Espacio coordenado real

Estructura del producto cartesiano Plantilla:Math en coordenadas cartesianas de pares ordenados Plantilla:Math. Las líneas azules indican coordenadas cartesianas, las líneas verdes horizontales son números enteros Plantilla:Mvar, las líneas cian verticales son números enteros Plantilla:Mvar, las líneas marrón-naranja muestran números semienteros Plantilla:Mvar o Plantilla:Mvar, el magenta muestra submúltiplos del sistema de numeración decimal (se ve mejor con aumento)

En matemáticas, un espacio coordenado real o espacio de coordenadas reales de dimensión Plantilla:Mvar, escrito Plantilla:Math o Plantilla:Nowrap es un espacio vectorial sobre los números reales. Esto significa que es el conjunto de las [[Tupla|Plantilla:Mvar-tuplas]] formadas por números reales (secuencias de Plantilla:Mvar números reales). Con la suma de componentes y la multiplicación escalar, es un espacio vectorial.

Normalmente, las coordenadas cartesianas de los elementos de un espacio euclídeo forman un espacio de coordenadas reales. Esto explica el nombre de "espacio de coordenadas" y el hecho de que los términos geométricos se utilizan a menudo cuando se trabaja en ellos. Por ejemplo, Plantilla:Math es un plano.

Los espacios de coordenadas se utilizan mucho en geometría y física, ya que sus elementos permiten ubicar puntos en espacios euclídeos y calcular con ellos.

Definición y estructuras

Para cualquier número natural Plantilla:Mvar, el conjunto Plantilla:Math consta de todas las Plantilla:Mvar-tuplas de números reales (Plantilla:Math). Se le denomina "espacio real Plantilla:Mvar-dimensional" o el "Plantilla:Mvar-espacio real".

Por lo tanto, un elemento de Plantilla:Math es una Plantilla:Mvar-tupla , y se escribe

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

donde cada Plantilla:Math es un número real. Entonces, en cálculo multivariable, el dominio de una función multivariable real y el codominio de una función vectorial valuada real son subconjuntos de Plantilla:Math para algunos Plantilla:Mvar.

El espacio Plantilla:Mvar-real tiene varias propiedades más, en particular:

• Con la adición de componentes y la multiplicación escalar, es un espacio vectorial. Cada espacio vectorial real de dimensión Plantilla:Mvar es isomorfo a él.
• Con el producto escalar (suma del producto término a término de las componentes), es un espacio prehilbertiano. Cada espacio con producto interno real Plantilla:Mvar-dimensional es isomorfo a él.
• Como todo espacio con producto interno, es un espacio topológico y un espacio vectorial topológico.
• Es un espacio euclídeo y un espacio afín real, y cada espacio euclidiano o afín es isomorfo a él.
• Es una variedad analítica y puede considerarse como el prototipo de todas las variedades, ya que, por definición, una variedad es, cerca de cada punto, isomorfa a un conjunto abierto de Plantilla:Math.
• Es una variedad algebraica, y cada variedad algebraica real es un subconjunto de Plantilla:Math.

Estas propiedades y estructuras de Plantilla:Math lo hacen fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas y sus dominios de aplicación, como estadística, teoría de la probabilidad y muchas partes de la física.

Dominio de una función de múltiples variables

Plantilla:AP Cualquier función Plantilla:Math de Plantilla:Mvar variables reales se puede considerar como una función en Plantilla:Math (es decir, con Plantilla:Math como su dominio). El uso del espacio Plantilla:Mvar real, en lugar de varias variables consideradas por separado, puede simplificar la notación y sugerir definiciones razonables. Considérese, para Plantilla:Math, una función compuesta de la siguiente forma:

$F(t)=f(g_1(t),g_2(t)),$

donde las funciones Plantilla:Math y Plantilla:Math son continuas. Si

Plantilla:Math es continua (por Plantilla:Math)

Plantilla:Math es continua (por Plantilla:Math)

entonces Plantilla:Mvar no es necesariamente continua. La continuidad es una condición más fuerte: la continuidad de Plantilla:Mvar en la topología natural Plantilla:Math (analizada más abajo), también llamada continuidad multivariable, que es suficiente para la continuidad de la composición Plantilla:Mvar.

Espacio vectorial

El espacio de coordenadas Plantilla:Math forma un espacio vectorial Plantilla:Mvar dimensional sobre el cuerpo de números reales con la adición de la estructura de linealidad, y a menudo todavía se denota como Plantilla:Math. Las operaciones en Plantilla:Math como un espacio vectorial se definen típicamente por

$𝐱+𝐲=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n)$

$\alpha 𝐱=(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots ,\alpha x_n).$

El vector cero viene dado por

$\mathrm{𝟎}=(0,0,\dots ,0)$

y el opuesto del vector Plantilla:Math viene dado por

$-𝐱=(-x_1,-x_2,\dots ,-x_n).$

Esta estructura es importante, porque cualquier espacio vectorial real de dimensión Plantilla:Mvar es isomorfo al espacio vectorial Plantilla:Math.

Notación matricial

Plantilla:AP En la notación estándar matricial, cada elemento de Plantilla:Math se escribe típicamente como un vector columna

$𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$

y a veces como un vector fila:

$𝐱=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right].$

El espacio de coordenadas Plantilla:Math puede interpretarse entonces como el espacio de todos los Plantilla:Math vectores columna, o todos los Plantilla:Math vectores fila con las operaciones matriciales ordinarias de suma y multiplicación escalar.

Las aplicaciones lineales de Plantilla:Math a Plantilla:Math pueden escribirse como matrices Plantilla:Math que actúan sobre los elementos de Plantilla:Math mediante la multiplicación por la izquierda (cuando los elementos de Plantilla:Math son vectores columna) y sobre los elementos de Plantilla:Math mediante la multiplicación por la derecha (cuando son vectores fila). La fórmula para la multiplicación por la izquierda, un caso especial de multiplicación de matrices, es:

$(A𝐱{)}_k=\sum _{l=1}^n{A}_{kl}{x}_l$

Cualquier transformación lineal es un función continua (véase más adelante). Además, una matriz define una aplicación abierta de Plantilla:Math a Plantilla:Math si y solo si el rango de la matriz es igual a Plantilla:Mvar.

Base estándar

El espacio de coordenadas Plantilla:Math está asociado con una base de vectores estándar:

$\begin{array}{cc}{𝐞}_1& =(1,0,\dots ,0)\\ {𝐞}_2& =(0,1,\dots ,0)\\ & ⋮\\ {𝐞}_n& =(0,0,\dots ,1)\end{array}$

Para ver que forman una base, basta con tener en cuenta que un vector arbitrario en Plantilla:Math se puede escribir de manera única en la forma

$𝐱=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐞}_i.$

Propiedades geométricas y usos

Orientación

El hecho de que los números reales, a diferencia de muchos otros cuerpos, constituyen un cuerpo ordenado, produce una estructura orientada en Plantilla:Math. Cualquier aplicación lineal de rango completo de Plantilla:Math sobre sí mismo conserva o invierte la orientación del espacio dependiendo del signo del determinante de su matriz. Si se permutan las coordenadas (o, en otras palabras, los elementos de la base), la orientación resultante dependerá de la paridad de la permutación.

Los difeomorfismos de Plantilla:Math o sobre sus dominios, por su virtud de evitar jacobianos nulos, también se clasifican según la conservación de la orientación o el cambio a la orientación inversa. Tiene importantes consecuencias para la teoría de formas diferenciales, cuyas aplicaciones incluyen el electromagnetismo.

Otra manifestación de esta estructura es que la reflexión de un punto de Plantilla:Math tiene diferentes propiedades dependiendo de la [[Números pares e impares|paridad de Plantilla:Mvar]]. Para Plantilla:Mvar par conserva la orientación, mientras que para Plantilla:Mvar impar se invierte (véase también rotación impropia).

Espacio afín

Plantilla:Math entendido como espacio afín es el mismo espacio en el que Plantilla:Math actúa como un espacio vectorial mediante traslaciones. Por el contrario, un vector debe entenderse como una "diferencia entre dos puntos", generalmente ilustrada por un segmento dirigido que conecta dos puntos. La distinción dice que no hay opción canónica acerca de dónde debe localizarse el origen de coordenadas en un Plantilla:Mvar-espacio afín, porque se puede trasladar a cualquier lugar sin alterar sus propiedades.

Convexidad

El n-simplex (véase más adelante) es el conjunto convexo estándar, que se asigna a todos los politopos, y es la intersección del hiperplano afín estándar Plantilla:Math (espacio afín estándar) y del ortante estándar Plantilla:Math (cono estándar)

En un espacio vectorial real, como Plantilla:Math, se puede definir un cono convexo, que contiene todas las combinaciones lineales "no negativas" de sus vectores. El concepto correspondiente en un espacio afín es el de convexidad, que permite solo combinaciones covexas (combinaciones lineales no negativas que suman 1).

En el lenguaje del álgebra universal, un espacio vectorial es un álgebra sobre el espacio vectorial universal Plantilla:Math de secuencias finitas de coeficientes, correspondientes a sumas finitas de vectores, mientras que un espacio afín es un álgebra sobre el hiperplano afín universal en este espacio (de secuencias finitas sumando 1), un cono es un álgebra sobre el ortante universal (de secuencias finitas de números no negativos), y un conjunto convexo es un álgebra sobre el símplex universal (de secuencias finitas de números no negativos que suman 1). Esto geometriza los axiomas en términos de "sumas con (posibles) restricciones en las coordenadas".

Otro concepto del análisis convexo es el de una función convexa de Plantilla:Math sobre los números reales, que se define mediante una desigualdad entre su valor en una combinación convexa de puntos y la suma de valores en aquellos puntos con los mismos coeficientes.

Espacio euclídeo

El producto escalar

$𝐱\cdot 𝐲=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$

define la norma Plantilla:Math en el espacio vectorial Plantilla:Math. Si cada vector tiene su norma euclídea, entonces para cualquier par de puntos se define la distancia

$d(𝐱,𝐲)=\Vert 𝐱-𝐲\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$

proporcionando una estructura de espacio métrico en Plantilla:Math además de su estructura afín.

En cuanto a la estructura del espacio vectorial, generalmente se supone que el producto escalar y la distancia euclidea existen en Plantilla:Math sin explicaciones especiales. Sin embargo, el Plantilla:Mvar-espacio real y un Plantilla:Mvar-espacio euclidiano son objetos distintos, estrictamente hablando. Cualquier Plantilla:Mvar-espacio euclídeo tiene un sistema de coordenadas donde el producto escalar y la distancia euclídea tienen la forma que se muestra arriba, llamada cartesiana. Pero hay "muchos" sistemas de coordenadas cartesianos en un espacio euclídeo.

Por el contrario, la fórmula anterior para la métrica euclídea define la estructura euclídea "estándar" en Plantilla:Math, pero no es la única posible. En realidad, cualquier forma bilineal definida Plantilla:Mvar establece su propia "distancia" Plantilla:Math, pero no es muy diferente de la euclídea en el sentido de que

$\mathrm{\exists }{C}_1>0,\mathrm{\exists }{C}_2>0,\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in {ℝ}^n:C_{1}d(𝐱,𝐲)\le \sqrt{q(𝐱-𝐲)}\le C_{2}d(𝐱,𝐲).$

Tal cambio de la métrica conserva algunas de sus propiedades, por ejemplo, la propiedad de ser un espacio métrico completo. Esto también implica que cualquier transformación lineal de rango completo de Plantilla:Math, o su transformación afín, no aumenta las distancias más que en algunos Plantilla:Math fijos, y no hace que las distancias sean más pequeñas que Plantilla:Math veces, es decir, un número finito fijo de veces más pequeñas.

La equivalencia mencionada anteriormente de funciones métricas sigue siendo válida si Plantilla:Math se reemplaza por Plantilla:Math, donde Plantilla:Mvar es cualquier función homogénea convexa positiva de grado 1, es decir, una norma vectorial (consúltese la distancia de Minkowski para ver ejemplos útiles). Debido a este hecho de que cualquier métrica "natural" en Plantilla:Math no es especialmente diferente de la métrica euclídea, Plantilla:Math no siempre se distingue de un espacio Plantilla:Math euclídeo incluso en trabajos matemáticos profesionales.

En geometría algebraica y diferencial

Aunque la definición de una variedad no requiere que su espacio modelo sea Plantilla:Math, esta opción es la más común y casi exclusiva en geometría diferencial.

Por otro lado, los teoremas de inclusión de Whitney afirman que cualquier [[Variedad diferenciable|variedad Plantilla:Mvar-dimensional diferenciable]] real puede ser encajada en Plantilla:Math.

Otras estructuras relacionadas

Otras estructuras consideradas en Plantilla:Math incluyen el espacio pseudo-euclídeo, la topología simpléctica (incluso Plantilla:Mvar) y la estructura de contacto (con Plantilla:Mvar impar). Todas estas estructuras, aunque pueden definirse sin coordenadas, admiten formas estándar (y razonablemente simples) en coordenadas.

Plantilla:Math es también un subespacio vectorial real de Plantilla:Math que es invariante a la conjugación; véase también complejificación.

Politopos en Rⁿ

Plantilla:VT Hay tres familias de politopos que tienen representaciones simples en espacios Plantilla:Math, para cualquier Plantilla:Mvar, y se pueden usar para visualizar cualquier sistema de coordenadas afines en un espacio Plantilla:Mvar real. Los vértices de un hipercubo tienen coordenadas Plantilla:Math donde cada Plantilla:Mvar toma uno de solo dos valores, generalmente 0 o 1. Sin embargo, se pueden elegir dos números cualesquiera en lugar de 0 y 1, por ejemplo −1 y 1. Se puede pensar en un Plantilla:Mvar hipercubo como en el producto cartesiano de Plantilla:Mvar intervalos idénticos (como el intervalo unidad [0,1]) en la recta real. Como un subconjunto dimensional Plantilla:Mvar, se puede describir con un [[Desigualdad matemática|sistema de Plantilla:Math desigualdades]]:

$\begin{array}{c}0\le x_1\le 1\\ ⋮\\ 0\le x_n\le 1\end{array}$ (para [0,1])

$\begin{array}{c}|x_1|\le 1\\ ⋮\\ |x_n|\le 1\end{array}$ (para [-1,1])

Cada vértice del politopo de cruce tiene, para algunos Plantilla:Mvar, la coordenada Plantilla:Mvar igual a ±1 y todas las demás coordenadas iguales a 0 (tal que es el Plantilla:Mvar-ésimo vector de la base estándar incluido su signo). Se obtiene un poliedro conjugado del hipercubo. Como un subconjunto de Plantilla:Mvar dimensiones, se puede describir con una única desigualdad que utiliza la operación valor absoluto:

$\sum _{k=1}^n|x_k|\le 1,$

pero esto también se puede expresar con un sistema de Plantilla:Math desigualdades lineales.

El tercer politopo con coordenadas simplemente enumerables es el símplex, cuyos vértices son los vectores base estándar Plantilla:Mvar y el origen Plantilla:Math. Como un subconjunto Plantilla:Mvar dimensional, se describe con un sistema de Plantilla:Math desigualdades lineales:

$\begin{array}{c}0\le x_1\\ ⋮\\ 0\le x_n\\ \sum _{k=1}^n{x}_k\le 1\end{array}$

El reemplazo de todos los signos "≤" por "<" permite obtener los interiores de estos politopos.

Propiedades topológicas

La estructura topológica de Plantilla:Math (llamada topología estándar, topología euclídea o topología habitual) se puede obtener no solo del producto cartesiano. Es también idéntica a la topología natural inducida por la métrica Euclídea ya descrita: un conjunto es abierto en la topología euclídea si y solo si contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos. Además, Plantilla:Math es un espacio vectorial topológico, y solo hay una posible topología compatible (no trivial) con su estructura lineal. Como hay muchas aplicaciones lineales abiertas desde Plantilla:Math sobre sí mismo que no son isometrías, puede haber muchas estructuras euclídeas en Plantilla:Math que corresponden a la misma topología. En realidad, no depende mucho ni siquiera de la estructura lineal: hay muchos difeomorfismos no lineales (y otros homeomorfismos) de Plantilla:Math sobre sí mismo, o sus partes, como una bola abierta euclidiana o el interior de un hipercubo).

Plantilla:Math tiene la dimensión topológica Plantilla:Mvar.

Un resultado importante en la topología de Plantilla:Math, que está lejos de ser superficial, es la invarianza del dominio de Brouwer. Cualquier subconjunto de Plantilla:Math (con su topología traza) que sea homeomórfico a otro subconjunto abierto de Plantilla:Math es en sí mismo abierto. Una consecuencia inmediata de esto es que Plantilla:Math no es homeomórfico a Plantilla:Math si Plantilla:Math - un resultado intuitivamente "obvio" que, no obstante, es difícil de demostrar.

A pesar de la diferencia en la dimensión topológica, y contrariamente a una percepción ingenua, es posible aplicar un espacio real de menor dimensión de forma continua y sobreyectivamente sobre Plantilla:Math. Es posible generar una curva de llenado del espacio continua (aunque no suave), imagen de Plantilla:Math.

Ejemplos

Vector columna vacío, el único elemento de Plantilla:Math

Plantilla:Math

n ≤ 1

Los casos de Plantilla:Math no ofrecen nada nuevo: Plantilla:Math es la recta real, mientras que Plantilla:Math (el espacio que contiene el vector columna vacío) es un conjunto unitario, entendido como el espacio vector cero. Sin embargo, es útil incluirlos como casos triviales de teorías que describen diferentes Plantilla:Mvar.

n = 2

Tanto el hipercubo como el politopo cruzado en Plantilla:Math son cuadrados, pero las coordenadas de los vértices se organizan de manera diferente

n = 3

El cubo (el hipercubo) y el octaedro (el politopo cruzado) de Plantilla:Math. No se muestran las coordenadas

n = 4

Plantilla:VT Plantilla:Math se puede imaginar usando el hecho de que 16 puntos Plantilla:Math, donde cada Plantilla:Mvar es 0 o 1, son vértices de un teseracto (en la imagen), el 4-hipercubo (véase arriba).

El primer uso importante de Plantilla:Math es un modelo espacio-tiempo: tres coordenadas espaciales más una temporal. Esto generalmente se asocia con la teoría de la relatividad, aunque se usaron cuatro dimensiones para tales modelos desde Galileo. Sin embargo, la elección de la teoría conduce a una estructura diferente: en la invariancia galileana, la coordenada Plantilla:Mvar es privilegiada, pero en la relatividad de Einstein no lo es. La relatividad especial se establece en el espacio-tiempo de Minkowski, y usa espacios curvos, que se pueden considerar como Plantilla:Math con una métrica curvada para la mayoría de los propósitos prácticos. Ninguna de estas estructuras proporciona una métrica (definida positiva) en Plantilla:Math.

El espacio euclídeo Plantilla:Math también atrae la atención de los matemáticos, por ejemplo, debido a su relación con los cuaterniones, un álgebra real sobre 4 dimensiones. Consúltese rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional para obtener más información.

En geometría diferencial, Plantilla:Math es el único caso en el que Plantilla:Math admite una estructura diferencial no estándar (consúltese R⁴ exótico).

Normas sobre Plantilla:Math

Se podrían definir muchas normas sobre el espacio vectorial Plantilla:Math. Algunos ejemplos comunes son

• Los espacios Lp, definidos por $\Vert 𝐱{\Vert }_p:=\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p}$ para todo $𝐱\in {ℝ}^n$ donde $p$ es un número entero positivo. El caso $p=2$ es muy importante, porque es exactamente el espacio euclídeo.
• La norma $\mathrm{\infty }$ o norma del supremo, definida por $\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$ para todos los $\mathbf{\text{x}}\in$ Plantilla:Math. Este es el límite de todos los espacios Lp: $\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p}$.

Un resultado realmente sorprendente y útil es que cada norma definida en Plantilla:Math es equivalente. Esto significa que para dos normas arbitrarias $\Vert \cdot \Vert$ y $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$ en Plantilla:Math siempre se pueden encontrar números reales positivos $\alpha ,\beta >0$, tales que

$\alpha \cdot \Vert 𝐱\Vert \le \Vert 𝐱{\Vert }^{\prime }\le \beta \cdot \Vert 𝐱\Vert$ for all $\mathbf{\text{x}}\in {ℝ}^n$.

Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las normas en Plantilla:Math. Con este resultado se puede comprobar que una secuencia de vectores en Plantilla:Math converge con $\Vert \cdot \Vert$ si y solo si converge con $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$.

Aquí hay un bosquejo de cómo se vería una prueba de este resultado:

Debido a la relación de equivalencia es suficiente demostrar que todas las normas en Plantilla:Math son equivalentes a la norma euclídea $\Vert \cdot {\Vert }_2$. Sea $\Vert \cdot \Vert$ una norma arbitraria en Plantilla:Math. La prueba se divide en dos pasos:

• Se demuestra que existe un $\beta >0$, tal que $\Vert 𝐱\Vert \le \beta \cdot \Vert 𝐱{\Vert }_2$ para todo $\mathbf{\text{x}}\in {ℝ}^n$. En este paso, se utiliza el hecho de que cada $\mathbf{\text{x}}=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ se puede representar como una combinación lineal de la base estándar: $𝐱={\sum }_{i=1}^n{e}_i\cdot x_i$. Entonces, según la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz $\Vert 𝐱\Vert =\Vert \sum _{i=1}^n{e}_i\cdot x_i\Vert \le \sum _{i=1}^n\Vert e_i\Vert \cdot |x_i|\le \sqrt{\sum _{i=1}^n\Vert e_i{\Vert }^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2}=\beta \cdot \Vert 𝐱{\Vert }_2$, donde $\beta :=\sqrt{\sum _{i=1}^n\Vert e_i{\Vert }^2}$.
• Ahora se tiene que encontrar un $\alpha >0$, tal que $\alpha \cdot \Vert 𝐱{\Vert }_2\le \Vert 𝐱\Vert$ para todo $\mathbf{\text{x}}\in {ℝ}^n$. Supóngase que no existe tal $\alpha$. Entonces existe para cada $k\in \mathbb{N}$ un ${𝐱}_k\in {ℝ}^n$, tal que $\Vert {𝐱}_k{\Vert }_2>k\cdot \Vert {𝐱}_k\Vert$. Defínase una segunda secuencia $({\widetilde{\mathbf{\text{x}}}}_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ por ${\widetilde{𝐱}}_k:=\frac{{𝐱}_k}{\Vert {𝐱}_k{\Vert }_2}$. Esta secuencia está limitada porque $\Vert {\widetilde{𝐱}}_k{\Vert }_2=1$. Entonces, debido al teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsecuencia convergente $({\widetilde{\mathbf{\text{x}}}}_{k_j}{)}_{j\in \mathbb{N}}$ con límite $\mathbf{\text{a}}\in$ Plantilla:Math. Ahora se demuestra que $\Vert 𝐚{\Vert }_2=1$ pero $\mathbf{\text{a}}=\mathbf{\text{0}}$, lo cual es una contradicción. Es $\Vert 𝐚\Vert \le \Vert 𝐚-{\widetilde{𝐱}}_{k_j}\Vert +\Vert {\widetilde{𝐱}}_{k_j}\Vert \le \beta \cdot {\Vert 𝐚-{\widetilde{𝐱}}_{k_j}\Vert }_2+\frac{\Vert {𝐱}_{k_j}\Vert }{\Vert {𝐱}_{k_j}{\Vert }_2}\stackrel{j\to \mathrm{\infty }}{\to }0$, porque $\Vert 𝐚-{\widetilde{𝐱}}_{k_j}\Vert \to 0$ y $0\le \frac{\Vert {𝐱}_{k_j}\Vert }{\Vert {𝐱}_{k_j}{\Vert }_2}<\frac{1}{k_j}$, entonces $\frac{\Vert {\mathbf{\text{x}}}_{k_j}\Vert }{\Vert {𝐱}_{k_j}{\Vert }_2}\to 0$. Esto implica que $\Vert 𝐚\Vert =0$, entonces $\mathbf{\text{a}}=\mathbf{\text{0}}$. Por otro lado $\Vert 𝐚{\Vert }_2=1$, porque $\Vert 𝐚{\Vert }_2=\underset{2}{\Vert \underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\widetilde{\mathbf{\text{x}}}}_{k_j}\Vert }=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\Vert {\widetilde{\mathbf{\text{x}}}}_{k_j}\Vert }_2=1$. Esto nunca puede ser cierto, por lo que la suposición era falsa y existe tal $\alpha >0$.

Véase también

• Objeto exponencial, para una explicación teórica de la notación de superíndice
• Espacio proyectivo real

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book