de un campo con paridad invariante de una 2-forma (también conocida como forma de curvatura). El tensor de campo electromagnético se transforma bajo esta representación.

Grupo

El enfoque de esta sección se basa en teoremas que, a su vez, se basan en la correspondencia de Lie fundamental, que en esencia es un diccionario que relaciona los grupos de Lie y las álgebras de Lie conectados entre sí. El vínculo entre ellos es la aplicación exponencial del álgebra de Lie sobre el grupo de Lie, denotada como $\exp :𝔤\to G.$

Si $\pi :𝔤\to 𝔤𝔩(V)$ para algún espacio vectorial Plantilla:Mvar es una representación, una representación Plantilla:Math de la componente conectada de Plantilla:Mvar se define por Plantilla:NumBlk

Esta definición se aplica tanto si la representación resultante es proyectiva como si no.

Sobreyectividad de la aplicación exponencial para SO (3, 1)

Desde un punto de vista práctico, es importante si la primera fórmula de Plantilla:EquationNote se puede utilizar para todos los elementos del grupo. Es válido para todos los $X\in 𝔤$, sin embargo, en el caso general, como por ejemplo para $\text{SL}(2,ℂ)$, no todos los Plantilla:Math tienen la imagen de Plantilla:Math.

Pero $\exp :𝔰𝔬(3;1)\to \text{SO}(3;1{)}^{+}$ es sobreyectiva. Una forma de demostrar esto es hacer uso del isomorfismo $\text{SO}(3;1{)}^{+}\cong \text{PGL}(2,ℂ),$ siendo este último una transformación de Möbius. Es un cociente de $\text{GL}(n,ℂ)$ (véase el artículo vinculado). La aplicación del cociente se denota como $p:\text{GL}(n,ℂ)\to \text{PGL}(2,ℂ).$ La aplicación en la que se encuentra $\exp :𝔤𝔩(n,ℂ)\to \text{GL}(n,ℂ)$. Se aplica Plantilla:EquationNote siendo Plantilla:Mvar el diferencial de Plantilla:Mvar en la identidad. Entonces

$\mathrm{\forall }X\in 𝔤𝔩(n,ℂ):p(\exp (iX))=\exp (i\pi (X)).$

Dado que el lado izquierdo es sobreyectivo (tanto Plantilla:Math como Plantilla:Mvar lo son), el lado derecho es sobreyectivo y, por lo tanto, $\exp :𝔭𝔤𝔩(2,ℂ)\to \text{PGL}(2,ℂ)$ es sobreyectivo. Finalmente, reutiliza el argumento una vez más, pero ahora con el isomorfismo conocido entre Plantilla:Math y $\text{PGL}(2,ℂ)$ para encontrar que Plantilla:Math corresponde a la componente conectada del grupo de Lorentz.

Grupo fundamental

El grupo de Lorentz está doblemente conectado, es decir, Plantilla:Math es un grupo con dos clases de equivalencia en bucle como sus elementos. Plantilla:Demostración

Representaciones proyectivas

Dado que Plantilla:Math tiene dos elementos, algunas representaciones del álgebra de Lie producirán representaciones proyectivas. Una vez que se sabe si una representación es proyectiva, la fórmula Plantilla:EquationNote se aplica a todos los elementos del grupo y a todas las representaciones, incluidas las proyectivas, en el entendido de que el representante de un elemento del grupo dependerá de qué elemento en el álgebra de Lie (la Plantilla:Mvar en Plantilla:EquationNote) se utiliza para representar el elemento del grupo en la representación estándar.

Para el grupo de Lorentz, la representación Plantilla:Math es proyectiva cuando Plantilla:Math es un semientero. Véase espinores.

Para una representación proyectiva Plantilla:Math de Plantilla:Math, se cumple que Plantilla:NumBlk dado que cualquier bucle en Plantilla:Math atravesado dos veces, debido a la doble conexión, es contraíble hasta un punto, de modo que su clase de homotopía es la de una aplicación constante. De ello se deduce que Plantilla:Math es una función de doble valor. No es posible elegir consistentemente un signo para obtener una representación continua de todo Plantilla:Math, pero esto es posible localmente alrededor de cualquier punto.

Grupo de recubrimiento SL(2, C)

Considérese $𝔰𝔩(2,ℂ)$ como un álgebra de Lie real con base

$(\frac{1}{2}{\sigma }_1,\frac{1}{2}{\sigma }_2,\frac{1}{2}{\sigma }_3,\frac{i}{2}{\sigma }_1,\frac{i}{2}{\sigma }_2,\frac{i}{2}{\sigma }_3)\equiv (j_1,j_2,j_3,k_1,k_2,k_3),$

donde los sigmas son las matrices de Pauli. De las relaciones Plantilla:NumBlk se obtiene Plantilla:NumBlk que tienen exactamente la forma de la versión Plantilla:Math dimensional de las relaciones de conmutación para $𝔰𝔬(3;1)$ (véase convenciones y bases del álgebra de Lie a continuación). Por lo tanto, la aplicación Plantilla:Math, Plantilla:Math extendida por linealidad es un isomorfismo. Dado que $\text{SL}(2,ℂ)$ está simplemente conectado, es el grupo de recubrimiento de Plantilla:Math.

Visión geométrica

Archivo:Wigner.jpg

E.P. Wigner investigó en profundidad el grupo de Lorentz y es conocido por las ecuaciones de Bargmann-Wigner. La realización del grupo de recubrimiento que se presenta aquí proviene de su artículo de 1939

Sea Plantilla:Math un camino de Plantilla:Math a Plantilla:Math, y denótese su clase de homotopía por Plantilla:Math. Sea Plantilla:Mvar el conjunto de todas esas clases de homotopía. Se define el conjunto Plantilla:NumBlk al que se dota de la operación de multiplicación Plantilla:NumBlk donde $p_{12}$ es la multiplicación de caminos de $p_1$ y $p_2$:

$p_{12}(t)=(p_1*p_2)(t)=\{\begin{array}{cc}{p}_1(2t)& 0⩽t⩽\frac{1}{2}\\ p_2(2t-1)& \frac{1}{2}⩽t⩽1\end{array}$

Con esta multiplicación, Plantilla:Mvar se convierte en un grupo isomorfo a $\text{SL}(2,ℂ),$ el grupo de cobertura universal de Plantilla:Math. Dado que cada Plantilla:Mvar tiene dos elementos, según la construcción anterior, existe una aplicación de recubrimiento 2:1 Plantilla:Math. Según la teoría de grupos de recubrimiento, las álgebras de Lie $𝔰𝔬(3;1),𝔰𝔩(2,ℂ)$ y $𝔤$ de Plantilla:Mvar son todas isomorfas. La aplicación de recubrimiento Plantilla:Math viene dada simplemente por Plantilla:Math.

Visión algebraica

Para obtener una visión algebraica del grupo de cobertura universal, considérese que $\text{SL}(2,ℂ)$ actúa sobre el conjunto de todas las matrices hermíticas Plantilla:Gaps $𝔥$ mediante la operación Plantilla:NumBlk

La acción en $𝔥$ es lineal. Un elemento de $𝔥$ se puede escribir en la forma Plantilla:NumBlk

La aplicación Plantilla:Math es un homomorfismo de grupo en $\text{GL}(𝔥)\subset \text{End}(𝔥).$ Por lo tanto, $𝐏:\text{SL}(2,ℂ)\to \text{GL}(𝔥)$ es una representación en 4 dimensiones de $\text{SL}(2,ℂ)$. Su núcleo debe, en particular, tomar consigo la matriz identidad, Plantilla:Math y por lo tanto Plantilla:Math. En consecuencia, Plantilla:Math para Plantilla:Mvar en el núcleo, por el lema de Schur, Plantilla:Mvar es un múltiplo de la identidad, que debe ser Plantilla:Math desde Plantilla:Math. El espacio $𝔥$ se asigna al espacio-tiempo de Minkowski Plantilla:Math, a través de Plantilla:NumBlk

La acción de Plantilla:Math sobre $𝔥$ preserva los determinantes. La representación inducida Plantilla:Math de $\text{SL}(2,ℂ)$ en ${ℝ}^4,$ a través del isomorfismo anterior, dada por Plantilla:NumBlk preserva el producto interno de Lorentz, ya que

$-\det X={\xi }_1^2+{\xi }_2^2+{\xi }_3^2-{\xi }_4^2=x^2+y^2+z^2-t^2.$

Esto significa que Plantilla:Math pertenece al grupo completo de Lorentz Plantilla:Math. Por el teorema principal de conectividad, dado que $\text{SL}(2,ℂ)$ está conectado, su imagen bajo Plantilla:Math en Plantilla:Math también está conectada y, por lo tanto, está contenida en Plantilla:Math.

Se puede demostrar que la aplicación de Lie de $𝐩:\text{SL}(2,ℂ)\to \text{SO}(3;1{)}^{+},$ es un isomorfismo del álgebra de Lie: $\pi :𝔰𝔩(2,ℂ)\to 𝔰𝔬(3;1).$ La aplicación Plantilla:Math también está en

Por lo tanto, $\text{SL}(2,ℂ)$, dado que es simplemente conexo, es el grupo de cobertura universal de Plantilla:Math, isomorfo al grupo Plantilla:Mvar anterior. Plantilla:Hidden end

No sobreyectividad de la aplicación exponencial para SL(2, C)

Archivo:Commutative diagram SO(3, 1) latex.svg

Este diagrama muestra la red de aplicaciones discutida en el texto. Aquí Plantilla:Mvar es un espacio vectorial de dimensión finita que lleva representaciones de $𝔰𝔩(2,ℂ),𝔰𝔬(3;1),$ $\text{SL}(2,ℂ)$ y $\text{SO}(3;1{)}^{+}.$ $\exp$ es la aplicación exponencial, Plantilla:Math es la aplicación de cobertura de $\text{SL}(2,ℂ),$ a Plantilla:Math y Plantilla:Mvar es el isomorfismo del álgebra de Lie inducido por la aplicación Plantilla:Math y las dos Plantilla:Math son representaciones. La imagen es solo parcialmente cierta cuando Plantilla:Math es proyectiva

La aplicación exponencial $\exp :𝔰𝔩(2,ℂ)\to \text{SL}(2,ℂ)$ no queda abarcada. La matriz Plantilla:NumBlk está en $\text{SL}(2,ℂ),$ pero no existe ningún $Q\in 𝔰𝔩(2,ℂ)$ tal que Plantilla:Math.

En general, si Plantilla:Mvar es un elemento de un grupo de Lie conectado Plantilla:Mvar con el álgebra de Lie $𝔤,$ entonces, por Plantilla:EquationNote, Plantilla:NumBlk

La matriz Plantilla:Mvar se puede escribir como Plantilla:NumBlk

Realización de representaciones de Plantilla:Math y Plantilla:Math y de sus álgebras de Lie

Las representaciones lineales complejas de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ y $\text{SL}(2,ℂ)$ son más sencillas de obtener que las representaciones de $𝔰𝔬(3;1{)}^{+}$. Se pueden (y normalmente se hacen) escribir desde cero. Las representaciones del grupo holomorfo (lo que significa que la representación del álgebra de Lie correspondiente es lineal compleja) están relacionadas con las representaciones de álgebras de Lie lineales complejas mediante exponenciación. Las representaciones lineales reales de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ son exactamente las representaciones de Plantilla:Math. También se pueden exponenciar. Las representaciones Plantilla:Math son lineales complejas y son (isomorfas a) las representaciones de mayor peso. Por lo general, están indexadas con un solo número entero (pero aquí se utilizan semienteros).

En esta sección se utiliza la convención matemática por conveniencia. Los elementos del álgebra de Lie difieren en un factor de Plantilla:Math y no hay ningún factor de Plantilla:Math en la aplicación exponencial en comparación con la convención propia de la física utilizada en otros lugares. Sea la base de $𝔰𝔩(2,ℂ)$ Plantilla:NumBlk

Esta elección de base y la notación son estándares en la bibliografía matemática.

Representaciones lineales complejas

Las representaciones holomorfas irreducibles Plantilla:Math-dimensionales $\text{SL}(2,ℂ),n⩾2,$ se pueden realizar en el espacio de los polinomios homogéneos de grado Plantilla:Math en 2 variables ${𝐏}_n^2,$ cuyos elementos son

$P\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right)=c_n{z}_1^n+c_{n-1}{z}_1^{n-1}{z}_2+\cdots +c_0{z}_2^n,c_0,c_1,\dots ,c_n\in \mathbb{Z}.$

La acción de $\text{SL}(2,ℂ)$ viene dada por Plantilla:NumBlk

La acción $𝔰𝔩(2,ℂ)$ asociada es, utilizando la ecuación Plantilla:EquationNote y la definición anterior, para los elementos básicos de $𝔰𝔩(2,ℂ),$ Plantilla:NumBlk

Con una elección de base para $P\in {𝐏}_n^2$, estas representaciones se convierten en álgebras matriciales de Lie.

Representaciones lineales reales

Las representaciones Plantilla:Math se realizan sobre un espacio de polinomios ${𝐏}_{\mu ,\nu }^2$ en $z_1,\overline{z_1},z_2,\overline{z_2},$ homogéneos de grado Plantilla:Mvar en $z_1,z_2$ y homogéneos de grado Plantilla:Mvar en $\overline{z_1},\overline{z_2}.$ Las representaciones están dadas por Plantilla:NumBlk

Al emplear la ecuación Plantilla:EquationNote nuevamente se encuentra que Plantilla:NumBlk

En particular, para los elementos de la base, Plantilla:NumBlk

Propiedades de las representaciones (m, n)

Las representaciones Plantilla:Math, definidas anteriormente a través de Plantilla:EquationNote (como restricciones a la forma real $𝔰𝔩(3,1)$) de productos tensoriales de representaciones lineales complejas irreducibles Plantilla:Math y Plantilla:Math de $𝔰𝔩(2,ℂ),$ son irreducibles y son las únicas representaciones irreducibles.

• La irreductibilidad se deriva del truco unitario y de que una representación Plantilla:Math de Plantilla:Math es irreducible si y solo si Plantilla:Math, donde Plantilla:Math son representaciones irreducibles de Plantilla:Math.
• La unicidad se deriva de que Plantilla:Math son las únicas representaciones irreducibles de Plantilla:Math, que es una de las conclusiones del teorema del peso mayor.

Dimensión

Las representaciones Plantilla:Math son de dimensión Plantilla:Math. Esto se desprende más fácilmente de contar las dimensiones en cualquier realización concreta, como la dada en representaciones de $\text{SL}(2,ℂ)$ y $𝔰𝔩(2,ℂ)$. Para un álgebra general de Lie $𝔤$ se aplica la fórmula de la dimensión de Weyl

$\dim {\pi }_{\rho }=\frac{{\mathrm{\Pi }}_{\alpha \in R^{+}}⟨\alpha ,\rho +\delta ⟩}{{\mathrm{\Pi }}_{\alpha \in R^{+}}⟨\alpha ,\delta ⟩},$

donde Plantilla:Math es el conjunto de raíces positivas, Plantilla:Math es el peso más alto y Plantilla:Math es la mitad de la suma de las raíces positivas. El producto interno $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ es el del invariante del álgebra de Lie $𝔤,$ bajo la acción del grupo de Weyl en $𝔥\subset 𝔤,$ el subálgebra de Cartan. Las raíces (realmente los elementos de ${𝔥}^{*}$) se identifican a través de este producto interno con elementos de $𝔥.$ Para $𝔰𝔩(2,ℂ),$ la fórmula se reduce a Plantilla:Math, donde se debe tener en cuenta la notación actual. El peso más alto es Plantilla:Math. El resultado se obtiene tomando productos tensoriales.

Fidelidad

Si una representación Plantilla:Math de un grupo de Lie Plantilla:Math no es fiel, entonces Plantilla:Math es un subgrupo normal no trivial. Hay tres casos relevantes:

1. Plantilla:Math no es discreto pero sí abeliano.
2. Plantilla:Math no es discreto ni abeliano.
3. Plantilla:Math es discreto. En este caso Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es el centro de Plantilla:Math.

En el caso de Plantilla:Math, se excluye el primer caso, ya que Plantilla:Math es semisimple. El segundo caso (y el primer caso) se excluyen porque Plantilla:Math es simple. Para el tercer caso, Plantilla:Math es isomorfo al cociente $\text{SL}(2,ℂ)/\{\pm I\}.$ Pero $\{\pm I\}$ es el centro de $\text{SL}(2,ℂ).$ Se deduce que el centro de Plantilla:Math es trivial y esto excluye el tercer caso. La conclusión es que toda representación Plantilla:Math y toda representación proyectiva Plantilla:Math para espacios vectoriales de dimensión finita Plantilla:Math son fieles.

Al utilizar la correspondencia fundamental de Lie, las afirmaciones y el razonamiento anteriores se traducen directamente a álgebras de Lie con subgrupos normales (abelianos) no triviales y no discretos, reemplazados por ideales (unidimensionales) no triviales en el álgebra de Lie, y el centro de Plantilla:Math reemplazado por el centro de $𝔰𝔩(3;1{)}^{+}$ El centro de cualquier álgebra de Lie semisimple es trivial y $𝔰𝔬(3;1)$ es semisimple y simple y, por lo tanto, no tiene ideales no triviales.

Un hecho relacionado es que si la representación correspondiente de $\text{SL}(2,ℂ)$ es fiel, entonces la representación es proyectiva. Por el contrario, si la representación no es proyectiva, entonces la representación $\text{SL}(2,ℂ)$ correspondiente no es fiel, sino que es Plantilla:Math.

No unitario

La representación del álgebra de Lie Plantilla:Math no es hermítica. En consecuencia, la representación correspondiente (proyectiva) del grupo nunca es unitaria. Esto se debe a la falta de compacidad del grupo de Lorentz. De hecho, un grupo de Lie simple y no compacto conexo no puede tener ninguna representación unitaria de dimensión finita no trivial. Hay una prueba topológica de esto. Sea Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es de dimensión finita, una representación unitaria continua del grupo de Lie simple conexo no compacto Plantilla:Mvar. Entonces, Plantilla:Math donde Plantilla:Math es el subgrupo compacto de Plantilla:Math que consta de transformaciones unitarias de Plantilla:Mvar. El núcleo de Plantilla:Math es un subgrupo normal de Plantilla:Mvar. Dado que Plantilla:Mvar es simple, Plantilla:Math es todo Plantilla:Mvar, en cuyo caso Plantilla:Math es trivial, o Plantilla:Math es trivial, en cuyo caso Plantilla:Math es una representación fiel. En el último caso, Plantilla:Math es un difeomorfismo sobre su imagen, Plantilla:Math y Plantilla:Math es un grupo de Lie. Esto significaría que Plantilla:Math es un subgrupo de Lie no compacto embebido del grupo compacto Plantilla:Math. Esto es imposible con la topología del subespacio en Plantilla:Math, ya que todos los subgrupos de Lie embebidos de un grupo de Lie están cerrados. Si Plantilla:Math estuviera cerrado, sería compacto, y luego Plantilla:Mvar sería compacto, contrariamente a lo que se supone.

En el caso del grupo de Lorentz esto también se desprende directamente de las definiciones. Las representaciones de Plantilla:Math y Plantilla:Math utilizadas en la construcción son hermíticas. Esto significa que Plantilla:Math es hermítica, pero Plantilla:Math es antihermítica. La no unitaridad no es un problema en la teoría cuántica de campos, ya que no se requiere que los objetos de interés tengan una norma definida positiva invariante de Lorentz.

Restricción a SO(3)

Sin embargo, la representación Plantilla:Math es unitaria cuando se restringe al subgrupo de rotación Plantilla:Math, pero estas representaciones no son irreducibles como representaciones de SO(3). Se puede aplicar una descomposición de Clebsch-Gordan, que muestra que una representación Plantilla:Math tiene subespacios invariantes Plantilla:Math de mayor peso (espín) Plantilla:Math, donde cada posible peso (espín) más alto aparece exactamente una vez. Un subespacio de peso más alto (espín) Plantilla:Math tiene dimensión Plantilla:Math. Entonces, por ejemplo, la representación (Plantilla:Sfrac,?Plantilla:Sfrac) tiene subespacios de espín 1 y giro 0 de dimensiones 3 y 1 respectivamente.

Dado que el operador momento angular está dado por Plantilla:Math, el espín más alto en mecánica cuántica de la subrepresentación de rotación será Plantilla:Math y se aplican las reglas habituales de suma de momentos angulares y el formalismo del símbolo 3-j, del símbolo 6-j, etc.

Espinores

Son los subespacios invariantes Plantilla:Math de las representaciones irreducibles los que determinan si una representación tiene espín. Del párrafo anterior se desprende que la representación Plantilla:Math tiene espín si Plantilla:Math es senientero. Los más simples son Plantilla:Math y Plantilla:Math, los espinores de Weyl de dimensión Plantilla:Math. Entonces, por ejemplo, Plantilla:Math y Plantilla:Math son representaciones de giro de las dimensiones Plantilla:Math y Plantilla:Math respectivamente. Según el párrafo anterior, hay subespacios con espín tanto Plantilla:Math como Plantilla:Math en los dos últimos casos, por lo que es probable que estas representaciones no representen una partícula física única que deba comportarse bien bajo Plantilla:Math. Sin embargo, en general no se puede descartar que representaciones con múltiples subrepresentaciones Plantilla:Math con diferente espín puedan representar partículas físicas con espín bien definido. Puede ser que exista una ecuación de onda relativista adecuada que proyecte componentes no físicos, dejando solo un espín.

La construcción de representaciones Plantilla:Math de espín puro para cualquier Plantilla:Math (bajo Plantilla:Math) a partir de representaciones irreducibles implica tomar productos tensoriales de la representación de Dirac con una representación sin espín, extraer un subespacio adecuado y, finalmente, imponer restricciones diferenciales.

Representaciones duales

Archivo:Root system A1xA1.svg

El sistema de raíces Plantilla:Math de $𝔰𝔩(2,ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℂ).$

Se aplican los siguientes teoremas para examinar si la representación dual de una representación irreducible es isomorfa a la representación original:

1. El conjunto de pesos de la representación dual de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple es, incluyendo multiplicidades, el negativo del conjunto de pesos de la representación original.
2. Dos representaciones irreducibles son isomorfas si y solo si tienen el mismo peso más alto.
3. Para cada álgebra de Lie semisimple existe un elemento único Plantilla:Math del grupo de Weyl tal que si Plantilla:Math es un peso entero dominante, entonces Plantilla:Math es nuevamente un peso entero dominante.
4. Si ${\pi }_{{\mu }_0}$ es una representación irreducible con el peso mayor Plantilla:Math, entonces ${\pi }_{{\mu }_0}^{*}$ tiene el peso mayor Plantilla:Math.

Aquí, los elementos del grupo de Weyl se consideran transformaciones ortogonales, que actúan por multiplicación de matrices, sobre el espacio vectorial real de raíces. Si Plantilla:Math es un elemento del grupo de Weyl de un álgebra de Lie semisimple, entonces Plantilla:Math. En el caso de $𝔰𝔩(2,ℂ),$ el grupo de Weyl es Plantilla:Math. De ello se deduce que cada Plantilla:Math es isomorfo a su dual ${\pi }_{\mu }^{*}.$ El sistema de raíces de $𝔰𝔩(2,ℂ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℂ)$ se muestra en la figura de la derecha. El grupo de Weyl es generado por $\{w_{\gamma }\}$, donde $w_{\gamma }$ es la reflexión en el plano ortogonal a Plantilla:Math, ya que Plantilla:Math abarca todas las raíces. Si se cumple que Plantilla:Math entonces Plantilla:Math. Usando el hecho de que si Plantilla:Math son representaciones del álgebra de Lie y Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math, la conclusión para Plantilla:Math es

${\pi }_{m,n}^{*}\cong {\pi }_{m,n},{\mathrm{\Pi }}_{m,n}^{*}\cong {\mathrm{\Pi }}_{m,n},2m,2n\in 𝐍.$

Representaciones conjugadas complejas

Si Plantilla:Math es una representación de un álgebra de Lie, entonces $\bar{\pi }$ es una representación, donde la barra denota la conjugación compleja de entrada en las matrices de las representaciones. Esto se deduce de que la conjugación compleja conmuta con la suma y la multiplicación. En general, cada representación irreducible Plantilla:Math de $𝔰𝔩(n,ℂ)$ se puede escribir de forma única como Plantilla:Math, donde

${\pi }^{\pm }(X)=\frac{1}{2}(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)),$

con ${\pi }^{+}$ holomórfico (lineal complejo) y ${\pi }^{-}$ anti-holomórfico (lineal conjugado). Para $𝔰𝔩(2,ℂ),$ dado que ${\pi }_{\mu }$ es holomorfo, $\overline{{\pi }_{\mu }}$ es antiholomórfico. El examen directo de las expresiones explícitas para ${\pi }_{\mu ,0}$ y ${\pi }_{0,\nu }$ en la ecuación Plantilla:EquationNote a continuación muestra que son holomorfas y antiholomorfas respectivamente. Un examen más detenido de la expresión Plantilla:EquationNote también permite la identificación de ${\pi }^{+}$ y ${\pi }^{-}$ para ${\pi }_{\mu ,\nu }$ como

${\pi }_{\mu ,\nu }^{+}={\pi }_{\mu }^{{\oplus }_{\nu +1}},{\pi }_{\mu ,\nu }^{-}=\overline{{\pi }_{\nu }^{{\oplus }_{\mu +1}}}.$

Usando las identidades anteriores (interpretadas como suma puntual de funciones), para Plantilla:Math se obtiene

$\begin{array}{cc}\overline{{\pi }_{m,n}}& =\overline{{\pi }_{m,n}^{+}+{\pi }_{m,n}^{-}}=\overline{{\pi }_m^{{\oplus }_{2n+1}}}+\stackrel{‾}{\stackrel{{\oplus }_{2m+1}}{\overline{{\pi }_n}}}\\ & ={\pi }_n^{{\oplus }_{2m+1}}+\stackrel{{\oplus }_{2n+1}}{\overline{{\pi }_m}}={\pi }_{n,m}^{+}+{\pi }_{n,m}^{-}={\pi }_{n,m}\\ & & & 2m,2n\in \mathbb{N}\\ \overline{{\mathrm{\Pi }}_{m,n}}& ={\mathrm{\Pi }}_{n,m}\end{array}$

donde la declaración para las representaciones del grupo se deriva de Plantilla:Math. De ello se deduce que las representaciones irreducibles Plantilla:Math tienen representantes matriciales reales si y solo si Plantilla:Math. Las representaciones reducibles en la forma Plantilla:Math también tienen matrices reales.

Representación adjunta, álgebra de Clifford y representación del espinor de Dirac

Archivo:Richard Brauer.jpg

Richard Brauer y su esposa Ilse en 1970. Brauer generalizó las representaciones de espín de álgebras de Lie asentadas dentro del álgebra de Clifford para espines más altos que Plantilla:Sfrac (foto cortesía de MFO)

En la teoría de la representación general, si Plantilla:Math es una representación de un álgebra de Lie $𝔤,$ entonces hay una representación asociada de $𝔤,$ en Plantilla:Math, también denominada Plantilla:Mvar, dada por Plantilla:NumBlk

Asimismo, una representación Plantilla:Math de un grupo Plantilla:Mvar produce una representación Plantilla:Math en Plantilla:Math de Plantilla:Mvar, todavía denotada como Plantilla:Math, dada por Plantilla:NumBlk

Si Plantilla:Mvar y Plantilla:Math son las representaciones estándar en ${ℝ}^4$ y si la acción está restringida a $𝔰𝔬(3,1)\subset \text{fin }({ℝ}^4),$ entonces las dos representaciones anteriores son representación adjunta del álgebra de Lie y representación adjunta del grupo respectivamente. Las representaciones correspondientes (algún ${ℝ}^n)$ o ${ℂ}^n$) siempre existen para cualquier grupo de Lie matricial y son fundamentales para la investigación de la teoría de la representación en general, y para cualquier grupo de Lie determinado en particular.

Aplicando esto al grupo de Lorentz, si Plantilla:Math es una representación proyectiva, entonces el cálculo directo usando Plantilla:EquationNote muestra que la representación inducida en Plantilla:Math es una representación propia, es decir, una representación sin factores de fase.

En mecánica cuántica, esto significa que si Plantilla:Math o Plantilla:Math es una representación que actúa sobre algún espacio de Hilbert Plantilla:Mvar, entonces la representación inducida correspondiente actúa sobre el conjunto de operadores lineales en Plantilla:Mvar. Como ejemplo, la representación inducida de la representación del espín proyectivo Plantilla:Math en Plantilla:Math es la representación no proyectiva de cuadrivectores (Plantilla:Sfrac, Plantilla:Sfrac).

Para simplificar, considérese solo la parte discreta de Plantilla:Math, es decir, dada una base para Plantilla:Mvar, el conjunto de matrices constantes de varias dimensiones, pudiendo incluirse también dimensiones infinitas. La representación inducida de cuadrivectores anterior en este Plantilla:Math simplificado tiene un subespacio invariante de 4 dimensiones que está abarcado por las cuatro matrices gamma. (la convención métrica es diferente en el artículo vinculado). De manera correspondiente, el álgebra del espacio-tiempo de Clifford completa, ${𝒞𝓁}_{3,1}(ℝ),$ cuya complexificación es $\text{M}(4,ℂ),$ generada por las matrices gamma, se descompone como una suma directa de espacios de representación de una representación escalar irreducible, el Plantilla:Math, una representación escalar irreducible pseudoescalar, también el Plantilla:Math, pero con valor propio de inversión de paridad Plantilla:Math, consúltese la siguiente sección a continuación, el vector ya mencionado, Plantilla:Math, el pseudovector Plantilla:Math con valor propio de inversión de paridad +1 (no -1), y un tensor irreducible, Plantilla:Math. Las dimensiones suman Plantilla:Math. En otras palabras, Plantilla:NumBlk donde, usualmente, se confunde una representación con su espacio de representación.

Representación de espín Plantilla:Math

El espacio de representación de seis dimensiones de la representación del tensor Plantilla:Math dentro de ${𝒞𝓁}_{3,1}(ℝ)$ tiene dos funciones. Plantilla:NumBlk donde ${\gamma }^0,\dots ,{\gamma }^3\in {𝒞𝓁}_{3,1}(ℝ)$ son las matrices gamma, las sigmas, de las cuales solo Plantilla:Math son distintas de cero debido a la antisimetría del corchete, abarcan el espacio de representación del tensor. Además, tienen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie de Lorentz, Plantilla:NumBlk y, por lo tanto, constituye una representación (además de abarcar un espacio de representación) que se encuentra dentro de ${𝒞𝓁}_{3,1}(ℝ),$ la representación de giro Plantilla:Math. Para obtener más información, consúltese biespinor y álgebra de Dirac.

La conclusión es que cada elemento de ${𝒞𝓁}_{3,1}(ℝ)$ complejificado en Plantilla:Math (es decir, cada matriz Plantilla:Gaps compleja) tiene propiedades de transformación de Lorentz bien definidas. Además, tiene una representación de espín del álgebra de Lie de Lorentz, que tras la exponenciación se convierte en una representación de espín del grupo, actuando sobre ${ℂ}^4,$ convirtiéndolo en un espacio de biespinores.

Representaciones reducibles

Hay multitud de otras representaciones que se pueden deducir de las irreducibles, como las que se obtienen tomando sumas directas, productos tensoriales y cocientes de las representaciones irreducibles. Otros métodos para obtener representaciones incluyen la restricción de una representación de un grupo más grande que contenga el grupo de Lorentz, como por ejemplo $\text{GL}(n,ℝ)$ y el grupo de Poincaré. Estas representaciones en general no son irreducibles.

El grupo de Lorentz y su álgebra de Lie tienen la propiedad de reducibilidad completa. Esto significa que toda representación se reduce a una suma directa de representaciones irreducibles. Por lo tanto, no se discutirán las representaciones reducibles.

Inversión espacial y reversión temporal

La representación Plantilla:Math (posiblemente proyectiva) es irreducible como una representación Plantilla:Math, el componente de identidad del grupo de Lorentz, en terminología física, el grupo ortocrono propio de Lorentz. Si Plantilla:Math se puede extender a una representación de todo Plantilla:Math, el grupo de Lorentz completo, incluidos la inversión de paridad espacial y la reversión temporal. Las representaciones Plantilla:Math también se pueden ampliar.

Inversión de la paridad espacial

Para la inversión de paridad espacial, se considera la acción adjunta Plantilla:Math de Plantilla:Math en $𝔰𝔬(3;1)$, donde Plantilla:Math es el representante estándar de la inversión de paridad espacial, Plantilla:Math, dado por Plantilla:NumBlk

Son estas propiedades de Plantilla:Math y Plantilla:Math bajo Plantilla:Mvar las que motivan los términos vector para Plantilla:Math y seudovector o vector axial para Plantilla:Math. De manera similar, si Plantilla:Math es cualquier representación de $𝔰𝔬(3;1)$ y Plantilla:Math es su representación de grupo asociado, entonces Plantilla:Math actúa sobre la representación de Plantilla:Math mediante la acción adjunta, Plantilla:Math para $X\in 𝔰𝔬(3;1),$ Plantilla:Math. Si Plantilla:Math se va a incluir en Plantilla:Math, entonces la coherencia con Plantilla:EquationNote requiere que Plantilla:NumBlk se mantenga, donde Plantilla:Math y Plantilla:Math se definen como en la primera sección. Esto solo puede ser válido si Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen las mismas dimensiones, es decir, solo si Plantilla:Math. Cuando Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math se puede extender a una representación irreducible de Plantilla:Math, el grupo ortocrónico de Lorentz. El representante de la inversión de paridad Plantilla:Math no aparece automáticamente con la construcción general de las representaciones Plantilla:Math, y debe especificarse por separado. La matriz Plantilla:Math (o un múltiplo del módulo -1) se puede utilizar en la representación Plantilla:Math.

Si la paridad se incluye con un signo menos (la matriz Plantilla:Math Plantilla:Math) en la representación Plantilla:Math, se llama representación seudoescalar.

Reversión del tiempo

La reversión del tiempo Plantilla:Math, actúa de manera similar en $𝔰𝔬(3;1)$ por Plantilla:NumBlk

Al incluir explícitamente un representante de Plantilla:Math, además de uno de Plantilla:Math, se obtiene una representación de todo el grupo de Lorentz Plantilla:Math. Sin embargo, aparece un problema sutil en la aplicación a la física, en particular a la mecánica cuántica. Al considerar el grupo de Poincaré completo, cuatro generadores más, el Plantilla:Mvar, además del Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar generan el grupo. Estos se interpretan como generadores de traslaciones. El componente de tiempo Plantilla:Math es el hamiltoniano Plantilla:Math. El operador Plantilla:Math satisface la relación Plantilla:NumBlk en analogía con las relaciones anteriores con $𝔰𝔬(3;1)$ reemplazado por el álgebra de Poincaré completa. Simplemente cancelando los Plantilla:Mvar, el resultado Plantilla:Math implicaría que para cada estado Plantilla:Math con energía positiva Plantilla:Mvar en un espacio de Hilbert de estados cuánticos con invariancia de inversión del tiempo, habría un estado Plantilla:Math con energía negativa Plantilla:Math. Estos estados no existen. Por lo tanto, se elige el operador Plantilla:Math antilineal y antiunitario, de modo que anticonmuta con Plantilla:Mvar, dando como resultado Plantilla:Math, y su acción en el espacio de Hilbert también se vuelve antilineal y antiunitaria. Puede expresarse como la composición del conjugado complejo con la multiplicación por una matriz unitaria. Esto es matemáticamente consistente, consúltese el teorema de Wigner, pero con requisitos terminológicos muy estrictos, Plantilla:Math no es una representación.

Al construir teorías como la electrodinámica cuántica, que es invariante bajo la inversión de paridad espacial y la reversión temporal, se pueden utilizar espinores de Dirac, mientras que teorías que no lo son, como el modelo electrodébil, deben formularse en términos de espinores de Weyl. Generalmente se considera que la representación de Dirac, Plantilla:Nowrap, incluye tanto la inversión de la paridad espacial como la reversión del tiempo. Sin inversión de la paridad espacial, no es una representación irreducible.

La tercera simetría discreta que integra el teorema CPT junto con Plantilla:Math y Plantilla:Math, la simetría de la conjugación de carga Plantilla:Math, no tiene nada que ver directamente con la invariancia de Lorentz.

Acción sobre espacios funcionales

Si Plantilla:Mvar es un espacio vectorial de funciones de un número finito de variables Plantilla:Mvar, entonces la acción sobre una función escalar $f\in V$ dada por Plantilla:NumBlk produce otra función Plantilla:Math. Aquí Plantilla:Math es una representación dimensional Plantilla:Mvar y Plantilla:Math es una representación posiblemente de dimensión infinita. Un caso especial de esta construcción es cuando Plantilla:Mvar es un espacio de funciones definido en el propio grupo lineal Plantilla:Mvar, visto como una variedad Plantilla:Mvar dimensional embebida en ${ℝ}^{m^2}$ (siendo Plantilla:Mvar la dimensión de las matrices). Esta es la configuración en la que se formulan el teorema de Peter-Weyl y el teorema de Borel-Weil. El primero demuestra la existencia de una descomposición de Fourier de funciones en un grupo compacto en caracteres de representaciones de dimensión finita. Este último teorema, que proporciona representaciones más explícitas, utiliza el truco unitario para producir representaciones de grupos complejos no compactos, como por ejemplo $\text{SL}(2,ℂ).$

A continuación se ejemplifica la acción del grupo de Lorentz y el subgrupo de rotación en algunos espacios funcionales.

Rotaciones euclidianas

El subgrupo Plantilla:Math de rotaciones euclidianas tridimensionales tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert.

$L^2\left({𝕊}^2\right)=\mathrm{span}\{Y_m^l,l\in {\mathbb{N}}^{+},-l⩽m⩽l\},$

donde $Y_m^l$ son los armónicos esféricos. Una función cuadrada arbitraria integrable Plantilla:Mvar en una esfera unitaria se puede expresar como Plantilla:NumBlk donde los Plantilla:Math son los coeficientes de Fourier generalizados.

La acción del grupo de Lorentz se restringe a la de Plantilla:Math y se expresa como Plantilla:NumBlk donde los Plantilla:Math se obtienen de los elementos de dimensión impar de los generadores de rotación.

Grupo de Möbius

El componente de identidad del grupo de Lorentz es isomorfo al grupo de Möbius Plantilla:Math. Este grupo puede considerarse como una transformación conforme del plano complejo o, a través de una proyección estereográfica, de la esfera de Riemann. De esta manera, se puede pensar que el propio grupo de Lorentz actúa de manera conforme en el plano complejo o en la esfera de Riemann.

En el plano, una transformación de Möbius caracterizada por los números complejos Plantilla:Math actúa en el plano según Plantilla:NumBlk y puede representarse mediante matrices complejas Plantilla:NumBlk ya que la multiplicación por un escalar complejo distinto de cero no cambia Plantilla:Mvar. Estos son elementos de $\text{SL}(2,ℂ)$ y son únicos hasta un signo (ya que Plantilla:Math da el mismo Plantilla:Mvar), por lo tanto $\text{SL}(2,ℂ)/\{\pm I\}\cong \text{SO}(3;1{)}^{+}.$

Funciones P de Riemann

Las funciones P de Riemann, soluciones de la ecuación diferencial de Riemann, son un ejemplo de un conjunto de funciones que se transforman entre sí bajo la acción del grupo de Lorentz. Las funciones P de Riemann se expresan como Plantilla:NumBlk donde los Plantilla:Math son constantes complejas. La función P del lado derecho se puede expresar utilizando la función hipergeométrica estándar. La conexión es Plantilla:NumBlk

El conjunto de constantes Plantilla:Math en la fila superior del lado izquierdo son los puntos singulares regulares de la ecuación hipergeométrica de Gauss. Sus exponentes, es decir, las soluciones de la ecuación indicial, para la expansión alrededor del punto singular Plantilla:Math son Plantilla:Math y Plantilla:Math, correspondientes a las dos soluciones linealmente independientes, y para la expansión alrededor del punto singular Plantilla:Math son Plantilla:Math y Plantilla:Math. De manera similar, los exponentes de Plantilla:Math son Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar para las dos soluciones.

Así, se obtiene Plantilla:NumBlk donde la condición (a veces llamada identidad de Riemann)

$\alpha +{\alpha }^{\prime }+\beta +{\beta }^{\prime }+\gamma +{\gamma }^{\prime }=1$

sobre los exponentes de las soluciones de la ecuación diferencial de Riemann se ha utilizado para definir Plantilla:Math.

El primer conjunto de constantes en el lado izquierdo de Plantilla:EquationNote, Plantilla:Math, denota los puntos singulares regulares de la ecuación diferencial de Riemann. El segundo conjunto, Plantilla:Math, son los exponentes correspondientes en Plantilla:Math para una de las dos soluciones linealmente independientes y, en consecuencia, Plantilla:Math son exponentes en Plantilla:Math para la segunda solución.

Se define ahora una acción del grupo de Lorentz en el conjunto de todas las funciones P de Riemann configurando primero Plantilla:NumBlk donde Plantilla:Math son las entradas en Plantilla:NumBlk para Plantilla:Math una transformación de Lorentz.

Se define Plantilla:NumBlk donde Plantilla:Mvar es una función P de Riemann. La función resultante es nuevamente una función P de Riemann. El efecto de la transformación de Möbius del argumento es el de desplazar polos a nuevas ubicaciones, cambiando así los puntos críticos, pero no hay cambios en los exponentes de la ecuación diferencial que satisface la nueva función. La nueva función se expresa como Plantilla:NumBlk donde Plantilla:NumBlk

Representaciones unitarias de dimensión infinita

Historia

El grupo de Lorentz Plantilla:Math y su doble recubrimiento $\text{SL}(2,ℂ)$ también tienen representaciones unitarias de dimensión infinita, estudiadas de forma independiente por Plantilla:Harvtxt, Plantilla:Harvtxt y Plantilla:Harvtxt a instancias de Paul Dirac. Este camino de desarrollo comenzó con Plantilla:Harvtxt, donde ideó las matrices Plantilla:Math y Plantilla:Math necesarias para la descripción del espín superior (compárese con las matrices gamma), elaboradas por Plantilla:Harvtxt, véase también Plantilla:Harvtxt, y los precursores con propouestas antecedentes de las ecuaciones de Bargmann-Wigner. En Plantilla:Harvtxt propuso un espacio de representación concreto de dimensión infinita cuyos elementos fueron llamados expansores como una generalización de los tensores. Estas ideas fueron incorporadas por Harish-Chandra y ampliadas con los expinores como una generalización de dimensiones infinitas de los espinores en su artículo de 1947.

Gelfand y Naimark obtuvieron por primera vez la fórmula de Plancherel para estos grupos mediante cálculos complicados. Posteriormente, Plantilla:Harvtxt y Plantilla:Harvtxt simplificaron considerablemente el tratamiento, basándose en un análogía para $\text{SL}(2,ℂ)$ de la fórmula de integración de Hermann Weyl para el grupo de Lie compacto. Se pueden encontrar relatos elementales de este enfoque en Plantilla:Harvtxt y Plantilla:Harvtxt.

La teoría de funciones esféricas para el grupo de Lorentz, requerida para el análisis armónico en el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico tridimensional basado de un espacio-tiempo de Minkowski, es considerablemente más sencilla que la teoría general. Solo involucra representaciones de la serie principal esférica y puede tratarse directamente, porque en coordenadas radiales el operador laplaciano en el hiperboloide es equivalente al laplaciano en $ℝ.$ Esta teoría se analiza en Plantilla:Harvtxt, Plantilla:Harvtxt, Plantilla:Harvtxt y el texto póstumo de Plantilla:Harvtxt.

Serie principal para SL(2, C)

Las series principales, o series principales unitarias, son las representaciones unitarias inducidas de las representaciones unidimensionales del subgrupo triangular inferior Plantilla:Mvar de $G=\text{SL}(2,ℂ).$ Dado que las representaciones unidimensionales de Plantilla:Mvar corresponden a las representaciones de las matrices diagonales, con entradas complejas distintas de cero Plantilla:Mvar y Plantilla:Math, tienen la forma

${\chi }_{\nu ,k}\left(\begin{array}{cc}z& 0\\ c& z^{-1}\end{array}\right)=r^{i\nu }{e}^{ik\theta },$

para Plantilla:Mvar un número entero, Plantilla:Mvar real y con Plantilla:Mvar. Las representaciones son irreducibles, las únicas repeticiones, es decir, isomorfismos de representaciones, ocurren cuando Plantilla:Mvar se reemplaza por Plantilla:Math. Por definición, las representaciones se realizan en secciones Plantilla:Math de un haz de rectas en $G/B={𝕊}^2,$ que es isomorfo a la esfera de Riemann. Cuando Plantilla:Math, estas representaciones constituyen la llamada serie principal esférica.

La restricción de una serie principal al subgrupo compacto máximo Plantilla:Math de Plantilla:Mvar también se puede realizar como una representación inducida de Plantilla:Mvar utilizando la identificación Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es el toro máximo en Plantilla:Mvar que consta de matrices diagonales con Plantilla:Math. Es la representación inducida a partir de la representación unidimensional Plantilla:Math y es independiente de Plantilla:Mvar. Por la reciprocidad de Frobenius, en Plantilla:Mvar se descomponen como una suma directa de las representaciones irreducibles de Plantilla:Mvar con dimensiones Plantilla:Math siendo Plantilla:Mvar un entero no negativo.

Usando la identificación entre la esfera de Riemann menos un punto y $ℂ,$ la serie principal se puede definir directamente en $L^2(ℂ)$ mediante la fórmula

${\pi }_{\nu ,k}{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}f(z)=|cz+d{|}^{-2-i\nu }{\left(\frac{cz+d}{|cz+d|}\right)}^{-k}f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right).$

La irreducibilidad se puede comprobar de diversas formas:

• La representación ya es irreducible en Plantilla:Mvar. Esto se puede ver directamente, pero también es un caso especial de resultados generales sobre la irreducibilidad de representaciones inducidas debido a François Bruhat y George Mackey, basándose en la descomposición de Bruhat Plantilla:Math donde Plantilla:Mvar es el elemento del grupo de Weyl:$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.
• La acción del álgebra de Lie $𝔤$ de Plantilla:Mvar se puede calcular sobre la suma directa algebraica de los subespacios irreducibles de Plantilla:Mvar, se puede calcular explícitamente y se puede verificar directamente que el subespacio de menor dimensión genera esta suma directa como el módulo de $𝔤$.

Serie complementaria para Plantilla:Math

Para Plantilla:Math, la serie complementaria se define en $L^2(ℂ)$ para el producto interno

$(f,g{)}_t=\iint \frac{f(z)\overline{g(w)}}{|z-w{|}^{2-t}}dzdw,$

con la acción dada por

${\pi }_t{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}f(z)=|cz+d{|}^{-2-t}f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right).$

Las representaciones de las series complementarias son irreducibles y no isomorfas por pares. Como representación de Plantilla:Mvar, cada una es isomorfa a la suma directa del espacio de Hilbert de todas las representaciones irreducibles de dimensiones impares de Plantilla:Math. La irreducibilidad se puede demostrar analizando la acción de $𝔤$ sobre la suma algebraica de estos subespacios o directamente sin utilizar el álgebra de Lie.

Teorema de Plancherel para SL(2, C)

Las únicas representaciones unitarias irreductibles de $\text{SL}(2,ℂ)$ son la serie principal, la serie complementaria y la representación trivial. Dado que Plantilla:Math actúa como Plantilla:Math en la serie principal y trivialmente en el resto, estas darán todas las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz, siempre que Plantilla:Mvar se considere par.

Para descomponer la representación regular izquierda de Plantilla:Mvar en $L^2(G)$ solo se requieren las series principales. Esto produce inmediatamente la descomposición en las subrepresentaciones $L^2(G/\{\pm I\}),$ la representación regular izquierda del grupo de Lorentz, y $L^2(G/K),$ la representación regular en el espacio hiperbólico tridimensional (el primero solo implica representaciones de series principales con k par y el segundo solo aquellas con Plantilla:Math).

Las representaciones regulares izquierda y derecha Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar se definen en $L^2(G)$ por

$\begin{array}{cc}(\lambda (g)f)(x)& =f\left(g^{-1}x\right)\\ (\rho (g)f)(x)& =f(xg)\end{array}$

Ahora bien, si Plantilla:Mvar es un elemento de Plantilla:Math, el operador ${\pi }_{\nu ,k}(f)$ definido por

${\pi }_{\nu ,k}(f)=\underset{G}{\int }f(g)\pi (g)dg$

es el operador de Hilbert–Schmidt. Se define un espacio de Hilbert Plantilla:Mvar mediante

$H=\underset{k⩾0}{⨁}\text{HS}(L^2(ℂ))\otimes L^2(ℝ,c_k\sqrt{{\nu }^2+k^2}d\nu ),$

donde

$c_k=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4{\pi }^{3/2}}& k=0\\ \frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}& k\ne 0\end{array}$

y $\text{HS}(L^2(ℂ))$ denota el espacio de Hilbert de los operadores de Hilbert-Schmidt en $L^2(ℂ).$ Entonces, la aplicación Plantilla:Mvar definida en Plantilla:Math por

$U(f)(\nu ,k)={\pi }_{\nu ,k}(f)$

se extiende a un elemento unitario de $L^2(G)$ sobre Plantilla:Mvar.

La aplicación Plantilla:Mvar satisface la propiedad de entrelazamiento

$U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)={\pi }_{\nu ,k}(x{)}^{-1}{\pi }_{\nu ,k}(f){\pi }_{\nu ,k}(y).$

Si Plantilla:Math están en Plantilla:Math, entonces, por unitaridad

$(f_1,f_2)=\sum _{k⩾0}{c}_k^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Tr}({\pi }_{\nu ,k}(f_1){\pi }_{\nu ,k}(f_2{)}^{*})({\nu }^2+k^2)d\nu .$

Por lo tanto, si $f=f_1*f_2^{*}$ denota la convolución de $f_1$ y $f_2^{*},$ y $f_2^{*}(g)=\overline{f_2(g^{-1})},$ entonces

$f(1)=\sum _{k⩾0}{c}_k^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Tr}({\pi }_{\nu ,k}(f))({\nu }^2+k^2)d\nu .$

Las dos últimas fórmulas mostradas generalmente se denominan fórmula de Plancherel e inversión de Fourier respectivamente.

La fórmula de Plancherel se extiende a todos los $f_i\in L^2(G).$ Según un teorema de Jacques Dixmier y Paul Malliavin, cada función suave y compactamente soportada en $G$ es una suma finita de convoluciones de funciones semejantes, y la fórmula de inversión es válida para tal Plantilla:Mvar. Puede extenderse a clases de funciones mucho más amplias que satisfagan condiciones leves de diferenciabilidad.

Clasificación de representaciones de Plantilla:Math

La estrategia seguida en la clasificación de las representaciones irreducibles de dimensión infinita es, en analogía con el caso de dimensión finita, asumir que existen e investigar sus propiedades. Por lo tanto, primero se supone que se tiene a mano una representación fuertemente continua de dimensión infinita irreducible Plantilla:Math en un espacio de Hilbert Plantilla:Mvar de Plantilla:Math. Dado que Plantilla:Math es un subgrupo, Plantilla:Math también es una representación del mismo. Cada subrepresentación irreducible de Plantilla:Math es de dimensión finita, y la representación de Plantilla:Math es reducible a una suma directa de representaciones unitarias irreducibles de dimensión finita de Plantilla:Math si Plantilla:Math es unitario.

Los pasos son los siguientes:

1. Se elige una base de vectores propios comunes de Plantilla:Math y Plantilla:Math.
2. Se calculan los elementos de las matrices de Plantilla:Math y Plantilla:Math.
3. Se imponen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie.
4. Se requiere la unitaridad junto con la ortonormalidad de la base.

Paso 1

La elección de una base propia y del indexado viene dada por

$|j_0{j}_1;jm⟩.$

Si se tratara de una representación de dimensión finita, entonces Plantilla:Math correspondería al valor propio más bajo Plantilla:Math de Plantilla:Math en la representación, igual a Plantilla:Math, y Plantilla:Math correspondería al valor propio más alto, igual a Plantilla:Math. En el caso de dimensión infinita, Plantilla:Math conserva este significado, pero Plantilla:Math no. Para simplificar, se supone que un Plantilla:Mvar dado aparece como máximo una vez en una representación determinada (este es el caso de las representaciones de dimensión finita), y se puede demostrar que es posible evitar la suposición (con un cálculo un poco más complicado) con los mismos resultados.

Paso 2

El siguiente paso es calcular los elementos matriciales de los operadores Plantilla:Math y Plantilla:Math que forman la base del álgebra de Lie de $𝔰𝔬(3;1).$ Los elementos matriciales de $J_{\pm }=J_1\pm i{J}_2$ y $J_3$ (se entiende el álgebra de Lie complejizada) se conocen por la teoría de representación del grupo de rotación, y están dados por

$\begin{array}{cc}⟨jm|J_{+}|jm-1⟩=⟨jm-1|J_{-}|jm⟩& =\sqrt{(j+m)(j-m+1)},\\ ⟨jm|J_3|jm⟩& =m,\end{array}$

donde los índices Plantilla:Math y Plantilla:Math se han eliminado, ya que son los mismos para todos los vectores base en la representación.

Debido a las relaciones de conmutación: $[J_i,K_j]=i{ϵ}_{ijk}{K}_k,$ el triplete Plantilla:Math es un operador vectorial y el teorema de Wigner–Eckart se aplica para el cálculo de elementos matriciales entre los estados representados por la base elegida. Los elementos de la matriz de

$\begin{array}{cc}{K}_0^{(1)}& =K_3,\\ K_{\pm 1}^{(1)}& =\mp \frac{1}{\sqrt{2}}(K_1\pm i{K}_2),\end{array}$

donde el superíndice Plantilla:Math significa que las cantidades definidas son los componentes de un operador tensorial esférico de rango Plantilla:Math (lo que también explica el factor Plantilla:Math) y los subíndices Plantilla:Math se denominan Plantilla:Mvar en las fórmulas siguientes, están dados por

$\begin{array}{cc}⟨j^{\prime }{m}^{\prime }\left|K_0^{(1)}\right|jm⟩& =⟨j^{\prime }{m}^{\prime }k=1q=0|jm⟩⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j^{\prime }⟩,\\ ⟨j^{\prime }{m}^{\prime }\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|jm⟩& =⟨j^{\prime }{m}^{\prime }k=1q=\pm 1|jm⟩⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j^{\prime }⟩.\end{array}$

Aquí, los primeros factores en el lado derecho son los coeficientes de Clebsch-Gordan para acoplar Plantilla:Math con Plantilla:Mvar para obtener Plantilla:Mvar. Los segundos factores son los elementos de matriz reducidos. No dependen de Plantilla:Math ni de Plantilla:Mvar, sino que dependen de Plantilla:Math y, por supuesto, de Plantilla:Math. Para obtener una lista completa de ecuaciones que no desaparecen, consúltese Plantilla:Harvtxt.

Paso 3

El siguiente paso es exigir que se cumplan las relaciones del álgebra de Lie, es decir, que

$[K_{\pm },K_3]=\pm J_{\pm },[K_{+},K_{-}]=-2J_3.$

Esto da como resultado un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones son

$\begin{array}{cc}⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j⟩& =i\frac{j_1{j}_0}{\sqrt{j(j+1)}},\\ ⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j-1⟩& =-B_j{\xi }_j\sqrt{j(2j-1)},\\ ⟨j-1\Vert K^{(1)}\Vert j⟩& =B_j{\xi }_j^{-1}\sqrt{j(2j+1)},\end{array}$

donde

$B_j=\sqrt{\frac{(j^2-j_0^2)(j^2-j_1^2)}{j^2(4j^2-1)}},j_0=0,\frac{1}{2},1,\dots \text{y }{j}_1,{\xi }_j\in ℂ.$

Paso 4

La imposición del requisito de unitaridad de la representación correspondiente del grupo restringe los valores posibles para los números complejos arbitrarios Plantilla:Math y Plantilla:Math. La unitaridad de la representación del grupo se traduce en el requisito de que los representantes del álgebra de Lie sean hermíticos, es decir

$K_{\pm }^{†}=K_{\mp },K_3^{†}=K_3.$

Esto se traduce en

$\begin{array}{cc}⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j⟩& =\overline{⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j⟩},\\ ⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j-1⟩& =-\overline{⟨j-1\Vert K^{(1)}\Vert j⟩},\end{array}$

llevando a

$\begin{array}{cc}{j}_0(j_1+\overline{j_1})& =0,\\ \left|B_j\right|({\left|{\xi }_j\right|}^2-e^{-2i{\beta }_j})& =0,\end{array}$

donde Plantilla:Math es el ángulo de Plantilla:Math en forma polar. Porque Plantilla:Math, se sigue que ${\left|{\xi }_j\right|}^2=1$, y ${\xi }_j=1$ se elige por convención. Hay dos casos posibles:

• $\underset{\_}{j_1+\overline{j_1}=0.}$ En este caso Plantilla:Math, Plantilla:Mvar real:$⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j⟩=\frac{\nu j_0}{j(j+1)}\text{y }{B}_j=\sqrt{\frac{(j^2-j_0^2)(j^2+{\nu }^2)}{4j^2-1}}$ Esta es la serie principal. Sus elementos se denotan $(j_0,\nu ),2j_0\in \mathbb{N},\nu \in ℝ.$
• $\underset{\_}{j_0=0.}$ Se sigue que::$⟨j\Vert K^{(1)}\Vert j⟩=0\text{y }{B}_j=\sqrt{\frac{j^2-{\nu }^2}{4j^2-1}}$ Dado que Plantilla:Math, Plantilla:Math es real y positivo para Plantilla:Math, lo que lleva a Plantilla:Math. Esta es una serie complementaria. Sus elementos se denotan como Plantilla:Math

Esto muestra que las representaciones anteriores son todas representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita.

Fórmulas explícitas

Convenciones y bases del álgebra de Lie

La métrica de elección viene dada por Plantilla:Math y se utiliza la convención de física para las álgebras de Lie y la aplicación exponencial. Estas elecciones son arbitrarias, pero una vez que se toman, son fijas. Una posible elección de base para el álgebra de Lie está, en la representación de cuadrivectores, dada por:

$\begin{array}{cccc}{J}_1=J^{23}=-J^{32}& =i\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right),& K_1=J^{01}=-J^{10}& =i\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\\ J_2=J^{31}=-J^{13}& =i\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right),& K_2=J^{02}=-J^{20}& =i\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\\ J_3=J^{12}=-J^{21}& =i\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),& K_3=J^{03}=-J^{30}& =i\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right).\\ \end{array}$

Las relaciones de conmutación del álgebra de Lie $𝔰𝔬(3;1)$ son:

$[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }]=i({\eta }^{\sigma \mu }{J}^{\rho \nu }+{\eta }^{\nu \sigma }{J}^{\mu \rho }-{\eta }^{\rho \mu }{J}^{\sigma \nu }-{\eta }^{\nu \rho }{J}^{\mu \sigma }).$

En notación tridimensional, estas son

$[J_i,J_j]=i{ϵ}_{ijk}{J}_k,[J_i,K_j]=i{ϵ}_{ijk}{K}_k,[K_i,K_j]=-i{ϵ}_{ijk}{J}_k.$

La elección de la base anterior satisface las relaciones, pero son posibles otras elecciones. Debe observarse el uso múltiple del símbolo Plantilla:Mvar arriba y en lo sucesivo.

Por ejemplo, un impulso típico y una rotación típica se exponencian como,

$\exp (-i\xi K_1)=\left(\begin{array}{cccc}\cosh \xi & \sinh \xi & 0& 0\\ \sinh \xi & \cosh \xi & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),\exp (-i\theta J_1)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),$

simétrico y ortogonal, respectivamente.

Espinores y biespinores de Weyl

Archivo:Paul Dirac, 1933.jpg

Soluciones para la transformación de la ecuación de Dirac bajo la representación Plantilla:Math. Dirac descubrió las matrices gamma en su búsqueda de una ecuación relativista invariante, entonces ya conocida por los matemáticos.

Tomando, a su vez, Plantilla:Math y Plantilla:Math y estableciendo

$J_i^{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{2}{\sigma }_i$

en la expresión general Plantilla:EquationNote, y usando las relaciones triviales Plantilla:Math y Plantilla:Math, se sigue que

Estas son las representaciones de la ecuación de Weyl por la izquierda y por la derecha. Actúan mediante multiplicación de matrices en espacios vectoriales complejos bidimensionales (con opción de base) Plantilla:Math y Plantilla:Math, cuyos elementos Plantilla:Math y Plantilla:Math se denominan espinores de Weyl por la izquieda y por la derecha respectivamente. Dado

$({\pi }_{(\frac{1}{2},0)},V_{\text{L}})\text{y }({\pi }_{(0,\frac{1}{2})},V_{\text{R}})$

se forma su suma directa como representaciones,

Esta es, exceptuando transformaciones de semejanza, la representación del espinor de Dirac Plantilla:Math de $𝔰𝔬(3;1).$ Actúa sobre los elementos de 4 componentes Plantilla:Math de Plantilla:Math, llamados biespinores, mediante multiplicación de matrices. La representación se puede obtener de forma más general e independiente de las bases utilizando el álgebra de Clifford. Estas expresiones para biespinores y espinores de Weyl se extienden por linealidad de las álgebras de Lie y representaciones a todas las expresiones $𝔰𝔬(3;1).$ para las representaciones de grupos que se obtienen por exponenciación.

Problemas abiertos

La clasificación y caracterización de la teoría de la representación del grupo de Lorentz se completó en 1947. Pero en asociación con el programa de Bargmann-Wigner, aún quedan problemas puramente matemáticos sin resolver, relacionados con las representaciones unitarias de dimensión infinita.

Las representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita pueden tener relevancia indirecta para la realidad física en las teorías especulativas modernas, ya que el grupo de Lorentz (generalizado) aparece como el grupo pequeño del grupo de Poincaré de vectores espaciales en una dimensión espacio-temporal superior. Las correspondientes representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo (generalizado) de Poincaré son las llamadas representaciones taquiónicas. Los taquiones aparecen en el espectro de la teoría de cuerdas bosónica y están asociados con la inestabilidad del vacío. Aunque los taquiones pueden no existir en la naturaleza, estas representaciones deben comprenderse matemáticamente para comprender la teoría de cuerdas. Esto es así porque los estados taquiónicos también aparecen en la teoría de supercuerdas en un intento de crear modelos realistas.

Un problema abierto es la finalización del programa de Bargmann-Wigner para el grupo de isometría Plantilla:Math del espacio-tiempo de la métrica de De Sitter Plantilla:Math. Idealmente, los componentes físicos de las funciones de onda se realizarían en el hiperboloide Plantilla:Math de radio Plantilla:Math embebido en ${ℝ}^{D-2,1}$ y las correspondientes ecuaciones de onda covariantes Plantilla:Math de la representación unitaria de dimensión infinita que se debe conocer.

Véase también

• Ecuaciones de Bargmann-Wigner
• Álgebra de Dirac
• Matrices gamma
• Grupo de Lorentz
• Transformación de Möbius
• Grupo de Poincaré
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Simetría en mecánica cuántica
• Clasificación de Wigner

Bibliografía en línea disponibles gratuitamente

• Plantilla:Cite arXiv Versión ampliada de las conferencias presentadas en la segunda escuela de verano de Física Matemática de Modave (Bélgica, agosto de 2006).
• Plantilla:Citation Los elementos del grupo de SU(2) se expresan en forma cerrada como polinomios finitos de los generadores de álgebra de Lie, para todas las representaciones de espín definidas del grupo de rotación.

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Citation (la teoría de la representación de SO(2,1) y SL(2, R); la segunda parte sobre SO(3; 1) y SL(2, C) , descrito en la introducción, nunca fue publicado).
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Citation
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• Plantilla:Cite book
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• Plantilla:Cite journal
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• Plantilla:Citation (acceso gratuito)
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• Plantilla:Citation (una introducción general para físicos)
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• Plantilla:Citation (tratamiento elemental para SL(2,C))
• Plantilla:Cite journal
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• Plantilla:Citation
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• Plantilla:Citation (una descripción detallada para físicos)
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Citation (Conferencias de Matemáticas de James K. Whittemore impartidas en la Universidad de Yale, 1967)
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• Plantilla:Citation, Capítulo 9, SL(2, C') y grupos de Lorentz más generales
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